江蘇省梅村高級(jí)中學(xué)(214112) 馬紅燕●

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三角函數(shù)中一類“會(huì)而易錯(cuò)”的問題

江蘇省梅村高級(jí)中學(xué)(214112)
馬紅燕●

從當(dāng)今江蘇高中數(shù)學(xué)內(nèi)容與要求來看，三角函數(shù)一塊內(nèi)容相對(duì)于函數(shù)與數(shù)列來講較為簡(jiǎn)單，學(xué)生也較易理解.但從實(shí)際情況來看，三角函數(shù)中的一類問題：有關(guān)考查到三角函數(shù)中sinα+cosα、sinα-cosα、sinαcosα這三者關(guān)系的運(yùn)用時(shí),學(xué)生往往“會(huì)而失分”.本文將從這三者中知一求二,抓住這三者結(jié)構(gòu)特點(diǎn),有關(guān)這三者題型的升華,以及相關(guān)實(shí)際應(yīng)用問題提煉這幾方面加以說明.

三角函數(shù);“會(huì)而易錯(cuò)”的問題

說到三角函數(shù)中的sinα+cosα、sinα-cosα、sinαcosα這三者關(guān)系,大家一定并不陌生,因?yàn)樗鼈兺ㄟ^sin2α+cos2α=1這個(gè)平方關(guān)系式緊密連在一起,構(gòu)成一個(gè)不可分割的整體.這部分內(nèi)容總體比較簡(jiǎn)單平穩(wěn),學(xué)生理解起來難度并不大.但從實(shí)際考試情況來看，情況又不容樂觀，經(jīng)常出現(xiàn)增解，或者由于說理不透而無謂失分，非?？上?本文通過以下幾個(gè)典型的例子來說明錯(cuò)誤的原因以及注意事項(xiàng)，盡量杜絕會(huì)而常錯(cuò)現(xiàn)象.

一、三者關(guān)系中知一求二

條件求值是數(shù)學(xué)中很重要的題型,給出某些已知條件,然后會(huì)讓學(xué)生求與條件相關(guān)的一些結(jié)論,即考查知識(shí)的相通性.有些可以通過定理、公式、結(jié)論等很快得到解答,但三角中的這塊內(nèi)容卻會(huì)做而做不對(duì),那么，問題在哪里呢？

二、抓住三者結(jié)構(gòu)特點(diǎn)解題

由于sinα+cosα和sinαcosα正好可以看成是二次方程的兩根之和與兩根之積,所以問題可與方程的根聯(lián)系起來，從而可以和二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系聯(lián)合考查.

求：(1)k的值；(2) sinθ,cosθ及θ的值.

例3 求函數(shù)y=sinx-cosx-sinxcosx的值域.

三、相關(guān)實(shí)際應(yīng)用問題的提煉

應(yīng)用題是高考不可缺少的題型,三角應(yīng)用題也會(huì)經(jīng)常被考查,三角與導(dǎo)數(shù)相結(jié)合的應(yīng)用題更加普遍,每年的模擬題中就會(huì)見到不少.

例4 (課本習(xí)題改編)一走廊拐角處的橫截面如圖所示,已知內(nèi)壁FG和外壁BC都是半徑為1 m的四分之一圓弧,AB、DC分別與圓弧BC相切于B、C兩點(diǎn),EF∥AB,GH∥CD,且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1 m.

(2)若一根水平放置的木棒能通過該走廊拐角處,求木棒長度的最大值.

解 (1)如圖,設(shè)圓弧FG所在圓的圓心為Q,過Q點(diǎn)作DC垂線,垂足為點(diǎn)T,且交MN或其延長線于點(diǎn)S,連結(jié)PQ,再過點(diǎn)N作TQ的垂線,垂足為W.

在Rt△NWS中,因?yàn)镹W=2,∠SNW=θ,

①若S在線段TG上,則TS=QT-QS.

綜上所述，三角函數(shù)中這三者,緊密不可分.若能掌握好知識(shí)點(diǎn)之間的相互關(guān)系,學(xué)生對(duì)于解決類似于例4的綜合題就會(huì)更加得心應(yīng)手.教學(xué)中要精心設(shè)計(jì)例題,多讓學(xué)生尋找相互關(guān)系,從而更好地學(xué)好相關(guān)知識(shí),舉一反三,讓自己的解題能力更勝一籌，把這類容易上手而較易失分的問題完美解答.

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