周 軍，葛振振，林 鵬

(西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所，西安710072)

具有終端角度約束的固定配平型再入彈頭制導(dǎo)方法

周 軍，葛振振，林 鵬

(西北工業(yè)大學(xué)精確制導(dǎo)與控制研究所，西安710072)

針對固定配平型飛行器帶終端角度約束的末制導(dǎo)問題，本文基于滾轉(zhuǎn)制導(dǎo)與三維圓周制導(dǎo)，提出一種新穎的制導(dǎo)方法。首先，根據(jù)再入彈頭與目標(biāo)的相對幾何關(guān)系以及終端角度約束，在三維空間內(nèi)確定出唯一的圓軌跡。然后，通過滾轉(zhuǎn)制導(dǎo)控制升力方向使實(shí)際速度方向與期望速度方向重合后，彈頭將沿圓軌跡命中目標(biāo)，并滿足終端角度約束。此外，為增強(qiáng)制導(dǎo)方法的魯棒性，引入干擾觀測器對干擾進(jìn)行實(shí)時(shí)觀測與補(bǔ)償，并采用變結(jié)構(gòu)控制理論進(jìn)行制導(dǎo)律設(shè)計(jì)。仿真結(jié)果表明：該制導(dǎo)方法具有較高的命中精度，同時(shí)也能滿足終端角度約束，并具有較強(qiáng)的魯棒性。

固定配平；再入彈頭；終端角度約束；滾轉(zhuǎn)制導(dǎo)；圓周制導(dǎo)；干擾觀測器

0 引 言

隨著各類反導(dǎo)武器的不斷發(fā)展，對彈道導(dǎo)彈的突防能力提出了越來越高的要求。機(jī)動(dòng)彈頭在與彈體分離后，可根據(jù)需要改變飛行彈道，通過末制導(dǎo)系統(tǒng)來提高命中精度。

文獻(xiàn)[1]介紹了可實(shí)現(xiàn)再入機(jī)動(dòng)的3種基本構(gòu)造型式，它們分別是十字翼型、傾斜-轉(zhuǎn)彎型和固定配平型，其中固定配平控制型式具有單軸控制特性，僅有一個(gè)控制軸(滾轉(zhuǎn)軸)和一個(gè)大小不可調(diào)節(jié)的升力矢量，通過改變滾轉(zhuǎn)角進(jìn)行機(jī)動(dòng)。

固定配平型的再入飛行器最早應(yīng)用在飛船和空天返回式運(yùn)載器上，例如Gemini和Apollo太空船。它們一般采用標(biāo)稱軌跡法，這種方法的落點(diǎn)控制精度不高，但能滿足飛船再入的要求。固定配平外形再入彈頭最典型代表是美國的MK500逃逸型機(jī)動(dòng)彈頭，其通過彎頭錐的外形產(chǎn)生固定配平攻角，控制滾動(dòng)實(shí)現(xiàn)機(jī)動(dòng)，但它是按預(yù)定程序飛行，降低一定精度以保證機(jī)動(dòng)能力。

目前，國內(nèi)外關(guān)于固定配平控制型式飛行器制導(dǎo)控制技術(shù)的可查閱文獻(xiàn)十分有限。文獻(xiàn)[1]給出了叉積制導(dǎo)律，但其沒有解決接近目標(biāo)時(shí)升力多余問題，導(dǎo)致落點(diǎn)精度不高；Gracey等[2]針對文獻(xiàn)[1]提出的制導(dǎo)律進(jìn)行改進(jìn)得到一種針對固定配平控制型式飛行器更加有效的滾轉(zhuǎn)制導(dǎo)律，具有較高的命中精度；Bibeau等[3]采用直接配點(diǎn)法與非線性規(guī)劃進(jìn)行軌跡規(guī)劃，多次在線快速重新規(guī)劃軌跡，但該方法通常用于飛行時(shí)間遠(yuǎn)大于軌跡規(guī)劃所需時(shí)間的場合；李自行等[4-5]將文獻(xiàn)[2]提出的滾轉(zhuǎn)制導(dǎo)應(yīng)用于固定配平型再入機(jī)動(dòng)彈頭，并分別研究噴流和變質(zhì)心控制方式對滾轉(zhuǎn)通道的控制。

