張 笑， 盧劍偉， 吳祚云， 謝慧敏

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院,合肥 230009)

計(jì)入齒面摩擦和熱變形的齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)建模分析

張 笑， 盧劍偉， 吳祚云， 謝慧敏

(合肥工業(yè)大學(xué) 機(jī)械與汽車(chē)工程學(xué)院,合肥 230009)

對(duì)計(jì)入齒面摩擦和熱變形的齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型進(jìn)行了分析。以漸開(kāi)線直齒輪為例，計(jì)入溫度效應(yīng)并考慮齒面摩擦、齒側(cè)間隙、時(shí)變嚙合剛度等非線性因素，建立系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)微分方程，并進(jìn)行算例分析。結(jié)果表明：摩擦因數(shù)和溫度對(duì)于系統(tǒng)的影響與轉(zhuǎn)矩波動(dòng)頻率有關(guān)。當(dāng)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)頻率較低時(shí)，系統(tǒng)一般呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)，摩擦因數(shù)和溫度的影響不明顯；當(dāng)轉(zhuǎn)矩波動(dòng)頻率較高時(shí)，摩擦和溫度對(duì)于傳動(dòng)精度和運(yùn)動(dòng)形態(tài)的影響很大，隨著摩擦因數(shù)和溫度的增加，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)由擬周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)，輪齒間敲擊狀態(tài)變復(fù)雜。

齒輪;摩擦;溫度效應(yīng);非線性動(dòng)力學(xué)

齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)是汽車(chē)變速器的核心部件，其動(dòng)力學(xué)響應(yīng)關(guān)系到變速器的振動(dòng)噪音，而摩擦是影響齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的重要因素之一。為此，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此開(kāi)展了一系列研究，如Iida等[1]建立了考慮齒面滑動(dòng)方向自由度的齒輪傳動(dòng)簡(jiǎn)化分析模型，研究輪齒摩擦對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)特性的影響。Vaishya等[2]將滑動(dòng)摩擦引入齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程中去，建立了全新的動(dòng)力學(xué)方程。此外，齒輪傳動(dòng)由于摩擦導(dǎo)致溫度上升，由此引發(fā)齒輪發(fā)生熱變形也較為普遍，會(huì)對(duì)齒輪傳動(dòng)特性形成影響，因此有必要掌握齒輪熱變形的規(guī)律。Blok[3]開(kāi)創(chuàng)性地提出了齒輪總體溫度準(zhǔn)則。李桂華[4]分析了漸開(kāi)線齒輪的溫度場(chǎng)，并推導(dǎo)了熱變形量和熱變形后的齒側(cè)間隙。

上述提及的研究分別對(duì)齒輪摩擦因數(shù)的影響和齒輪熱變形計(jì)算進(jìn)行了探討，但沒(méi)有考慮熱變形后輪齒齒廓改變對(duì)其嚙合狀態(tài)的影響。事實(shí)上，計(jì)入熱變形后的齒輪副嚙合線會(huì)發(fā)生改變，導(dǎo)致齒輪副嚙合點(diǎn)的法向和切向作用力大小和方向都會(huì)周期性變化，摩擦力的力臂也是時(shí)變的，從而對(duì)齒輪傳動(dòng)特性產(chǎn)生較大影響。為此，本文計(jì)入摩擦及熱變形的影響，建立齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，并通過(guò)數(shù)值算例分析摩擦和溫度對(duì)于齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的影響，為進(jìn)一步改善變速器的工作性能提供參考。

1 考慮溫度和摩擦的直齒輪副非線性動(dòng)力學(xué)模型

將齒輪系統(tǒng)簡(jiǎn)化處理為齒輪副的扭轉(zhuǎn)振動(dòng)系統(tǒng)，不考慮傳動(dòng)軸、支承軸承和箱體等彈性變形，直齒輪副摩擦-間隙非線性動(dòng)力學(xué)模型如圖1所示[5]。

圖1 直齒輪副非線性動(dòng)力學(xué)模型Fig.1 Non-linear dynamic model of spur gear

在該模型中主動(dòng)輪、從動(dòng)輪的分度圓壓力角為α，模數(shù)為m，齒數(shù)分別為Zp和Zg，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為Ip和Ig，質(zhì)量分別為mp和mg，基圓半徑分別為Rpb和Rgb，分度圓半徑分別為Rp和Rg，齒頂圓半徑分別為Rpa和Rga，轉(zhuǎn)動(dòng)角速度分別為Ωp和Ωg，轉(zhuǎn)動(dòng)角位移分別為θp和θg，驅(qū)動(dòng)轉(zhuǎn)矩為T(mén)p，負(fù)載力矩為T(mén)g，Cm為齒輪副線性嚙合阻尼，Km為齒輪副時(shí)變嚙合剛度，e(t)為齒輪副靜傳遞誤差，μ為齒面動(dòng)摩擦因數(shù)。

