柴 天 李 凡 雷 飛 劉 杰 曾 俠 唐應(yīng)時

1.湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙，4100822.湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院，長沙，410082

考慮輪胎側(cè)偏特性的賽車轉(zhuǎn)向幾何研究

柴 天1,2李 凡1,2雷 飛1,2劉 杰1,2曾 俠2唐應(yīng)時1,2

1.湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室，長沙，4100822.湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院，長沙，410082

為了提高賽車輪胎側(cè)向附著合力及轉(zhuǎn)向極限側(cè)向加速度，提出了一種考慮輪胎側(cè)偏特性的轉(zhuǎn)向幾何。通過分析輪胎側(cè)偏角的影響，確定了整車轉(zhuǎn)向瞬心位置，并建立了三自由度整車模型。結(jié)合輪胎力學(xué)模型，以最大化整車輪胎側(cè)向附著合力為目標，采用隔代映射遺傳算法對考慮輪胎側(cè)偏特性的轉(zhuǎn)向幾何進行求解。整車仿真和試驗結(jié)果表明，相比阿克曼轉(zhuǎn)向幾何，考慮輪胎側(cè)偏特性的轉(zhuǎn)向幾何可以更有效地增大整車輪胎的側(cè)向附著合力，提高賽車在極限工況下的轉(zhuǎn)彎性能。

轉(zhuǎn)向幾何；輪胎側(cè)偏特性；輪胎側(cè)向力；優(yōu)化；賽車

0 引言

賽車運動期望車輛在賽道上以盡可能短的時間完成既定里程，因此，車輛需以盡可能高的平均速度完成比賽。然而賽道往往由各種直道和彎道組成，賽車在直道中會加速、在彎道中需減速以順利通過彎道，所以，為了提高賽車的平均速度，需要提高賽車加速時的縱向加速度、制動時的縱向減速度以及轉(zhuǎn)向時的側(cè)向加速度[1]。提高側(cè)向加速度可使賽車以更快的車速轉(zhuǎn)向，從而提高賽車在彎道中的平均速度；而且由于轉(zhuǎn)向車速提高，賽車在進入彎道前可以不過多地減速，出彎時能以更高的初速進行加速，也有利于提高賽車直道的平均速度，因此，轉(zhuǎn)向性能對賽車至關(guān)重要。

目前，國內(nèi)外學(xué)者對車輛轉(zhuǎn)向性能開展了眾多研究。初亮等[2]考慮獨立懸架斷開點對轉(zhuǎn)向梯形運動的影響，建立了斷開式轉(zhuǎn)向梯形機構(gòu)的數(shù)學(xué)模型并對機構(gòu)進行了優(yōu)化設(shè)計。董恩國等[3]研究了設(shè)計變量的隨機誤差對轉(zhuǎn)向機構(gòu)的影響，減少了不確定因素對車輛轉(zhuǎn)向性能的影響。文獻[4-5]研究了轉(zhuǎn)向和懸架之間的相互作用。SIMIONESCU等[6]對二自由度轉(zhuǎn)向機構(gòu)進行了運動學(xué)分析，并對其性能進行了研究。MIHAILIDIS等[7]設(shè)計了一種可調(diào)節(jié)的轉(zhuǎn)向梯形機構(gòu)，使車輛可以滿足不同工況的性能需求。

上述研究基本是在阿克曼轉(zhuǎn)向幾何基礎(chǔ)上對轉(zhuǎn)向系統(tǒng)進行研究的，這對車輛轉(zhuǎn)向系統(tǒng)的工程開發(fā)有很好的指導(dǎo)意義。但阿克曼幾何未考慮輪胎的側(cè)偏特性，且賽車更關(guān)注輪胎附著力的提高，以使整車獲得更大的加速度。本文考慮輪胎側(cè)偏特性的影響，提出了一種滿足賽車性能需求的轉(zhuǎn)向幾何。首先，建立考慮輪胎側(cè)偏特性的三自由度整車轉(zhuǎn)向模型；然后，結(jié)合輪胎力學(xué)模型，以最大化整車輪胎側(cè)向附著合力為目標，采用隔代映射遺傳算法對考慮輪胎側(cè)偏特性的轉(zhuǎn)向幾何進行求解；最后，通過整車動力學(xué)仿真和整車試驗對這種轉(zhuǎn)向幾何的性能進行驗證。

