張 翔 葉佩青，2 張 輝，2

(1.清華大學機械工程系 北京 100084 2.摩擦學國家重點實驗室(清華大學) 北京 100084)

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基于組合繼電反饋的永磁同步直線電機推力波動辨識方法

張 翔1葉佩青1，2張 輝1，2

(1.清華大學機械工程系 北京 100084 2.摩擦學國家重點實驗室(清華大學) 北京 100084)

在永磁同步直線電機中，由齒槽效應(yīng)和端部效應(yīng)引起的推力波動是制約其動態(tài)性能的重要因素。提出一種基于組合繼電反饋的推力波動辨識方法，且利用辨識結(jié)果實現(xiàn)推力波動的補償。針對某直驅(qū)進給實驗平臺，首先建立其動力學模型，設(shè)計基于理想繼電環(huán)節(jié)和含有死區(qū)的遲滯繼電環(huán)節(jié)相結(jié)合的信號激勵源;其次利用描述函數(shù)對各非線性環(huán)節(jié)進行諧波線性化進而獲取各環(huán)節(jié)的雙輸入描述函數(shù)，再根據(jù)非線性系統(tǒng)極限環(huán)存在條件確定系統(tǒng)待辨識參數(shù)的解析表達式;最后，通過仿真和實驗驗證了該方法的可行性和準確性。實驗表明當直驅(qū)進給系統(tǒng)勻速運動時，含有推力波動補償時伺服系統(tǒng)的推力電流波動比補償前降低了46.3%，其跟蹤誤差的方均根由34.1 μm降至19.3 μm。

直線電機 極限環(huán) 參數(shù)辨識 繼電反饋 推力波動

0 引言

目前永磁同步直線電機已廣泛應(yīng)用于數(shù)控機床、醫(yī)療設(shè)備、半導體制造及精密儀器設(shè)備中，并起到重要作用。由于直線電機直接與執(zhí)行機構(gòu)連接，在提高進給系統(tǒng)傳動剛度的同時，其傳動精度和可靠性也得以明顯改善。此外，直線電機簡化中間傳動機構(gòu)，在提高空間利用率的同時消除了由傳動機構(gòu)帶來的摩擦或間隙等非線性因素，為提高直線伺服系統(tǒng)動態(tài)性能提供可能[1]。但任何作用在執(zhí)行機構(gòu)輸出端的負載或擾動也將無緩沖地作用在電機輸出端，如直線電機的推力波動、執(zhí)行機構(gòu)摩擦力以及負載突變等[2]。上述干擾因素中，推力波動主要由直線電機結(jié)構(gòu)所致，主要包括端部磁場開斷產(chǎn)生的端部定位力和內(nèi)部齒槽結(jié)構(gòu)引起的齒槽定位力，二者均與電機初級和次級的相對位置存在周期性關(guān)系，是電機自身的重要屬性[3]。推力波動的存在對直驅(qū)系統(tǒng)的動態(tài)性能具有重要影響，因此準確高效地檢測直線電機的推力波動對于提高直線電機動態(tài)性能具有重要意義。

為抑制或降低直線電機推力波動對伺服系統(tǒng)的影響，國內(nèi)外學者進行了大量研究，現(xiàn)將解決方案分為優(yōu)化或改進直線電機設(shè)計結(jié)構(gòu)[4-6]和在控制過程中對推力波動進行觀測或補償[7-9]兩類。文獻[10]針對圓筒型直線電機的永磁體形狀、充磁方向等進行優(yōu)化設(shè)計，使推力波動得到改善，但通過結(jié)構(gòu)優(yōu)化的方法抑制推力波動會增加生產(chǎn)成本且易引起其他指標的退化。因此在控制器中通過辨識、補償推力波動是抑制其影響的另一重要途徑。在直線電機推力波動的辨識中按照其模型是否已知將其分為基于模型和無模型辨識。文獻[11]根據(jù)已知形式的推力波動，提出一種基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的辨識方法，通過系統(tǒng)輸入輸出對推力波動的未知參數(shù)進行辨識和補償，由于此方法的辨識精度對樣本數(shù)據(jù)庫的敏感性強，因此為保證辨識精度，需要進行大量實驗獲取樣本數(shù)據(jù)。文獻[12]提出一種基于擾動觀測器的方法，將直線電機推力波動作為系統(tǒng)擾動，通過提取控制器輸入和位置輸出進行實時觀測并補償，但其觀測與補償效果受到被測信號所含高頻噪聲的影響。文獻[13]利用一種特殊機構(gòu)測試推力波動，根據(jù)相同測試條件不同運行方向?qū)⒛Σ亮Φ窒M而獲取推力波動，但該方法對電機尺寸有所限制，難以得到普遍應(yīng)用。

