西華師范大學(xué)(637000) 寇唯煒●

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一道圓錐曲線題目引發(fā)的思考

西華師范大學(xué)(637000)
寇唯煒●

圓錐曲線的定值問題一直都是高考的熱點(diǎn)問題.從四川省雙流中學(xué)2014級(jí)高三九月月考21題(2)問證明得到的結(jié)論,將其進(jìn)行了深入推廣.研究了過焦點(diǎn)的直線與準(zhǔn)線的交點(diǎn),及與圓錐曲線的交點(diǎn)這三點(diǎn)和圓錐曲線上橫坐標(biāo)等于焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)的點(diǎn)所成斜率的關(guān)系.

圓錐曲線,斜率,定值

一、問題再現(xiàn)

(1)求橢圓C的方程.

(2)AB是經(jīng)過右焦點(diǎn)F的任一弦(不經(jīng)過點(diǎn)P)，設(shè)直線AB與l相交于點(diǎn)M,記PA,PB,PM的斜率分別為k1,k2,k3,問：是否存在常數(shù)λ，使得k1+k2=λk3？若存在，求出λ的值;若不存在，說明理由.

(2)設(shè)lAB:y=k(x-1) ①.

整理得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),

將x=4代入①得M(4,3k),

此題是以橢圓為載體，通過直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,設(shè)而不求等相關(guān)知識(shí),同時(shí)考查了學(xué)生的探究能力,將此結(jié)論推廣到雙曲線和拋物線中發(fā)現(xiàn)也能得到同樣的結(jié)果.

化得(b2-a2k2)x2+2a2k2cx-(a2k2c2+a2b2)=0.

設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2) ①,

將②③對(duì)比得k1+k2=2k3.

證明 設(shè)拋物線為:y2=2px,

∵A,F,B三點(diǎn)共線，

由①代入得k1+k2=2k+2 ③.

將②③對(duì)比得k1+k2=2k3

以上的探究證明,知道對(duì)于中心(頂點(diǎn))在坐標(biāo)原點(diǎn)的三種圓錐曲線(平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡)揭示了他們內(nèi)在的本質(zhì)聯(lián)系，都滿足圓錐曲線上當(dāng)橫坐標(biāo)為定值的點(diǎn)與過該點(diǎn)的直線與定直線和圓錐曲線的三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成直線的斜率關(guān)系.圓錐曲線內(nèi)在的和諧統(tǒng)一決定了它們還有更多優(yōu)美的性質(zhì)等待我們?nèi)ヌ骄颗c挖掘.

[1]陸應(yīng)海.“有心”圓錐曲線焦點(diǎn)弦的一個(gè)優(yōu)美定理與推論[J].

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1008-0333(2017)10-0047-02