楊成柱

2016年的高考已經(jīng)落下帷幕，2017年的高考即將到來。突破新課標(biāo)計(jì)算題是廣大考生走向重點(diǎn)大學(xué)的基本保證，也是考生具備高水平物理素養(yǎng)的重要體現(xiàn)。對(duì)于高考第24題、25題這兩道計(jì)算題，不少考生望題興嘆，一籌莫展。按照命題專家的命題規(guī)律指導(dǎo)高考復(fù)習(xí)，會(huì)收到事半功倍的效果，因此如何突破這兩道大題是同學(xué)們急切關(guān)注的問題。筆者研究了近三年新課標(biāo)I卷的物理計(jì)算題，總結(jié)出了?？碱}型、命題趨向、應(yīng)對(duì)策略，希望能對(duì)同學(xué)們的復(fù)習(xí)助一臂之力。

一、考情分析

1、考題比較

2、題型探究

①新課標(biāo)卷兩道計(jì)算題（24題和25題）一個(gè)為電學(xué)計(jì)算題，一個(gè)為力學(xué)計(jì)算題。

②兩道計(jì)算題共32分，2014年和2015年分別是12分和20分，2016年是14分和18分，電學(xué)計(jì)算題的分值小于力學(xué)計(jì)算題的分值，2016年兩道計(jì)算題的分值差距有所減小。

③最近兩年新課標(biāo)高考計(jì)算題力學(xué)題有所偏重，2014年力學(xué)計(jì)算題在24題的位置上，電學(xué)計(jì)算題在25題的位置上，而2015年和2016年電學(xué)計(jì)算題放在第24題的位置上，力學(xué)計(jì)算題放在第25題的位置上，突出了力學(xué)的基礎(chǔ)地位和中心地位。

④從考查的知識(shí)點(diǎn)來看，電學(xué)計(jì)算題涉及的知識(shí)點(diǎn)有法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、安培力、共點(diǎn)力作用下平衡等核心知識(shí)；力學(xué)計(jì)算題涉及勻變速直線運(yùn)動(dòng)規(guī)律、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、動(dòng)能定理和功能關(guān)系等核心知識(shí)。

⑤帶電粒子在有界勻強(qiáng)磁場和有界組合場中的運(yùn)動(dòng)問題，在2013年之前是?？嫉挠?jì)算題題型，但是近三年沒有考查。

二、真題賞析

（一）以近三年新課標(biāo)I卷電磁學(xué)計(jì)算題為例，分析電磁學(xué)計(jì)算題的考查熱點(diǎn)和模型構(gòu)建特點(diǎn)。

例1.（2016·全國卷I）如圖1所示，兩固定的絕緣斜面傾角均為θ，上沿相連。兩細(xì)金屬棒ab（僅標(biāo)出a端）和cd（僅標(biāo)出c端）長度均為L，質(zhì)量分別為2m和m；用兩根不可伸長的柔軟輕導(dǎo)線將它們連成閉合回路abdca，并通過固定在斜面上沿的兩光滑絕緣小定滑輪跨放在斜面上，使兩金屬棒水平。右斜面上存在勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于斜面向上，已知兩根導(dǎo)線剛好不在磁場中，回路電阻為R，兩金屬棒與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均為μ，重力加速度大小為g，已知金屬棒ab勻速下滑。求：

（1）作用在金屬棒ab上的安培力的大小；

（2）金屬棒運(yùn)動(dòng)速度的大小。

思維導(dǎo)圖

解析：（1）由ab、cd棒被平行于斜面的導(dǎo)線相連，故ab、cd速度總是相等，cd也做勻速直線運(yùn)動(dòng)。

設(shè)導(dǎo)線的張力的大小為T，右斜面對(duì)ab棒的支持力的大小為FN1，作用在ab棒上的安培力的大小為F，左斜面對(duì)cd棒的支持力大小為FN2，對(duì)于ab棒，受力分析如圖2甲所示，由力的平衡條件得

2mgsin θ=μFN1+T+F ①

FN1=2mgcos θ ②

對(duì)于cd棒，受力分析如圖2乙所示，由力的平衡條件得

mgsin θ+μFN2=T ③

FN2=mgcos θ ④

聯(lián)立①②③④式得：

F=mg（sin θ-3μcos θ）

（2）設(shè)金屬棒運(yùn)動(dòng)速度大小為v，ab棒上的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E=BLv ⑤

