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        一類恒成立問題的解題策略探究

        2017-05-17 09:56:02貴州省甕安第五中學(xué)550400陳友華
        數(shù)理化解題研究 2017年10期
        關(guān)鍵詞:甕安實(shí)數(shù)定點(diǎn)

        貴州省甕安第五中學(xué)(550400) 陳友華●

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        一類恒成立問題的解題策略探究

        貴州省甕安第五中學(xué)(550400)
        陳友華●

        高中數(shù)學(xué)中在某些恒成立條件下求參數(shù)取值范圍的問題,可考慮用分離參數(shù)的方法轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的不等式求解.

        恒成立;參數(shù);取值范圍

        恒成立問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及考試中常見的類型,是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn),也是歷年高考重點(diǎn)考查和數(shù)學(xué)競賽中的熱點(diǎn)內(nèi)容.它要求學(xué)生具有較強(qiáng)的讀題理解能力,要求學(xué)生全面掌握函數(shù)與方程、等價轉(zhuǎn)換等數(shù)學(xué)思想.涉及恒成立問題的題型語言精煉,解決方法靈活多變,不易把握.但對一類在一定條件下恒成立需求其參數(shù)取值范圍的問題,若能將參數(shù)分離出來,轉(zhuǎn)化為其它數(shù)學(xué)問題求解,就會化繁為簡,化難為易.由于“分離參數(shù)法”因其思路明確,容易理解,易于掌握,成為解決某些恒成立條件求參數(shù)的最佳方法,下面僅就這類恒成立問題進(jìn)行剖析.

        一、方程恒有解問題

        “分離參數(shù)法”的基本思路是源于函數(shù)與方程思想,利用函數(shù)與方程的特殊關(guān)系進(jìn)行化歸、轉(zhuǎn)換.在含有參數(shù)的方程中,將參數(shù)視為主變量的函數(shù),若能通過恒等變形,使方程的一邊含有參數(shù)的代數(shù)式,另一邊是只含有主變量的函數(shù),此時,函數(shù)關(guān)系就明朗化了.只要能夠求出主變量函數(shù)的值域,則參數(shù)的取值范圍就可以轉(zhuǎn)化為不等式問題求解確定了.

        例1 關(guān)于x的方程16x+(5 +t)·4x+ 4 = 0恒有解,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

        例2 設(shè)0≤x≤π,關(guān)于x的方程cos2x+4bsinx+b-2=0恒有兩個不同的解,求b的取值范圍.

        分析 原方程可化為:-2sin2x+4bsinx+b-1=0

        令t=4sinx+1,∵0≤x≤π,∴1≤t≤5.

        二、不等式恒成立問題

        在恒成立條件下不等式中參數(shù)的取值范圍問題,因涉及的知識多、范圍廣、綜合性強(qiáng),對學(xué)生能力要求較髙.如何從題設(shè)條件中篩選出有用信息,借用已有知識結(jié)構(gòu),展開聯(lián)想,尋找方法,實(shí)現(xiàn)突破有一定難度.但如果能將參數(shù)分離出來,建立起明確的關(guān)系式,找到化歸的方向,問題就迎刃而解了.

        例3 若{an}是遞增數(shù)列,且對于任意自然數(shù)n,an=n2+λn恒成立,求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.

        解 ∵{an}是遞增數(shù)列,

        ∴對任意的自然數(shù)n,均有an+1-an>0恒成立,

        即2n+1+λ>0.分離參數(shù),得:

        λ>-(2n+1)恒成立.

        而-(2n+1)的最大值是-3,從而得:λ>-3.

        例4 當(dāng)a為何值時,對區(qū)間[0,3]上的任意實(shí)數(shù)x,不等式log(2a2-1)(2x+2)<-1恒成立?

        解 對于x∈[0,3],2x+2>0,下分兩種情況討論:

        (2)當(dāng)2a2-1>1,即a2>1時,原不等式可化為:

        分離參數(shù),上不等式組等價于下列不等式組:

        三、曲線恒過定點(diǎn)問題

        解析幾何中含有參數(shù)的方程的曲線恒過定點(diǎn)問題,主變元與參數(shù)相互交織在一起,學(xué)生往往找不到解決問題的突破口,普遍感到困難.但若將參數(shù)分離出來,問題便可解決了.

        例7 已知5m-2n=1,證明直線mx+ny=2恒過定點(diǎn).

        例8 求證:無論m為何值,曲線x2+y2-8mx-4my+40m-25=0恒過定點(diǎn).

        證明 將參數(shù)分離,原方程可化為:x2+y2-25-4m(2x+y+10)=0.

        故無論m為何值,曲線恒過定點(diǎn)(3,4)和(5,0).

        G632

        B

        1008-0333(2017)10-0050-02

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