1 整車轉(zhuǎn)向動力學(xué)建模

轉(zhuǎn)向幾何的確定，關(guān)鍵在于確定整車轉(zhuǎn)向瞬心位置。阿克曼轉(zhuǎn)向幾何沒有考慮輪胎側(cè)偏特性，將轉(zhuǎn)向瞬心定位于后軸延長線上。但賽車通常會以很大的側(cè)向加速度進行轉(zhuǎn)向，使賽車輪胎產(chǎn)生很大的側(cè)偏角，轉(zhuǎn)向瞬心也大幅度前移，所以阿克曼轉(zhuǎn)向幾何很難適用于賽車。

若整車轉(zhuǎn)向為定半徑穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)運動，則轉(zhuǎn)向瞬心將位于以質(zhì)心為圓心、轉(zhuǎn)彎半徑為半徑的圓周上。由于輪胎側(cè)偏角的影響，轉(zhuǎn)向瞬心將沿該圓周前移，故由此可確定前移后轉(zhuǎn)向瞬心的位置和對應(yīng)的各輪胎側(cè)偏角。同時，由于側(cè)偏角與側(cè)向附著力相關(guān)，進而可對轉(zhuǎn)向幾何與整車輪胎側(cè)向附著合力的關(guān)系進行研究。

1.1 整車模型

忽略空氣動力學(xué)和懸架跳動的影響，并假設(shè)輪胎的傾角和束角均為0、整車轉(zhuǎn)向為定半徑穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)運動，則可建立包含縱向、側(cè)向和橫擺運動的三自由度整車轉(zhuǎn)向模型(圖1)。圖中，R為整車穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)運動的半徑；I為整車轉(zhuǎn)向瞬心；O為整車質(zhì)心；u、v、ω分別為整車質(zhì)心位置上的縱向速度、側(cè)向速度和橫擺角速度，且側(cè)向速度v的方向指向瞬心；縱向速度u與整車縱軸的夾角δ為質(zhì)心側(cè)偏角，圖中所示方向為負值，δ越大,表明瞬心的前移量越大；l、tf、tr分別為整車的軸距和前后輪距；a、b分別為質(zhì)心與前后軸的距離。

圖1 三自由度整車轉(zhuǎn)向模型Fig.1 3-DOF car steering model

根據(jù)牛頓第二定律，三自由度整車轉(zhuǎn)向模型的動力學(xué)方程為

Fyfrsin(θfr+δ)+Fxflcos(θfl+δ)-Fyflsin(θfl+δ)+

(Fxrr+Fxrl)cosδ-(Fyrr+Fyrl)sinδ

(1)

Fyfrcos(θfr+δ)+Fxflsin(θfl+δ)+Fyflcos(θfl+δ)+

(Fxrr+Fxrl)sinδ+(Fyrr+Fyrl)cosδ

(2)

Fxrrtr/2-Fyrrb-Fxrltr/2-Fyrlb=0

(3)

θj=αj+βj

(4)

(5)

(6)

式中，F(xiàn)u、Fv分別為各輪胎附著力在縱向速度u和側(cè)向速度v方向上的分力；Mz為各輪胎附著力對質(zhì)心O的橫擺力矩；m為整車質(zhì)量；Iz為整車繞過質(zhì)心豎直軸的轉(zhuǎn)動慣量；Fxi為輪胎的縱向附著力，i=fr,fl,rr,rl；Fyi為輪胎的側(cè)向附著力；θj為前輪轉(zhuǎn)角，j=fr,fl；αi為輪胎側(cè)偏角；βi為輪胎速度方向與整車縱軸的夾角；d1、d2、d3、d4分別為輪胎附著力對整車質(zhì)心的力臂。