此外，對常規(guī)制導(dǎo)武器而言，制導(dǎo)系統(tǒng)的主要目的是產(chǎn)生合適的制導(dǎo)指令使末端脫靶量為零。然而在一些特殊情況下，不僅期望機(jī)動(dòng)彈頭落地時(shí)能獲得最小脫靶量，還能以一定的姿態(tài)命中目標(biāo)，從而最大限度地發(fā)揮戰(zhàn)斗部效能，取得最佳毀傷效果。這就對導(dǎo)引任務(wù)的實(shí)現(xiàn)增加了終端角度約束[6]。

自文獻(xiàn)[7]首次在機(jī)動(dòng)彈頭再入制導(dǎo)研究中引入落角約束以來，許多學(xué)者根據(jù)不同的理論方法提出了多種具有終端角度約束的制導(dǎo)律。文獻(xiàn)[8-9]分別利用最優(yōu)控制和變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)含落角約束的制導(dǎo)律。此外還有偏置比例導(dǎo)引律[10-11]、幾何曲線導(dǎo)引律以及復(fù)合制導(dǎo)等[6]。Manchester等[12]根據(jù)平面彈道的幾何特性提出了一種具有終端角度約束的三維圓周導(dǎo)引律[13-14]。此外，文獻(xiàn)[11-15]分別采用偏置比例導(dǎo)引和開關(guān)制導(dǎo)律實(shí)現(xiàn)落角約束，并在導(dǎo)引律設(shè)計(jì)過程中還考慮了飛行中的導(dǎo)引頭視場角約束。針對制導(dǎo)武器末端攻擊角約束和彈道盡可能平直的要求，文獻(xiàn)[16]應(yīng)用有限時(shí)間控制方法，設(shè)計(jì)了具有末端攻擊角約束的連續(xù)有限時(shí)間穩(wěn)定制導(dǎo)律，使閉環(huán)制導(dǎo)系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)視線角速度收斂到零和視線角收斂到期望值。文獻(xiàn)[17]將多約束下的制導(dǎo)問題轉(zhuǎn)化為具有控制飽和的線性系統(tǒng)的鎮(zhèn)定問題，基于參量Lyapunov方程的低增益反饋方法，推導(dǎo)出帶低增益參數(shù)的縱向自適應(yīng)制導(dǎo)律。但上述方法均以十字翼型、傾斜-轉(zhuǎn)彎型飛行器為研究對象，無法應(yīng)用于具有單軸控制特性(僅升力方向可控)的固定配平型飛行器。

針對固定配平型再入飛行器，文獻(xiàn)[2]所提出的滾轉(zhuǎn)制導(dǎo)不能解決終端角度約束問題。本文將滾轉(zhuǎn)制導(dǎo)與三維圓周制導(dǎo)相結(jié)合，提出一種新穎的制導(dǎo)方法，并引入干擾觀測器對系統(tǒng)干擾和不確定項(xiàng)進(jìn)行估計(jì)補(bǔ)償，同時(shí)采用變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)制導(dǎo)律，進(jìn)一步提高系統(tǒng)的穩(wěn)定性和魯棒性。

1 問題描述與分析

1.1 坐標(biāo)系定義及模型建立

如圖1所示，M為再入彈頭質(zhì)心位置，T為目標(biāo)位置。

1) 目標(biāo)坐標(biāo)系T-xyz

原點(diǎn)T為目標(biāo)位置，Ty軸沿當(dāng)?shù)劂U垂線方向(指向上為正)，Tx軸在當(dāng)?shù)厮矫鎯?nèi)且與Ty垂直(指向再入飛行器末制導(dǎo)初始時(shí)刻運(yùn)動(dòng)方向?yàn)檎?，Tz軸與上述兩軸垂直并構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

2) 彈道坐標(biāo)系O1-x2y2z2

原點(diǎn)O1為彈頭位置，O1x2軸沿再入彈頭速度方向，O1y2軸在在包含目標(biāo)坐標(biāo)系Ty軸的鉛垂面內(nèi)且與O1x2垂直(指向上為正)，O1z2軸與上述兩軸垂直并構(gòu)成右手坐標(biāo)系。

由于末制導(dǎo)時(shí)間較短以及本文主要研究針對固定目標(biāo)的含終端角約束的制導(dǎo)律，因此忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，可將目標(biāo)坐標(biāo)系作為慣性系。

R=xi+yj+zk

(1)

(2)

(3)

