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        解壓軸題:離散問題 離散解決

        2017-05-17 09:56:02福建省泉州外國語中學(xué)362000許銀伙
        數(shù)理化解題研究 2017年10期
        關(guān)鍵詞:壓軸整數(shù)泉州

        福建省泉州外國語中學(xué)(362000) 許銀伙●

        福建省泉州第五中學(xué)(362000) 楊蒼洲●

        ?

        解壓軸題:離散問題 離散解決

        福建省泉州外國語中學(xué)(362000)
        許銀伙●

        福建省泉州第五中學(xué)(362000)
        楊蒼洲●

        壓軸題中經(jīng)常出現(xiàn)一類以含參數(shù)不等式或函數(shù)式為載體,求參數(shù)的最大或最小整數(shù)值的問題.在配套參考解答中,都是綜合利用函數(shù)、方程、導(dǎo)數(shù)及不等式知識(shí),采用分離參數(shù)和設(shè)而不求方法,估計(jì)參數(shù)范圍,讓參數(shù)落在兩整數(shù)之間.這種方法抽象度較高,估值范圍不容易控制,有些甚至解決不了.針對(duì)這類問題本文介紹的方法是:關(guān)注參數(shù)的離散特性,通過觀察和嘗試,化繁難的探求為比較容易操作的驗(yàn)證來加以解決.

        例題1 (2012年高考全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)=ex-ax-2.

        (Ⅰ)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

        分析與解

        (Ⅰ)略.

        (Ⅱ)方法一:當(dāng)a=1時(shí),f ′(x)=ex-1.

        (ⅰ)當(dāng)k=0時(shí),不等式化為xex+1>0,符合題意.

        (ⅱ)當(dāng)k∈N*時(shí),令g(x)=(x-k)(ex-1)+x+1(x>0),則g′(x)=(x+1-k)ex.

        (1)當(dāng)k=1時(shí),g′(x)=xex>0,故g(x)在(0,+∞)單調(diào)遞增,所以g(x)>g(0)=1,符合題意.

        (2)當(dāng)k=2時(shí),g′(x)=(x-1)ex.

        當(dāng)x∈(0,1)時(shí),g′(x)<0,g(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),g′(x)>0,g(x)單調(diào)遞增.

        所以g(x)≥g(1)=3-e>0,符合題意.

        (3)當(dāng)k=3時(shí),g′(x)=(x-2)ex.

        同理可得:g(x)在(0,+∞)的最小值為g(2)=3-(e2-1)<0,不符合題意.

        綜上所述:k的最大值為2.

        由(Ⅰ)得h(x)=ex-x-2在(0,+∞)單調(diào)遞增,h(1)<0,h(2)>0,故存在唯一a∈(0,+∞),使h(a)=0,且當(dāng)x∈(0,a)時(shí),g′(x)<0;當(dāng)x∈(a,+∞)時(shí),g′(x)>0,所以g(x)在(0,+∞)最小值為g(a).

        由g′(x)=0得:ea=a+2,所以g(a)=1+a∈(2,3),由k

        反思與評(píng)注

        1. 高考參考解答對(duì)最小值點(diǎn)設(shè)而不求,須估計(jì)g′(x)零點(diǎn)的范圍,然后結(jié)合g′(a)=0,估計(jì)g(a)范圍在某兩個(gè)整數(shù)之間,這種方法對(duì)當(dāng)年學(xué)生是陌生的,而且最小值范圍有時(shí)不容易控制,某些同類型問題這種方法甚至無法解決.

        2.方法一利用k為整數(shù)的離散特性,觀察出k=0時(shí)符合,然后k=1,2,3逐個(gè)驗(yàn)證,容易理解和操作.

        3.根據(jù)問題特點(diǎn),可以從k=1開始驗(yàn)證,也可以間隔驗(yàn)證得出結(jié)論.

        (Ⅰ)求實(shí)數(shù)a的值,并求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

        (Ⅱ)試比較20142015與20152014的大小,并說明理由;

        (Ⅲ)是否存在k∈Z,使得kx>f(x)+2對(duì)任意x>0恒成立?若存在,求出k的最小值;若不存在,說明理由.

        分析與解 (Ⅰ)略.(Ⅱ)略.

        (Ⅲ)方法一:

        存在k∈Z,使kx>f(x)+2對(duì)任意x>0恒成立,即kx2>lnx+2x.

        取x=1,得k>2.

        綜上:所求整數(shù)k的最小值為3.

        方法二:(配套參考解答概要)

        又h(x0)=0,故1-2x0-2lnx0=0,

        反思與評(píng)注

        配套參考解答難點(diǎn)有三:

        1.計(jì)算繁難.

        2.合適的x0范圍(不唯一)不容易求出.

        變式訓(xùn)練 (2013年泉州市高三質(zhì)檢)定義域?yàn)镈的函數(shù)f(x),其導(dǎo)函數(shù)為f′(x),若對(duì)?x∈D,均有f(x)

        (Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=sinx,判斷f(x)是否為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù),并說明理由;

        (Ⅱ)已知函數(shù)g(x)=ax+a-1,a∈R,x∈(0,π)為其定義域上的夢(mèng)想函數(shù),求a的取值范圍;

        解 (Ⅰ)不是,理由略.

        (Ⅲ)h′(x)=cosx+a,由已知得:sinx+ax+a-1≤cosx+a,即sinx-cosx+ax-1≤0對(duì)x∈[0,π]恒成立.

        令φ(x)=sinx-cosx+ax-1,由φ(π)=aπ≤0得:a≤0(a∈Z).

        (2)a=-1時(shí),φ(x)=sinx-cosx-x-1.

        綜上得:a=-1為所求.

        方法二:要判斷φ(x)=sinx-cosx-x-1<0對(duì)x∈[0,π]恒成立,即判斷sinx-x<1+cosx對(duì)x∈[0,π]恒成立.

        令k(x)=sinx-x,則k′(x)=cosx-1<0對(duì)x∈(0,π]恒成立,函數(shù)k(x)在x∈[0,π]單調(diào)遞減.

        又因?yàn)閗(0)=0,1+cosx≥0對(duì)x∈[0,π]恒成立,當(dāng)且僅當(dāng)x=π時(shí)取等號(hào).

        所以φ(x)=sinx-cosx-x-1<0對(duì)x∈[0,π]恒成立.

        綜上得:a=-1為所求.

        反思與評(píng)注

        1.本題在原配套的參考解答中既沒有特殊值代入,以壓縮參數(shù)討論范圍,也沒有關(guān)注參數(shù)的離散特性,化變量探求為常量驗(yàn)證,而是采用常規(guī)分離參數(shù)和設(shè)而不求,估計(jì)最值點(diǎn)落在某兩個(gè)整數(shù)之間,造成解答高度抽象且冗長,難度極大,有興趣的同仁可網(wǎng)上查閱比較.

        2.方法二中sinx≤x為常用結(jié)論,它在高一教材可用正弦線證明,在高二教材是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用的例題結(jié)論.

        G

        B

        1008-0333(2017)10-0029-02

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