由于直齒輪的重合度ε一般在1和2之間，即同時(shí)嚙合的輪齒對(duì)數(shù)在1對(duì)和2對(duì)之間變化。故根據(jù)不同的嚙合狀態(tài)分情況建立齒輪系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程。

(1)

(2)

(3)

假設(shè)熱變形前后中心距保持不變，齒側(cè)間隙在齒輪熱變形后的改變量為Δb，則對(duì)于直齒輪

(4)

齒側(cè)間隙由初始側(cè)隙b變?yōu)閎′

b′=b-Δb

(5)

定義傳動(dòng)誤差為

(6)

其中靜傳遞誤差e(t)的傅里葉展開(kāi)式

(7)

式中，e0為靜傳遞誤差的平均值。

則間隙函數(shù)相應(yīng)的為[7]

(8)

0齒對(duì)和1齒對(duì)的嚙合力分別為

(9)

式中,km0(t)、Cm0、km1(t)、Cm1分別表示0、1齒對(duì)的時(shí)變嚙合剛度和阻尼系數(shù)。

輪齒剛度由赫茲接觸剛度kh、彎曲剛度kb、剪切剛度ks和軸向壓縮剛度kc組成，彎曲剛度、剪切剛度和軸向壓縮剛度均隨輪齒嚙合點(diǎn)位置的變化而改變，因此單對(duì)齒嚙合剛度為時(shí)變嚙合剛度。

單齒時(shí)變嚙合剛度的表達(dá)式如下[8]

(10)

式中,下標(biāo)1和2分別表示主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的剛度成分。

由于直齒輪的重合度ε一般在1和2之間，嚙合過(guò)程會(huì)出現(xiàn)單對(duì)齒和雙對(duì)齒交替嚙合，設(shè)同時(shí)嚙合的齒輪對(duì)數(shù)為N，則直齒輪的時(shí)變嚙合剛度為

(11)

熱變形后，0齒對(duì)處摩擦力[9]

Ff0=μFP0

(12)

1齒對(duì)處摩擦力

Ff1=μFP1×

(13)

摩擦力Ff0、Ff1對(duì)主、從動(dòng)輪的力臂Lp0、Lg0、Lp1、Lg1分別為

(14)

(15)

(16)

(17)

2 數(shù)值分析

基于上述動(dòng)力學(xué)分析模型，通過(guò)數(shù)值算例分析摩擦和溫度對(duì)于齒輪副傳動(dòng)特性的影響。數(shù)值計(jì)算時(shí)，齒輪系統(tǒng)的相關(guān)參數(shù)如表1所示。

表1 系統(tǒng)參數(shù)

2.1 摩擦對(duì)系統(tǒng)特性的影響

2.1.1 摩擦對(duì)低頻激勵(lì)下系統(tǒng)特性的影響

在轉(zhuǎn)矩激勵(lì)頻率ωp比較小時(shí)，取ωp為20π rad/s，溫升Δt為100 ℃，熱變形前初始齒側(cè)間隙b為50×10-6m，分別計(jì)算摩擦因數(shù)μ=0，0.3時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，如圖2和圖3所示。

(a)齒輪傳遞誤差響應(yīng)

(b)輪齒間動(dòng)態(tài)作用力圖2 齒輪動(dòng)力學(xué)響應(yīng)(μ=0)Fig.2 The dynamic response of gear system(μ=0)

(a)齒輪傳遞誤差響應(yīng)

(b)輪齒間動(dòng)態(tài)作用力圖3 齒輪動(dòng)力學(xué)響應(yīng)(μ=0.3)Fig.3 The dynamic response of gear system(μ=0.3)