繼電反饋辨識方法是一種基于非線性系統(tǒng)穩(wěn)定極限環(huán)的幅值和頻率等信息而獲取系統(tǒng)模型參數(shù)的方法，且在辨識過程中無需額外執(zhí)行機構(gòu)或信號激勵裝置。由于此方法簡單易行，已廣泛應(yīng)用于過程控制領(lǐng)域的參數(shù)辨識中。此外已有相關(guān)學者研究利用繼電反饋方法辨識伺服系統(tǒng)的靜摩擦力、庫倫摩擦力和黏滯摩擦力，并通過仿真和實驗驗證了方法的正確性[14，15]。新加坡學者S.L.Chen首次提出應(yīng)用繼電反饋方法對直驅(qū)進給伺服系統(tǒng)的推力波動進行辨識，通過遲滯繼電環(huán)節(jié)產(chǎn)生的方波作為激勵信號實現(xiàn)辨識[16]。由于繼電反饋辨識本質(zhì)上是利用描述函數(shù)將非線性系統(tǒng)線性化來求解待辨識參數(shù)解析表達式，而方波激勵信號中諧波含量較高，使參數(shù)辨識的精度受限。

綜上所述，為降低激勵信號中的諧波含量以提高參數(shù)辨識精度，本文提出一種基于組合繼電反饋的直線電機推力波動辨識方法。針對直驅(qū)進給系統(tǒng)，首先建立其動力學模型，其次設(shè)計了基于理想繼電環(huán)節(jié)和含死區(qū)的遲滯繼電環(huán)節(jié)的組合繼電激勵，并根據(jù)極限環(huán)存在條件及諧波線性化理論求解待辨識參數(shù)的解析表達式，最后通過仿真計算和實驗驗證該辨識方法的可行性和準確性。

1 直驅(qū)進給系統(tǒng)動力學建模

本文以直驅(qū)進給實驗平臺為研究對象，平臺以圓筒型直線電機為驅(qū)動元件,以滑動導軌為傳動元件，建立其動力學模型為

f(t)=Kfi(t)

(1)

(2)

式中，f(t)、fr(x)、ff和fΔ分別為直線電機驅(qū)動力、推力波動、摩擦力和其他干擾；Kf為推力系數(shù)；i(t)為加載至線圈的電流值；m為負載質(zhì)量；x(t)為執(zhí)行機構(gòu)的實時位置。由于直驅(qū)平臺采用滑動導軌作為傳動方式，因此主要考慮由黏性摩擦fv和庫倫摩擦fc組成的摩擦力

(3)

另外根據(jù)文獻[16]可知，在忽略推力波動高次諧波的情況下，可將fr(x)簡化為

fr(x)=Csin(Ωx+θ)=C1cos(Ωx)+C2sin(Ωx)

(4)

由式(1)～式(4)可得

(5)

其中

(6)

根據(jù)式(5)直驅(qū)進給系統(tǒng)線性部分可表示為

(7)

式中，a=fv/m；b=1/m。

2 非線性系統(tǒng)參數(shù)辨識

2.1 組合繼電環(huán)節(jié)的設(shè)計

為使上述非線性系統(tǒng)能夠產(chǎn)生穩(wěn)定的極限環(huán)，即在某種激勵信號作用下，系統(tǒng)具有頻率和幅值穩(wěn)定的位置輸出。因此設(shè)計基于理想繼電環(huán)節(jié)和含有死區(qū)的遲滯繼電環(huán)節(jié)相結(jié)合的信號激勵源，其中理想繼電環(huán)節(jié)表達式為