根據(jù)上述坐標(biāo)系的定義建立固定配平型式再入機(jī)動(dòng)彈頭的質(zhì)心動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)方程[18]：

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：VM為彈頭的速度大小；m為彈頭質(zhì)量；D、L分別為阻力、升力；g為重力加速度；γ、φ、σ分別為航跡角、航向角、速度傾側(cè)角；x、y、z分別為位置矢量R沿目標(biāo)坐標(biāo)系各軸分量。

式中：CD、CL分別為阻力、升力系數(shù)；ρ為大氣密度；S為參考面積。

1.2 三維圓周導(dǎo)引分析

根據(jù)上述坐標(biāo)系的定義可以將其具有終端碰撞角度約束的末制導(dǎo)問題描述為[14]：通過控制再入彈頭的速度傾側(cè)角σ，改變速度方向，使其在命中目標(biāo)時(shí)刻tf，同時(shí)滿足以下等式：

R(tf)=0

(10)

(11)

(12)

圓軌跡MST的含義為：假定再入彈頭沿該圓軌跡飛行，則可以保證在命中目標(biāo)時(shí)刻tf同時(shí)滿足式(10)～(12)。

a. 使誤差角η逐漸減小為0；

b. 滿足η=0以后，保持η≡0，則彈頭沿含終端角度約束的圓軌跡命中目標(biāo)。

2 三維圓周制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

2.1 圓周制導(dǎo)模型

定義速度誤差坐標(biāo)系O1-xeyeze，如圖2所示。

設(shè)目標(biāo)坐標(biāo)系T-xyz與速度誤差坐標(biāo)系O1-xeyeze之間的轉(zhuǎn)換矩陣為Le：先繞y軸正向旋轉(zhuǎn)φ角，然后繞z′軸正向旋轉(zhuǎn)γ角，最后繞O1xe軸正向旋轉(zhuǎn)ξ角，即按2-3-1次序旋轉(zhuǎn)。

[xeyeze]T=Le[xyz]T

(13)

[cosη0sinη]T

(14)

根據(jù)絕對導(dǎo)數(shù)與相對導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，可得

(15)

(16)

(17)

(18)

-[cosqαcosqβsinqα-cosqαsinqβ]T

(19)

式中:qα、qβ分別為彈目視線高低角和方位角。

(20)

(21)

(22)

聯(lián)立式(15)、(18)、(21)和(22),可得：

(23)

將式(5)、式(6)代入式(23)中，并考慮實(shí)際飛行過程中的氣動(dòng)系數(shù)不確定性與外界環(huán)境干擾等因素的影響，可得三維圓周制導(dǎo)模型：

(24)

式中：L0為標(biāo)稱升力；d為氣動(dòng)系數(shù)不確定性、外界環(huán)境干擾等因素所引起的干擾項(xiàng)。

2.2 干擾觀測器

為提高制導(dǎo)系統(tǒng)的抗干擾能力，本文引入干擾觀測器[19-22]對干擾項(xiàng)d進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)，并利用干擾估計(jì)值進(jìn)行補(bǔ)償，從而增強(qiáng)系統(tǒng)的魯棒性。

還真是報(bào)應(yīng)，我在前一秒對那個(gè)女孩表示了鄙視之后，下一秒就看到那個(gè)和她眉目傳情的家伙就是，我的男朋友，秦明。不過已經(jīng)無所謂，因?yàn)橄乱豢?，他就?huì)被我稱作，前男友。我在最后一刻還是犯了所有小女人都犯的矯情的毛病——我要和他在我們最初見面的地方說分手。

假設(shè)式(24)中除了干擾項(xiàng)d未知之外，其它均為已知項(xiàng)，因此定義f0為全部已知項(xiàng)的總和，即

(25)

(26)

針對系統(tǒng)(26)所設(shè)計(jì)的觀測器為：

(27)

式中：e1=z1-x1；β1,β2為觀測器參數(shù)。

定義觀測誤差向量為：

E=[e1,e2]T

式中：e2=z2-x2為干擾項(xiàng)d的觀測誤差。

聯(lián)立式(26)和式(27),可得

(28)