1.2 輪胎模型

由上述模型可知，當(dāng)轉(zhuǎn)彎半徑R和質(zhì)心側(cè)偏角δ確定時，即可確定轉(zhuǎn)向瞬心位置和各輪胎的側(cè)偏角，進而可由PAC2002魔術(shù)公式輪胎模型[8]計算輪胎的側(cè)向附著力Fy，即

Fy=Dsin{Carc tan[Bα-EBα+Earctan(Bα)]}+Svy

(7)

式中，D、C、B、E分別為峰值因子、形狀因子、剛度因子和曲率因子；Svy為曲線偏移量；α為輪胎側(cè)偏角。

賽車輪胎采用特殊配方設(shè)計，其附著系數(shù)明顯高于普通輪胎附著系數(shù)[1]。通過對典型的大學(xué)生方程式賽車輪胎進行試驗[9]，獲得輪胎力學(xué)特性試驗數(shù)據(jù)，并根據(jù)試驗數(shù)據(jù)對PAC2002魔術(shù)公式輪胎模型的各項因子進行擬合，所獲得輪胎模型的力學(xué)特性如圖2所示。

圖2 輪胎的力學(xué)特性Fig.2 Mechanical properties of racing tire

通過上述輪胎模型計算輪胎的側(cè)向附著力，需獲取各輪胎的垂向載荷。載荷轉(zhuǎn)移后各輪胎的垂向載荷[10]

Fzi=Fz0i+ΔFsi+ΔFui

(8)

其中，F(xiàn)z0i為靜平衡狀態(tài)下各輪胎的垂向載荷；ΔFsi、ΔFui分別為簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量轉(zhuǎn)移引起的輪胎垂向載荷變化量，即

式中，ay為整車側(cè)向加速度；ms、mu分別為整車簧載質(zhì)量和非簧載質(zhì)量；msf、msr分別為前后軸簧載質(zhì)量；muf、mur分別為前后軸非簧載質(zhì)量；kf、kr分別為前后懸架側(cè)傾剛度；hz為簧載質(zhì)量質(zhì)心與側(cè)傾軸線的距離；hrf、hrr分別為前后懸架側(cè)傾中心高度；huf、hur分別為前后軸非簧載質(zhì)量的質(zhì)心高度。

對于輪胎的縱向附著力，由于前輪為從動輪，故可認為其縱向附著力為輪胎的滾動阻力，其計算公式為

(9)

式中，μ為輪胎滾動阻力系數(shù)。

后輪為驅(qū)動輪，其縱向附著力為驅(qū)動力。假設(shè)差速器的鎖緊系數(shù)為0，則兩后輪的縱向附著力相同。當(dāng)已知各輪胎側(cè)向附著力、前輪縱向附著力以及整車運動狀態(tài)時，通過式(1)即可求出后輪的縱向附著力。

2 考慮側(cè)偏特性的轉(zhuǎn)向幾何求解

由式(4)可知，前輪轉(zhuǎn)角直接影響輪胎側(cè)偏角的大小，從而影響輪胎的側(cè)向附著力，所以，為增大整車輪胎的極限側(cè)向附著合力，以提高賽車轉(zhuǎn)向時的極限側(cè)向加速度，可以將對考慮輪胎側(cè)偏特性轉(zhuǎn)向幾何的求解等效為對最大化整車側(cè)向附著合力的優(yōu)化問題。

2.1 優(yōu)化問題

整車輪胎側(cè)向附著合力越大，側(cè)向加速度越大，因此，以側(cè)向附著合力為優(yōu)化目標函數(shù)。由輪胎側(cè)偏特性可知，輪胎側(cè)偏角與輪胎側(cè)向附著力直接相關(guān)。又由式(4)和式(5)可知，當(dāng)轉(zhuǎn)彎半徑R確定時，可由兩前輪轉(zhuǎn)角θfr、θfl和質(zhì)心側(cè)偏角δ確定各輪胎的側(cè)偏角，故將其作為優(yōu)化設(shè)計向量X =(θfr,θfl,δ)。