回路中電流I= ⑥

安培力F=BIL ⑦

聯(lián)立⑤⑥⑦式得：v=（sin θ-3μcos θ）

答案：（1）mg（sin θ-3μcos θ） ；（2）（sin θ-3μcos θ）

點(diǎn)評(píng)：本題涉及兩根金屬棒的運(yùn)動(dòng)問題。兩棒均做勻速直線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)速度大小相同，ab金屬棒沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，cd金屬棒沿斜面向上運(yùn)動(dòng)；ab金屬棒在磁場里切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)是電源，cd金屬棒沒有在磁場里不產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)只是外電路，兩棒中的電流相等；兩棒受到細(xì)線的拉力相等，ab金屬棒受到安培力，cd金屬棒不受安培力。

金屬棒切割磁感線問題是高中電磁感應(yīng)中的常見題型，本題中由于兩個(gè)棒分別在兩個(gè)斜面上運(yùn)動(dòng)，增加了題目的難度。

例2.（2015·全國卷I）如圖3所示，一長為 10 cm的金屬棒ab用兩個(gè)完全相同的彈簧水平地懸掛在勻強(qiáng)磁場中；磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為0.1 T，方向垂直于紙面向里；彈簧上端固定，下端與金屬棒絕緣。金屬棒通過開關(guān)與一電動(dòng)勢(shì)為12 V的電池相連，電路總電阻為2 Ω。已知開關(guān)斷開時(shí)兩彈簧的伸長量均為0.5 cm；閉合開關(guān)，系統(tǒng)重新平衡后，兩彈簧的伸長量與開關(guān)斷開時(shí)相比均改變了0.3 cm，重力加速度大小取10 m/s2。判斷開關(guān)閉合后金屬棒所受安培力的方向，并求出金屬棒的質(zhì)量。

思維導(dǎo)圖

解析：依題意，開關(guān)閉合后，電流方向從b到a，由左手定則可知，金屬棒所受安培力方向豎直向下。

開關(guān)斷開時(shí)，兩彈簧各自相對(duì)于其原長伸長為Δl1=0.5 cm。由胡克定律和力的平衡條件得

2kΔl1=mg ①

開關(guān)閉合后，兩彈簧各自再伸長了Δl2=0.3 cm，金屬棒所受安培力的大小為

F=IBL ②

由胡克定律和力的平衡條件得

2k（Δl1+Δl2）=mg+F ③

由歐姆定律有

E=IR ④

聯(lián)立①②③④式，并代入題給數(shù)據(jù)得m=0.01 kg

答案：豎直向下 0.01 kg

點(diǎn)評(píng)：本題屬于單金屬棒平衡問題。開關(guān)未閉合時(shí)，金屬棒二力平衡，開關(guān)閉合后金屬棒三力平衡。由電路中電源的極性可以看出流過金屬棒的電流方向，由左手定則判定導(dǎo)體棒所受安培力的方向。盡管題目說“閉合開關(guān)，系統(tǒng)重新平衡后，兩彈簧的伸長量與開關(guān)斷開時(shí)相比均改變了0.3 cm”，沒有直接說出彈簧是伸長還是縮短了0.3 cm，似乎需要討論，但是金屬棒受到的安培力的方向向下，很容易判斷得到彈簧是進(jìn)一步伸長了0.3 cm。

例3.（2014·全國卷I）如圖4所示，O、A、B為同一豎直平面內(nèi)的三個(gè)點(diǎn)，OB沿豎直方向，∠BOA=60°，OB=OA。將一質(zhì)量為m的小球以一定的初動(dòng)能自O(shè)點(diǎn)水平向右拋出，小球在運(yùn)動(dòng)過程中恰好通過A點(diǎn)。使此小球帶電，電荷量為q （q >0），同時(shí)加一勻強(qiáng)電場，場強(qiáng)方向與△OAB所在平面平行?，F(xiàn)從O點(diǎn)以同樣的初動(dòng)能沿某一方向拋出此帶電小球，該小球通過了A點(diǎn)，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能是初動(dòng)能的3倍；若該小球從O點(diǎn)以同樣的初動(dòng)能沿另一方向拋出，恰好通過B點(diǎn)，且到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為初動(dòng)能的6倍。重力加速度大小為g。求：

（1）無電場時(shí)，小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能與初動(dòng)能的比值；

（2）電場強(qiáng)度的大小和方向。

思維導(dǎo)圖

解析：（1）設(shè)小球的初速度為v0，初動(dòng)能為Ek0，從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)的時(shí)間為t，令OA= d，則OB =d，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有

dsin 60°= v0t ①

d cos 60°=gt2 ②

又有Ek0 =mv02 ③

由①②③式得Ek0 =mgd ④

設(shè)小球到達(dá)A點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能為EkA，則

EkA = Ek0 +mgd ⑤

由④⑤式得= ⑥

（2）加電場后，從O點(diǎn)到A點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理有mgdcos 60°+qUOA=3Ek0-Ek0