對(duì)比以上兩圖，且通過(guò)帶入其他摩擦因數(shù)計(jì)算分析后發(fā)現(xiàn)，在外激勵(lì)頻率較低時(shí)，摩擦因數(shù)對(duì)傳遞誤差的影響很小，其幅值變化也很小。從功率譜圖中可以看出，系統(tǒng)響應(yīng)頻率都是外激勵(lì)頻率，頻率成分比較單一。從Poincare截面圖和相圖中可看出，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)形態(tài)都是周期運(yùn)動(dòng)。從齒輪動(dòng)態(tài)作用力圖中可以看出，在這種運(yùn)行工況下，輪齒間嚙合力在正值和負(fù)值之間交替變化，輪齒間出現(xiàn)雙邊沖擊，輪齒間作用力幅值并沒(méi)有太大變化，不過(guò)隨著摩擦因數(shù)的增大，輪齒間動(dòng)態(tài)作用力由規(guī)則向不規(guī)則變化，輪齒接觸時(shí)的沖擊力變得不均勻。

2.1.2 摩擦對(duì)高頻激勵(lì)下系統(tǒng)特性的影響

在轉(zhuǎn)矩激勵(lì)頻率ωp比較大時(shí)，取ωp為400π rad/s，溫升Δt為100 ℃，熱變形前初始齒側(cè)間隙b為50×10-6m，分別計(jì)算摩擦因數(shù)μ=0，0.1，0.3時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，如圖4～圖6所示。

從以上三圖對(duì)比可知，在外激勵(lì)頻率較高時(shí)，隨著摩擦因數(shù)的增大，齒輪的傳動(dòng)誤差幅值變化很大，很大程度上影響了傳動(dòng)精度。齒輪副隨著摩擦因數(shù)的增加由不發(fā)生沖擊變?yōu)閱芜厸_擊再變?yōu)殡p邊沖擊，沖擊變化的不規(guī)則程度加深。由功率譜圖可以看出系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)響應(yīng)的主導(dǎo)頻率發(fā)生了顯著變化，在不計(jì)入摩擦?xí)r是200 Hz的激勵(lì)頻率，而計(jì)入摩擦后，增加了極強(qiáng)的低頻響應(yīng)，傳動(dòng)精度惡化。結(jié)合相圖和Poincare截面圖，可以得知摩擦改變了系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)，隨著摩擦因數(shù)增大，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)為混沌運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)存在不規(guī)則沖擊。

圖4 齒輪傳遞誤差響應(yīng)(μ=0)Fig.4 The response of gear transmission error(μ=0)

圖5 齒輪傳遞誤差響應(yīng)(μ=0.1)Fig.5 The response of gear transmission error(μ=0.1)

圖6 齒輪傳遞誤差響應(yīng)(μ=0.3)Fig.6 The response of gear transmission error(μ=0.3)

2.2 溫度效應(yīng)對(duì)系統(tǒng)特性的影響

2.2.1 溫度對(duì)低頻激勵(lì)下系統(tǒng)特性的影響

在轉(zhuǎn)矩激勵(lì)頻率ωp比較小時(shí)，取ωp為20π rad/s，熱變形前初始齒側(cè)間隙b為50×10-6m，摩擦因數(shù)μ為0.05，分別計(jì)算溫升Δt=0 ℃，60 ℃，120 ℃時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，如圖7～圖9所示。

圖7 齒輪傳遞誤差響應(yīng) (Δt=0 ℃)Fig.7 The response of gear transmission error (Δt=0 ℃)

圖8 齒輪傳遞誤差響應(yīng)(Δt=60 ℃)Fig.8 The response of gear transmission error (Δt=60 ℃)

圖9 齒輪傳遞誤差響應(yīng)(Δt=120 ℃)Fig.9 The response of gear transmission error (Δt=120 ℃)

由圖7～圖9可以看出，在外激勵(lì)頻率較低時(shí)，隨著溫度的增加，齒輪的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)形態(tài)均為周期運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)的傳動(dòng)精度和運(yùn)動(dòng)形態(tài)隨著溫度的變化并不明顯，齒輪輪齒間的沖擊形態(tài)都是雙邊沖擊，說(shuō)明在此工況下，溫度不是齒輪敲擊現(xiàn)象產(chǎn)生或敲擊形態(tài)改變的主要影響因素。

2.2.2 溫度對(duì)高頻激勵(lì)下系統(tǒng)特性的影響

在轉(zhuǎn)矩激勵(lì)頻率ωp比較大時(shí)，取ωp為200π rad/s，熱變形前初始齒側(cè)間隙b為50×10-6m，摩擦因數(shù)μ為0.05，分別計(jì)算溫升Δt=0 ℃，60 ℃，120 ℃時(shí)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)特性，如圖10～圖12所示。

圖10 齒輪傳遞誤差響應(yīng)(Δt=0 ℃)Fig.10 The response of gear transmission error(Δt=0 ℃)