質(zhì)心側(cè)偏角δ過大將會降低車輛橫向穩(wěn)定性，為此，取δ的約束為±12°[11]。由于改變整車運動狀態(tài)的外力均來自輪胎附著力，故附著合力受整車運動狀態(tài)約束。又由于假設(shè)整車轉(zhuǎn)向為定半徑穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)運動，故在該運動狀態(tài)下整車縱向速度u和橫擺角速度ω均為常數(shù)，且側(cè)向速度v=0。根據(jù)式(1)～式(3)，輪胎附著合力應(yīng)滿足等式∑Fu=0,∑Fv=muω和∑Mz=0。綜上所述，并令ay=uω，則整車側(cè)向附著合力的優(yōu)化問題可描述為

(10)

采用隔代映射遺傳算法(IP-GA)[12]進行求解，該算法是對小種群遺傳算法(μGA)的改進。在μGA能夠避免收斂早熟、可以快速尋找到最優(yōu)區(qū)域等優(yōu)點的基礎(chǔ)上，IP-GA在μGA中加入了IP算子，通過連續(xù)兩代之間的最優(yōu)個體來構(gòu)造移動方向以快速獲得更優(yōu)的個體，從而增強對全局最優(yōu)解的搜索能力，并大大提高了收斂速度。由于在某一確定的轉(zhuǎn)彎半徑下只能求解出所對應(yīng)的內(nèi)外前輪轉(zhuǎn)角，故對式(10)的優(yōu)化模型分別在不同轉(zhuǎn)彎半徑下進行求解，即可得到一定轉(zhuǎn)角范圍內(nèi)的內(nèi)外前輪轉(zhuǎn)角關(guān)系。

2.2 優(yōu)化結(jié)果

以某型大學(xué)生方程式賽車為例，求解考慮輪胎側(cè)偏特性轉(zhuǎn)向幾何，并確定前輪轉(zhuǎn)角關(guān)系，其整車相關(guān)參數(shù)見表1。根據(jù)大學(xué)生方程式賽車比賽賽道的特點，賽車轉(zhuǎn)彎半徑多在4.5～25 m之間；但為滿足前輪轉(zhuǎn)角設(shè)計范圍的需要，在3.5～45 m范圍內(nèi)對前輪轉(zhuǎn)角關(guān)系進行求解，須考慮輪胎側(cè)偏特性轉(zhuǎn)向幾何所確定的前輪轉(zhuǎn)角關(guān)系，如圖3和表2所示。

表1 賽車相關(guān)參數(shù)Tab.1 Parameter of racing car

圖3 前輪轉(zhuǎn)角關(guān)系Fig.3 Relation of front wheel steering angles表2 兩種轉(zhuǎn)向幾何下的前輪轉(zhuǎn)角對比Tab.2 Front wheel steering angles of bothsteeing geometries

轉(zhuǎn)彎半徑(m)阿克曼轉(zhuǎn)向幾何考慮側(cè)偏特性的轉(zhuǎn)向幾何前外輪(°)前內(nèi)輪(°)前外輪(°)前內(nèi)輪(°)3.521.47129.11425.09533.547515.92019.92319.42624.158810.46012.08713.41716.595127.1657.8989.78712.328204.3914.6576.5369.295451.9852.0383.6346.296

2.3 分析與討論

由圖3和表2可知，在3.5～45 m的轉(zhuǎn)彎半徑范圍內(nèi)，考慮輪胎側(cè)偏角影響的轉(zhuǎn)向幾何與傳統(tǒng)阿克曼轉(zhuǎn)向幾何確定的前輪轉(zhuǎn)角關(guān)系有明顯區(qū)別，相同轉(zhuǎn)彎半徑下兩種轉(zhuǎn)向幾何內(nèi)外前輪的轉(zhuǎn)角也有很大差別。