式中：

引理1[22].如果式(28)中的矩陣A的特征值均為負(fù)實(shí)數(shù)，并且至少滿足以下所列條件中的一條：

上述所設(shè)計(jì)的干擾觀測器需要按照引理1選取干擾觀測器參數(shù)β1和β2使得式(28)中的矩陣A的特征根均為負(fù)實(shí)數(shù)。在滿足上述條件下，可保證干擾的觀測誤差e2漸近收斂到零點(diǎn)附近任意小的有界鄰域內(nèi)，但不同的β1和β2，其干擾觀測誤差的收斂速度和收斂誤差存在差異。

通常情況下，閉環(huán)系統(tǒng)對干擾觀測器的收斂速度和收斂誤差存在一定的要求，一般要求收斂速度快、收斂誤差小。因此在實(shí)際中，干擾觀測器參數(shù)的選取除滿足引理1之外，還和干擾變化快慢有關(guān)。若在干擾觀測器參數(shù)相同的情況下，則干擾變化越快，觀測誤差的收斂速度越慢、收斂誤差越大；若在干擾變化相同的情況下，則矩陣A的特征根離原點(diǎn)越遠(yuǎn)(復(fù)平面原點(diǎn)左側(cè))，觀測誤差的收斂速度越快、收斂誤差越小。所以應(yīng)該在滿足引理1的前提下，根據(jù)系統(tǒng)干擾變化快慢和對觀測誤差收斂速度、誤差的要求，選取合適的觀測器參數(shù)。

2.3 制導(dǎo)律設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性證明

設(shè)計(jì)相應(yīng)的制導(dǎo)律使誤差角η逐漸減小為0，并保持η≡0。針對制導(dǎo)模型式(24)，采用變結(jié)構(gòu)控制理論設(shè)計(jì)的制導(dǎo)律為：

f0=-kη-w·sgn(η)-z2

(29)

式中：k,w為制導(dǎo)系數(shù)，取值為正；z2為干擾d的觀測值；sgn(·)為符號函數(shù)。

本文采用的變結(jié)構(gòu)控制律同樣具有魯棒性，可以有效的抑制干擾，但是當(dāng)干擾較大且無干擾實(shí)時(shí)估計(jì)補(bǔ)償?shù)那闆r下，制導(dǎo)系數(shù)w的取值較大會(huì)使閉環(huán)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)高頻抖動(dòng)。通過引入干擾觀測器對干擾進(jìn)行實(shí)時(shí)估計(jì)補(bǔ)償，減小變結(jié)構(gòu)控制律所引起的顫振。

引理2[23-24].考慮系統(tǒng)

(30)

定理1.對于系統(tǒng)(24)，若下述條件(1)～(4)成立

(2)k>0且w>M；

(3)VM>0；

(4) 式(29)成立。

證.

聯(lián)立式(24)、式(25)和式(29)，可得

(31)

則

(32)

(33)

在η=0的情況下，根據(jù)幾何關(guān)系可知

(34)

證畢.

假設(shè)干擾d的上界為Md，即|d|≤Md，如果無干擾觀測器進(jìn)行干擾實(shí)時(shí)估計(jì)補(bǔ)償，需滿足w>Md以保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。但是，如果w取值較大，會(huì)引起系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近出現(xiàn)高頻抖動(dòng)。引入干擾觀測器進(jìn)行干擾實(shí)時(shí)估計(jì)補(bǔ)償?shù)那闆r后，僅需滿足定理1中條件1和2即可保證閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過選取合適的干擾觀測器參數(shù)β1和β2，可使M<

上述分析證明結(jié)果是以式(29)成立為前提，定義χ為

(35)

綜上所述，結(jié)合式(29)和式(35)可得制導(dǎo)指令σ的計(jì)算公式

(36)

3 仿真校驗(yàn)

分別在標(biāo)稱情況下和存在不確定干擾情況下進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真，并對仿真結(jié)果進(jìn)行分析。仿真參數(shù)：再入彈頭質(zhì)量m=400kg，阻力系數(shù)CD=0.2，升力系數(shù)CL=0.5，參考面積S=0.524m2。制導(dǎo)參數(shù)：k=1.5，w=0.002，β1=10，β2=160。k和w影響命中精度和落角約束，其取值應(yīng)滿足定理1，k和w的取值越大，命中精度越高、落速越大、落角誤差越小。β1和β2主要影響觀測誤差的收斂速度和誤差，并影響w下界，其取值應(yīng)滿足引理1。β1和β2的取值越大，觀測誤差的收斂速度越快、收斂誤差越小，w下界越小。