(8)

式中，e為跟蹤誤差即指令輸入和反饋輸出的差值。如圖1所示含有死區(qū)的遲滯繼電環(huán)節(jié)定義為

(9)

圖1 含有死區(qū)的遲滯繼電環(huán)節(jié)Fig.1 A hysteretic relay with dead zone

根據(jù)組合繼電環(huán)節(jié)可得待辨識系統(tǒng)如圖2所示。當非線性系統(tǒng)出現(xiàn)穩(wěn)定極限環(huán)時，由非線性系統(tǒng)諧波線性化理論可假設(shè)其誤差形式為e(t)=Asin(ωt)+B，進而利用描述函數(shù)可建立待辨識參數(shù)與組合繼電增益、系統(tǒng)穩(wěn)定輸出的幅值及頻率的解析關(guān)系。

圖2 繼電反饋辨識系統(tǒng)Fig.2 Identification system based on relay feedback

2.2 非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)

為便于分析圖2所示繼電反饋辨識系統(tǒng)，將其轉(zhuǎn)換為含有線性部分和非線性部分的等效框圖如圖3所示，其中非線性部分包括理想環(huán)節(jié)、含有死區(qū)的遲滯環(huán)節(jié)、推力波動及庫侖摩擦力，線性部分包括負載和黏性摩擦力。

圖3 辨識系統(tǒng)等效框圖Fig.3 Equivalent block of identification system

將跟蹤誤差e=-x帶入式(6)可得

F′=Kfi(t)+fsgn(e)-C1cos(Ωe)+C2sin(Ωe)

(10)

針對圖3中各非線性環(huán)節(jié)，利用描述函數(shù)對其進行諧波線性化，求解各環(huán)節(jié)對應(yīng)的描述函數(shù)。由假設(shè)的跟蹤誤差形式可知，誤差包括交流分量和直流分量，因此下面將利用描述函數(shù)法求解各環(huán)節(jié)對應(yīng)的雙輸入描述函數(shù)(DualInputDualFunctions，DIDF)。首先考慮含有死區(qū)的遲滯環(huán)節(jié)

(11)

(12)

式中，Nah為交流分量對應(yīng)的描述函數(shù)；Nbh為直流分量對應(yīng)的描述函數(shù)。其中

其次，求解庫倫摩擦力的DIDF，由于庫倫摩擦前含有積分環(huán)節(jié)，其直流分量對應(yīng)的描述函數(shù)為零。

(13)

Nbf=0

(14)

式中，Naf為交流分量對應(yīng)的描述函數(shù)；Nbf為直流分量對應(yīng)的描述函數(shù)。

再次，推力波動的DIDF如式(15)、式(16)所示。

(15)

(16)

式中，Ji(ΩA)為ΩA所對應(yīng)的i階貝塞爾函數(shù)值。

利用諧波線性化方法只考慮各非線性環(huán)節(jié)的基波分量而忽略其他高次諧波。因此，根據(jù)疊加原理可得在交流分量和直流分量輸入下待辨識系統(tǒng)非線性部分的描述函數(shù)為

Na=Nah+Nar+Naf+NaI

(17)

Nb=Nbh+Nbr+NbI

(18)

2.3 非線性系統(tǒng)產(chǎn)生極限環(huán)的條件

根據(jù)非線性系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)定極限環(huán)的條件，其非線性部分和線性部分的描述函數(shù)需滿足

Na(A,B,ω)G(jω)=-1

(19)

Nb(A,B,ω)=0

(20)

式(19)成立需要其實部和虛部分別滿足條件，由此可得

(21)

2sin(ΩB)J1(ΩA)C1+2cos(ΩB)J1(ΩA)C2

(22)

由式(20)成立可知

2C2sin(ΩB)-2C1cos(ΩB)