為使整車產(chǎn)生側(cè)向加速度，需要輪胎提供側(cè)向附著力，則輪胎會產(chǎn)生側(cè)偏角。后輪側(cè)偏角會使整車轉(zhuǎn)向瞬心從后軸延長線向前偏移，表現(xiàn)為質(zhì)心側(cè)偏角增大。相較阿克曼轉(zhuǎn)向幾何，瞬心位置的變化使相同轉(zhuǎn)彎半徑所對應(yīng)的前輪速度方向發(fā)生變化，從而導(dǎo)致前輪轉(zhuǎn)角變化。又由于前輪也會產(chǎn)生側(cè)偏角，從而進一步改變前輪轉(zhuǎn)角。圖4、圖5所示分別為考慮輪胎側(cè)偏特性轉(zhuǎn)向幾何在最大側(cè)向加速情況下的輪胎側(cè)偏角和質(zhì)心側(cè)偏角曲線，由圖可知，輪胎產(chǎn)生很大的側(cè)偏角，而且質(zhì)心側(cè)偏角也很大，這表明轉(zhuǎn)向瞬心有很大的前移量。所以，在前后輪胎側(cè)偏特性的共同作用下，考慮輪胎側(cè)偏特性的轉(zhuǎn)向幾何與阿克曼轉(zhuǎn)向幾何產(chǎn)生了明顯的差異。

圖4 輪胎側(cè)偏角曲線Fig.4 Curve of slip angles of tire

圖5 質(zhì)心側(cè)偏角曲線Fig.5 Curve of vehicle side slip angle

3 整車仿真和試驗驗證

3.1 整車穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)仿真

分別采用阿克曼轉(zhuǎn)向幾何和考慮輪胎側(cè)偏特性的轉(zhuǎn)向幾何，在ADAMS/Car中建立某型大學(xué)生方程式賽車的多體動力學(xué)仿真模型[13]，并對整車的穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)進行仿真分析。不同轉(zhuǎn)彎半徑下，賽車穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)的最大側(cè)向加速度仿真結(jié)果如圖6所示。

圖6 不同轉(zhuǎn)彎半徑下兩種轉(zhuǎn)向幾何的最大側(cè)向加速度Fig.6 Maximum lateral acceleration vs. turning radius

由圖6可知，考慮輪胎側(cè)偏特性的轉(zhuǎn)向幾何可以提高整車的最大側(cè)向加速度，故該轉(zhuǎn)向幾何可以增大整車輪胎的側(cè)向附著合力。隨著轉(zhuǎn)彎半徑的增大，最大側(cè)向加速度的增量逐漸減小，其原因是當(dāng)轉(zhuǎn)彎半徑較小時，最大側(cè)向加速度較小，則整車側(cè)向載荷轉(zhuǎn)移量較小，內(nèi)側(cè)輪胎仍有較大垂向載荷來產(chǎn)生側(cè)向附著力，所以通過改善內(nèi)外前輪轉(zhuǎn)角關(guān)系可以有效增大整車輪胎的側(cè)向附著合力，進而提高整車的側(cè)向加速度。而當(dāng)轉(zhuǎn)彎半徑增大時，最大側(cè)向加速度增大，整車側(cè)向載荷轉(zhuǎn)移使內(nèi)側(cè)輪胎的垂向載荷明顯減小，無法產(chǎn)生對整車運動有明顯影響的側(cè)向附著力，所以通過改善內(nèi)外前輪轉(zhuǎn)角關(guān)系，也無法對整車的側(cè)向加速度產(chǎn)生顯著的影響。

3.2 整車試驗驗證

為驗證考慮輪胎側(cè)偏特性轉(zhuǎn)向幾何的實際效果，使用某型大學(xué)生方程式賽車對整車穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)性能進行試驗。通過對賽車轉(zhuǎn)向機構(gòu)進行改裝，獲得不同的轉(zhuǎn)向幾何，實現(xiàn)對不同轉(zhuǎn)向幾何的轉(zhuǎn)向性能對比。試驗用大學(xué)生方程式賽車如圖7所示。

圖7 試驗用大學(xué)生方程式賽車Fig.7 Formula student racing car for experiment

賽車以盡可能大的側(cè)向加速度進行穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)時，其車速和側(cè)向加速度有較大浮動。為便于對試驗結(jié)果進行分析，可通過賽車完成整圈穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)的最短時間來計算賽車的側(cè)向加速度。雖然計算結(jié)果為最大平均側(cè)向加速度，但不影響對兩種轉(zhuǎn)向幾何的優(yōu)劣進行對比和對側(cè)向加速度的變化趨勢進行分析。試驗結(jié)果見表3。