(1) 標(biāo)稱情況下

選取4組仿真算例，各算例的初始條件和終端位置條件相同，但理想終端角度約束不同，見表1。

表1 初始與理想終端條件Table 1 Initial and desired final condition of vehicle

(2) 存在干擾情況下

考慮在質(zhì)量系數(shù)偏差、大氣密度偏差、阻力系數(shù)偏差和升力系數(shù)偏差條件的綜合作用下，分別對算例1～4進(jìn)行100次蒙特卡羅打靶仿真，并對仿真結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。在蒙特卡羅仿真過程中，各偏差條件的取值范圍為：質(zhì)量系數(shù)偏差取值范圍∈[-2%,2%]；大氣密度偏差取值范圍∈[-10%,10%]；阻力系數(shù)偏差取值范圍∈[-10%,10%]；升力系數(shù)偏差取值范圍∈[-10%,10%]。各算例的落點(diǎn)分布如圖4所示，蒙特卡羅仿真統(tǒng)計(jì)結(jié)果見表3。

表2 標(biāo)稱條件下終端狀態(tài)誤差Table 2 Final states error on nominal condition

表3 蒙特卡羅仿真統(tǒng)計(jì)結(jié)果Table 3 Statistical results of Monte-Carlo simulation

通過對在標(biāo)稱情況下以及存在干擾下的蒙特卡羅仿真結(jié)果分析可知：本文針對固定配平型再入彈頭帶終端角度約束的末制導(dǎo)問題所研究的新穎制導(dǎo)方法具有較高的命中精度，同時(shí)也能滿足終端角度約束，并且具有較強(qiáng)的魯棒性。

4 結(jié) 論

本文以固定配平型再入彈頭為研究對象，其具有升力大小不可主動(dòng)調(diào)節(jié)，僅升力方向可控的飛行特點(diǎn)。針對固定配平型再入彈頭帶終端角度約束的末制導(dǎo)問題，本文將滾轉(zhuǎn)制導(dǎo)律與三維圓周制導(dǎo)律相結(jié)合，提出一種新穎的的制導(dǎo)方法，并采用干擾觀測器和變結(jié)構(gòu)控制律以增強(qiáng)制導(dǎo)系統(tǒng)的魯棒性。通過在標(biāo)稱以及存在干擾和參數(shù)不確定情況下的數(shù)值仿真驗(yàn)證了該方法具有較高的命中精度，同時(shí)也能滿足終端角度約束，具有較強(qiáng)的魯棒性。文中給出的仿真實(shí)例說明了該方法的有效性。

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通信地址：西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院234信箱(710072)

E-mail:zhoujun@nwpu.edu.cn

葛振振(1989-)，男，博士生，主要從事制導(dǎo)控制理論及應(yīng)用研究。本文通信作者。

通信地址：西北工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院234信箱(710072)

E-mail:gezhenzhen@126.com

(編輯：張宇平)

Terminal Guidance Law with Impact Angle Constraint for the Fixed-Trim Reentry Warhead

ZHOU Jun, GE Zhen-zhen, LIN Peng

(Institute of Precision Guidance and Control, Northwestern Polytechnical University, Xi’an 710072, China)

As the fixed-trim reentry warhead only has a single axis of rolling control, a novel terminal guidance law with impact angle constraint is proposed in this paper. The three-dimensional terminal guidance law combines the traditional circular navigation guidance approach with impact angle constraint and the improved cross-product guidance method without impact angle constraint for fixed-trim warheads. According to the theoretical analysis, it has been proved that the new guidance law will guarantee zero miss distance and impact angle constraint by choosing proper guidance parameters. For improving the robustness of the guidance law, a linear disturbance observer is combined with the variable structure control to estimate the system uncertainties and disturbances during flight. Simulation results show that the proposed terminal guidance law can satisfy both miss distance requirement and impact angle constraint perfectly.

Fixed-trim; Reentry warhead; Impact angle constraint; Cross-product guidance; Circular navigation guidance; Disturbance observer

2016-09-02;

2017-02-13

V448.2

A

1000-1328(2017)04-0375-09

10.3873/j.issn.1000-1328.2017.04.007

周 軍(1966-)，男，教授，博士生導(dǎo)師，主要從事先進(jìn)控制理論及應(yīng)用、導(dǎo)彈精確制導(dǎo)與控制技術(shù)、航天器控制與仿真技術(shù)等研究