令

定義α=a/b，β=1/b。

由此可知系統(tǒng)待辨識參數(shù)為α，β，C1，C2和f。

2.4 待辨識參數(shù)的求解

根據(jù)2.3節(jié)中非線性系統(tǒng)極限環(huán)產(chǎn)生條件可得三個方程，而系統(tǒng)中含有5個待辨識參數(shù)，因此至少需要在兩組不同繼電增益條件下進行實驗，才能實現(xiàn)對全部待辨識參數(shù)的求解。假設(shè)兩組繼電反饋實驗中繼電增益分別為m1、m2、M1、M2、h1、h2、D1、D2，位置輸出的幅值、頻率和偏置分別為A1、A2、B1、B2、f1、f2，根據(jù)以上信息可求解待辨識參數(shù)的解析表達式為

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

在式(23)～式(27)中，繼電反饋的增益可以根據(jù)控制器中的設(shè)計值確定，而位置輸出的幅值、頻率和偏置則需要分析確定。由于在2.1節(jié)的分析中已知輸出信號的形式，因此在穩(wěn)定輸出中提取有限周期穩(wěn)定的位置輸出，利用最小二乘法對已知形式的信號和實際位置輸出進行擬合求解輸出信號的幅值、頻率和偏置。

3 仿真驗證

為確定所提辨識方法的有效性和準確性，通過仿真計算進行驗證。假定上述直線伺服進給系統(tǒng)的動力學模型中的待辨識參數(shù)為:a=4,b=40,f=0.4,C1=0.5,C2=0.866。

仿真過程中采樣時間為0.1ms，參數(shù)Ω為0.2π。利用組合繼電環(huán)節(jié)產(chǎn)生的信號激勵此非線性系統(tǒng)的極限環(huán)。

3.1 非線性系統(tǒng)極限環(huán)產(chǎn)生條件

圖4為在一定繼電增益條件下的位置輸出。根據(jù)式(21)可知，在m為1時要求極限環(huán)振蕩頻率或幅值為負值，這在實際系統(tǒng)中是不可能的。因此在圖4所示的繼電增益條件下系統(tǒng)不能產(chǎn)生穩(wěn)定極限環(huán)，仿真實驗結(jié)果與理論推導結(jié)論一致。

圖4 M=8，D=4，h=0.4，m=1，θ=0位置輸出Fig.4 M=8，D=4，h=0.4，m=1，θ=0 position output

根據(jù)圖4仿真結(jié)果，調(diào)整非線性環(huán)節(jié)的繼電增益如圖5所示，系統(tǒng)可以產(chǎn)生穩(wěn)定輸出，且由于系統(tǒng)中θ=0，因此系統(tǒng)位置輸出關(guān)于e(t)=0對稱。

圖5 M=8，D=4，h=0.4，m=0.5，θ=0位置輸出Fig.5 M=8，D=4，h=0.4，m=0.5，θ=0 position output

在仿真中設(shè)置推力波動相位項θ=π/4，通過圖6仿真結(jié)果可見推力波動中存在偶函數(shù)項，導致系統(tǒng)輸出的極限環(huán)含有偏置。本文所提辨識方法即根據(jù)系統(tǒng)輸出的偏置項求解推力波動的幅值和相位。

3.2 參數(shù)辨識

在仿真實驗中，假設(shè)推力波動相位θ=π/6，其余參數(shù)不變。由2.4節(jié)的分析可知，為求解系統(tǒng)全部待辨識參數(shù)，需按圖7、圖8中的繼電增益參數(shù)設(shè)置進行兩組辨識實驗。

圖6 M=8，D=4，h=0.4，m=0.5，θ=π/4位置輸出Fig.6 M=8，D=4，h=0.4，m=0.5，θ=π/4 position output

圖7 M=10，D=5，h=0.6，m=0.5，θ=π/6位置輸出Fig.7 M=10，D=5，h=0.6，m=0.5，θ=π/6 position output

