中央民族大學附中海南陵水分校(572400) 侯 軍●

甘肅省臨夏市臨夏志成中學(731100) 張 悅●

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不等式攔路論英雄，判別式法妙解顯神通
——巧用判別式法解高考一類不等式問題

中央民族大學附中海南陵水分校(572400)
侯 軍●

甘肅省臨夏市臨夏志成中學(731100)
張 悅●

判別式法是高中階段求一類分式函數(shù)值域的常用方法，事實上，它在不等式領域一樣可以大顯神通.我們知道近幾年高考的不等式問題主要以考查均值不等式或柯西不等式為目的，筆者經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)巧妙地使用判別式法往往可以妙解高考中的這類不等式問題.本文就以近幾年的高考一類不等式問題為例來闡述判別式法在不等式領域的應用,以饗讀者.

一、構(gòu)造二次函數(shù)，再使用判別式

評析 高考所給的參考答案是采用二元均值不等式以及平衡系數(shù)法進行求解，需要學生具有較強的不等式功底，運用判別式法求解該題巧妙地回避了復雜的不等式技巧，但要求學生要有“主元”意識，本題也可以選取“a”或“c”為主元進行論證.

二、構(gòu)造一元二次方程，再使用判別式

例2 (2014年高考浙江卷文科第16題)已知實數(shù)a,b,c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值是____.

不妨將上式看作關于b的一元二次方程，

評析 本題也可以選取“c”為主元進行求解，對于此類的已知中有兩個方程的最值問題，減元是很重要的技巧.

三、引進參數(shù)進行整體代換，再使用判別式

例3 (2011年高考浙江卷理科第16題)已知4x2+y2+xy=1，則2x+y的最大值為____.

解 令2x+y=t，則y=t-2x，代入4x2+y2+xy=1得

即6x2-3tx+t2-1=0(*)，

因為方程(*)有實數(shù)根，故Δ≥0，

評析 引進參數(shù)t進行整體代換，構(gòu)造以參數(shù)t為系數(shù)的一元二次方程是解決此類問題的通性通法.

解 設2a+b=t，則b=t-2a，代入4a2-2ab+4b2-c=0得24a2-18ta+4t2-c=0.

評析 本題作為高考填空的最后一題難度較大，如果從均值不等式或柯西不等式入手需要的技巧性極強，這里使用判別式法巧妙地回避了復雜的代數(shù)變形，讓問題迎刃而解，解法自然不突兀.

因為方程(*)有實數(shù)根，故Δ≥0，

通過上述高考題的求解我們看到，教師在日常教學中不僅要關注“一題多解”的精彩演繹，更應重視“多題一解”歸納總結(jié)，教師的任務不是機械地簡單麻木地傳授數(shù)學知識，而是讓復雜抽象的數(shù)學表征變得生動活潑，讓冰冷的問題變成火熱的思考.

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