圖11 齒輪傳遞誤差響應(yīng)(Δt=60 ℃)Fig.11 The response of gear transmission error(Δt=60 ℃)

圖12 齒輪傳遞誤差響應(yīng)(Δt=120 ℃)Fig.12 The response of gear transmission error(Δt=120 ℃)

由圖10～圖12可得：在外激勵(lì)頻率較高時(shí)，系統(tǒng)傳遞誤差的幅值隨著溫度的升高變大，振動(dòng)范圍也相應(yīng)的變大，傳遞誤差的變化趨勢(shì)變得更為復(fù)雜，系統(tǒng)由單邊沖擊變?yōu)殡p邊沖擊再變?yōu)閱芜厸_擊。可見(jiàn)在轉(zhuǎn)矩波動(dòng)頻率較高時(shí)，溫度是敲擊形態(tài)改變的重要因素。從相圖和Poincare截面圖可以看出，隨著溫度的升高，系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)為混沌運(yùn)動(dòng)，系統(tǒng)由擬周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)榱嘶煦邕\(yùn)動(dòng)。

3 結(jié) 論

(1) 摩擦因數(shù)對(duì)于系統(tǒng)的影響與轉(zhuǎn)矩波動(dòng)頻率有很大關(guān)系。在外激勵(lì)頻率較低時(shí)，系統(tǒng)一般呈現(xiàn)周期運(yùn)動(dòng)，摩擦因數(shù)對(duì)于傳動(dòng)精度和系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形態(tài)的影響較小，只是隨著摩擦因數(shù)的增加，輪齒間作用力的不規(guī)則程度逐漸加深。但當(dāng)外激勵(lì)頻率較高時(shí)，系統(tǒng)一般呈現(xiàn)擬周期運(yùn)動(dòng)，摩擦因數(shù)的影響很大，系統(tǒng)的傳動(dòng)精度受到影響，隨著摩擦因數(shù)的增大，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的不規(guī)則程度加深，傳遞誤差的幅值和范圍都發(fā)生了很大改變，敲擊狀態(tài)發(fā)生改變。系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)形態(tài)也隨摩擦的增大由擬周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)。

(2)溫度對(duì)于系統(tǒng)的影響與轉(zhuǎn)矩波動(dòng)頻率的取值有很大關(guān)系。在外激勵(lì)頻率較低時(shí)，溫度對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)形態(tài)和傳遞精度的影響很小。在外激勵(lì)頻率較高時(shí)，隨著溫度的升高系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)運(yùn)動(dòng)由擬周期運(yùn)動(dòng)變?yōu)榛煦邕\(yùn)動(dòng)，由單邊沖擊變?yōu)殡p邊沖擊再變?yōu)閱芜厸_擊。可見(jiàn)高頻激勵(lì)下，溫度加劇了系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的不規(guī)則程度。

(3)變速器工作時(shí)的外激勵(lì)頻率不可避免的存在高頻工況，摩擦和溫度的影響在高頻下表現(xiàn)的比較明顯，所以為了抑制變速器的齒輪敲擊等現(xiàn)象，在高頻工況下需要考慮變速器工作環(huán)境溫度及齒輪的潤(rùn)滑。

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Dynamic modeling and analysis on gear transmission system with consideration of the tooth surface friction and thermal deformation

ZHANG Xiao, LU Jianwei, WU Zuoyun, XIE Huimin

(School of Mechanical and Automotive Engineering, Hefei University of Technology, Hefei 230009, China)

The dynamic model of gear transmission systems with consideration of the tooth surface friction and thermal deformation was discussed. A nonlinear differential dynamic equation of involute spur gears considering the temperature, tooth surface friction, backlash and time-varying mesh stiffness was built. Some numerical examples were analyzed. The results show that the influences of friction coefficient and temperature on system dynamic responses are related to the torque fluctuation frequency. When the frequency is low, the gear system shows the feature of periodic motion and the influences of friction and temperature are not obvious. When the frequency is high, the friction and temperature have a great influence on the gear transmission precision and motion form. The system motion form changes from quasi periodic motion into chaos along with the increase of friction coefficient and temperature, and the rattle condition becomes more complex.

gear; friction; temperature effect; nonlinear dynamics

教育部新世紀(jì)優(yōu)秀人才支持計(jì)劃 (NCET-10-0358);安徽省高校自然科學(xué)研究重大項(xiàng)目 (KJ2014ZD06)

2015-12-28 修改稿收到日期： 2016-03-15

張笑 男，碩士，1992年5月生

盧劍偉 男，博士，教授，1975年12月生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.10.033