圖8 M=8，D=4，h=0.4，m=0.3，θ=π/6位置輸出Fig.8 M=8，D=4，h=0.4，m=0.3，θ=π/6 position output

利用2.4節(jié)中所述對輸出信號的提取方法可得ω1=29.740 5，A1=0.717 5，B1=0.023 9，ω2=30.728 6，A2=0.601 2，B2=0.029 5，再通過待辨識參數(shù)的解析表達式可求解得到a=4.081，b=40.322 6，C1=0.450 7，C2=0.862 0，f=0.394 9。

3.3 與遲滯繼電反饋辨識的對比

由于繼電反饋辨識本質(zhì)上是利用描述函數(shù)將非線性系統(tǒng)線性化來求解待辨識參數(shù)解析表達式，因此在保證非線性系統(tǒng)極限環(huán)存在的基礎(chǔ)上，辨識過程中理想激勵信號為固定頻率的正弦輸出。為此將圖7仿真實驗中的激勵信號、采用遲滯繼電環(huán)節(jié)辨識的激勵信號[15]與理想激勵信號進行對比，如圖9所示。在對上述激勵信號進行快速傅里葉變換后可得其諧波誤差分量如圖10所示，由此可見組合繼電反饋的諧波含量明顯優(yōu)于遲滯繼電反饋的諧波含量，可以有效減小激勵信號的諧波誤差。

圖9 繼電激勵信號與理想激勵信號對比Fig.9 Comparison between relay excitation signal and ideal excitation signal

圖10 繼電激勵信號的諧波誤差分量Fig.10 Harmonic error component of relay excitation signal

表1為采用組合繼電環(huán)節(jié)和遲滯繼電環(huán)節(jié)的仿真辨識結(jié)果對比，通過對具有相同模型參數(shù)的伺服系統(tǒng)的仿真辨識可見，組合繼電反饋的最大參數(shù)辨識誤差可以減小至9.86%，比遲滯繼電反饋辨識方法有所提高。

表1 仿真辨識結(jié)果

4 實驗驗證

4.1 基于繼電反饋的系統(tǒng)參數(shù)辨識

圖11為利用圓筒型直線電機作為驅(qū)動元件的直驅(qū)進給實驗平臺，主要包括：①BeckHoff公司的PLC控制器，控制器采樣時間可調(diào)，最小控制周期為50 μs；②利用TOSHIBA公司生產(chǎn)的THS119霍爾傳感器進行位置檢測，傳感器檢測分辨率為2.5 μm；③課題組研發(fā)的圓筒型直線電機和伺服驅(qū)動器，相關(guān)參數(shù)見表2，負載的傳動方式為滑動導軌。

圖11 直驅(qū)進給平臺實物圖Fig.11 Direct-drive feed platform in lab environment

表2 電機及驅(qū)動參數(shù)說明

在進行系統(tǒng)參數(shù)辨識前，首先需要確定推力波動的特征頻率。利用實驗方法[17]確定的圓筒型直線電機推力波動特征頻率Ω為0.603 2 rad/mm。然后在圖11所示平臺按照相應(yīng)繼電增益系數(shù)進行辨識實驗，實驗結(jié)果如圖12、圖13所示。

圖12 M1=40，D1=50，h1=2 000，m1=0.5位置輸出Fig.12 M1=40，D1=50，h1=2 000，m1=0.5 position outputs

圖13 M1=50，D1=60，h1=2 500，m1=0.6位置輸出Fig.13 M1=50，D1=60，h1=2 500，m1=0.6 position outputs

由圖12、圖13的繼電反饋辨識實驗可以得到兩組位置輸出信號的頻率、幅值和直流偏置分別為49.155 Hz、18.186 mm、0.522 5 mm及49.247 Hz、21.106 mm和0.991 mm，再利用式(23)～式(27)中的解析表達式可以確定系統(tǒng)待辨識參數(shù)為a=0.219 9，b=8.096 3，C1=-0.882 0，C2=-3.092 0，f=0.021 2。