表3 整車試驗結(jié)果Tab.3 Vehicle experiment results

由表3可知，整車穩(wěn)態(tài)回轉(zhuǎn)試驗的側(cè)向加速度數(shù)據(jù)低于ADAMS/Car仿真數(shù)據(jù)。這是由多種因素綜合作用所造成的，包括輪胎與試驗場地路面的實際附著情況、ADAMS/Car多體動力學(xué)模型和實車的誤差、試驗員駕駛水平以及試驗結(jié)果為平均側(cè)向加速度等。由試驗結(jié)果可知，在不同轉(zhuǎn)彎半徑下，考慮輪胎側(cè)偏特性轉(zhuǎn)向幾何的最大側(cè)向加速度均大于阿克曼轉(zhuǎn)向幾何的最大側(cè)向加速度，且兩種幾何的加速度差值隨轉(zhuǎn)彎半徑的增大而減小。上述變化趨勢與ADAMS/Car仿真結(jié)果基本一致。這說明采用考慮輪胎側(cè)偏特性的轉(zhuǎn)向幾何可以有效增大整車輪胎的極限側(cè)向附著合力，提高整車的極限側(cè)向加速度。

4 結(jié)論

(1)本文提出的轉(zhuǎn)向幾何在確定整車轉(zhuǎn)向瞬心時考慮了輪胎側(cè)偏特性，使其不僅考慮了輪胎側(cè)偏角對輪胎滾動方向的影響，而且考慮了輪胎力學(xué)特性對整車側(cè)向加速度的影響。

(2)相比阿克曼轉(zhuǎn)向幾何，考慮輪胎側(cè)偏特性的轉(zhuǎn)向幾何可以有效增大整車輪胎的極限側(cè)向附著合力，提高整車的極限側(cè)向加速度，提高整車在極限工況下的轉(zhuǎn)向性能。

(3)由于后輪側(cè)偏角將使整車轉(zhuǎn)向瞬心前移，從而影響前輪轉(zhuǎn)角，故賽車轉(zhuǎn)向幾何的優(yōu)化設(shè)計應(yīng)當(dāng)綜合考慮前后輪胎的影響。

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(編輯 陳 勇)

Study on Steering Geometry of Racing Cars with Consideration of Tire Cornering Characteristics

CHAI Tian1,2LI Fan1,2LEI Fei1,2LIU Jie1,2ZENG Xia2TANG Yingshi1,2

1.State Key Laboratory of Advanced Design and for Vehicle Body，Hunan University，Changsha，410082 2.College of Mechanical and Vehicle Engineering， Hunan University， Changsha， 410082

For improving the tire lateral resultant forces and lateral accelerations of racing cars, a steering geometry was proposed considering the effects of tire cornering characteristics. The instantaneous center of steering was defined by analyzing the impacts of tire slip angles, and a 3-DOF full vehicle model containing tire model was developed for steering simulation. The steering geometry was obtained via optimization of maximizing lateral resultant forces of tires by IP-GA. Simulations and tests were conducted to validate the theoretical basis of the present steering geometry. The results indicate that the maximum lateral resultant force is raised under the design using the present steering geometry compared with Ackerman steering geometry. Thus the steering performance within extreme condition could be improved.

steering geometry；tire cornering characteristic；tire lateral force；optimization；racing car

2016-11-04

國家自然科學(xué)基金資助項目(51205117)

U463.42

10.3969/j.issn.1004-132X.2017.09.018

柴 天，男，1983年生。湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室博士研究生。主要研究方向為汽車系統(tǒng)動力學(xué)。E-mail: chaitian@hnu.edu.cn。李 凡，男，1981年生。湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室助理教授。雷 飛，男，1981年生。湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室助理教授。劉 杰，男，1979年生。湖南大學(xué)機械運載工程學(xué)院副教授、博士研究生導(dǎo)師。曾 俠，男，1993年生。湖南大學(xué)機械與運載工程學(xué)院本科生。唐應(yīng)時，男，1946年生。湖南大學(xué)汽車車身先進設(shè)計制造國家重點實驗室教授。