4.2 推力波動補償對控制性能的影響

為便于驗證辨識結(jié)果的正確性，針對圖11直線進給平臺使其處于往復運動狀態(tài)，并設(shè)定其往復運動行程及速度分別為40 mm和5 mm/s，運動過程中控制器參數(shù)見表2。通過對比直線電機勻速運動狀態(tài)下推力電流和位置跟蹤誤差進而分析推力波動前饋補償對直驅(qū)伺服控制性能的影響(該方法也適用于非勻速運動狀態(tài))。由圖14可見，基于組合繼電反饋推力波動前饋補償?shù)耐屏﹄娏鞑▌语@著減小，其波動量較無補償和基于遲滯辨識的前饋補償分別降低了46.3%和30.9%。圖15為不同補償狀態(tài)下伺服系統(tǒng)的跟蹤誤差，其跟蹤誤差的方均根由無補償時的34.1 μm分別降至21.7 μm(遲滯辨識補償)和19.3 μm(組合繼電辨識補償)。

圖14 勻速運動狀態(tài)不同補償?shù)耐屏﹄娏鱂ig.14 Thrust current with different compensation methods under uniform motion

圖15 勻速運動狀態(tài)不同補償?shù)母櫿`差Fig.15 Tacking error with different compensation methods under uniform motion

5 結(jié)論

1)針對直線進給平臺,建立其傳動系統(tǒng)動力學模型，為利用非線性系統(tǒng)極限環(huán)進行系統(tǒng)參數(shù)辨識，所設(shè)計的繼電環(huán)節(jié)由理想和含有死區(qū)的遲滯環(huán)節(jié)組成，用于提供激勵信號。

2)利用描述函數(shù)法對系統(tǒng)中各非線性環(huán)節(jié)進行諧波線性化，得到各環(huán)節(jié)的DIDF，并根據(jù)非線性系統(tǒng)極限環(huán)產(chǎn)生條件求解得到系統(tǒng)待辨識參數(shù)的解析表達式。

3)本文通過仿真驗證了辨識方法的有效性和準確性，且通過實驗測試表明，在直線進給機構(gòu)處于低速且勻速運動的狀態(tài)下，含有直線電機推力波動補償下推力電流波動降低了46.3%，直驅(qū)伺服跟蹤誤差方均根由34.1 μm降至19.3 μm。綜上所述，利用本文辨識方法獲取的推力波動模型有效，可以用于改善伺服系統(tǒng)的控制性能。

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(編輯 于玲玲)

An Identification Method of Force Ripple in Permanent Magnet Synchronous Linear Motors Based on the Combined Relay Apparatus

ZhangXiang1YePeiqing1，2ZhangHui1，2

(1.Department of Mechanical Engineering Tsinghua University Beijing 100084 China 2.The State Key Laboratory of Tribology Tsinghua University Beijing 100084 China)

Force ripples，caused by slot force and end force，are the significant factor which restricts the dynamic performance of linear motors.As a consequence，a new identification method based on the relay feedback was proposed to model and compensate for the force ripples in linear motors.Taking the direct feed platform as a researching object，the dynamic of the system was modeled and a signal source which included an ideal relay component and a hysteresis relay component along with dead zone was designed firstly.Hence，dual input description functions were obtained by implementing the method of describe function to linearize the designed relay components.Furthermore，the analytical expressions of the identified parameters in the nonlinear system were solved according to the requirement for oscillation.Finally，simulation study has been carried out for validating the feasibility and accuracy of the method while relevant experiments were conducted on the platform.Experiment results have shown that the thrust current fluctuation was reduced 46.3% while the RMSE of the tracking error can be reduced from 34.1 μm to 19.3 μm.

Linear motors，oscillation，parameter identification，relay feedback，force ripple

國家科技支撐計劃項目(2015BAI03B00)、清華大學摩擦學國家重點實驗室重點項目(SKLT12A03)及北京市科技計劃項目(Z141100000514015)資助。

2016-03-30 改稿日期2016-09-26

TM351

張 翔 男，1989年生，博士研究生，研究方向為伺服控制技術(shù)。

E-mail：xiang-zhang12@mails.tsinghua.edu.cn

葉佩青 男，1963年生，研究員，博士生導師，研究方向為伺服驅(qū)動技術(shù)、數(shù)控技術(shù)與裝備。

E-mail：yepq@tsinghua.edu.cn(通信作者)