聯(lián)立解得qUOA=3Ek0

加電場后，從O點(diǎn)到B點(diǎn)，根據(jù)動(dòng)能定理有

mg+qUOB=6Ek0-Ek0

解得qUOB=Ek0，故=

設(shè)直線OB上的M點(diǎn)與A點(diǎn)等電勢(shì)，M與O點(diǎn)的距離為x，如圖5所示

因?yàn)?==，又UOA=UOM，故=，在勻強(qiáng)電場中，沿任一直線，電勢(shì)的降落是均勻的，則有=

解得x = d ，即MA為等勢(shì)線，過O點(diǎn)作AM的垂線OC，OC即為一條電場線

設(shè)電場方向與豎直向下的方向夾角為α，由幾何關(guān)系可得α =30°

即電場方向與豎直向下的方向的夾角為30°

設(shè)場強(qiáng)的大小為E，有qEd cos 30°=WOA

聯(lián)立解得E =

答案：（1）；（2） 與豎直向下的方向的夾角為30°

點(diǎn)評(píng)：本題的研究對(duì)象是一個(gè)小球。題目陳述小球三次運(yùn)動(dòng)的情景不同：第一次小球“水平向右拋出”，說明小球做平拋運(yùn)動(dòng)；第2次“沿某一方向拋出”小球，第3次 “沿另一方向拋出”小球，后兩次都沒有給出初速度的具體方向，小球的運(yùn)動(dòng)似乎捉摸不定，這樣陳述增加了解題難度。需要仔細(xì)體會(huì)這三次從O點(diǎn)拋出小球的關(guān)系，初動(dòng)能相等，第1、2兩次小球都經(jīng)過了A點(diǎn)，第2、3次小球都只受到恒定的電場力和重力作用，且小球經(jīng)過A點(diǎn)的動(dòng)能和經(jīng)過B點(diǎn)的動(dòng)能都是初動(dòng)能的倍數(shù)。由于小球運(yùn)動(dòng)的初末動(dòng)能有關(guān)系，且只有重力和電場力做功，很容易聯(lián)想到用動(dòng)能定理列式解答。

確定電場強(qiáng)度的大小和方向的思路是找到勻強(qiáng)電場中的一個(gè)等勢(shì)面，即找到A點(diǎn)的等電勢(shì)點(diǎn)，然后利用電場線與等勢(shì)面垂直的關(guān)系確定電場線，最后再求出電場強(qiáng)度的大小。

（二）電學(xué)試題演練提升

1.（2016·全國卷II）如圖6所示，水平面（紙面）內(nèi)間距為l的平行金屬導(dǎo)軌間接一電阻，質(zhì)量為m、長度為l的金屬桿置于導(dǎo)軌上，t=0時(shí)，金屬桿在水平向右、大小為F的恒定拉力作用下由靜止開始運(yùn)動(dòng)，t0時(shí)刻，金屬桿進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強(qiáng)磁場區(qū)域，且在磁場中恰好能保持勻速運(yùn)動(dòng)。桿與導(dǎo)軌的電阻均忽略不計(jì)，兩者始終保持垂直且接觸良好，兩者之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ。重力加速度大小為g。求：

（1）金屬桿在磁場中運(yùn)動(dòng)時(shí)產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)的大??；

（2）電阻的阻值。

2.（2015·海南卷）如圖7所示，兩平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面上，相距l(xiāng)，左端與一電阻R相連；整個(gè)系統(tǒng)置于勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向豎直向下。一質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒置于導(dǎo)軌上，在水平外力作用下沿導(dǎo)軌以速率v勻速向右滑動(dòng)，滑動(dòng)過程中始終保持與導(dǎo)軌垂直并接觸良好。已知導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g，導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒的電阻均可忽略。求：

（1）電阻R消耗的功率；

（2）水平外力的大小。

3.（2014·江蘇卷）如圖8所示，在勻強(qiáng)磁場中有一傾斜的平行金屬導(dǎo)軌，導(dǎo)軌間距為L，長為3d，導(dǎo)軌平面與水平面的夾角為θ，在導(dǎo)軌的中部刷有一段長為d的薄絕緣涂層。勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向與導(dǎo)軌平面垂直。質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒從導(dǎo)軌的頂端由靜止釋放，在滑上涂層之前已經(jīng)做勻速運(yùn)動(dòng)，并一直勻速滑到導(dǎo)軌底端。導(dǎo)體棒始終與導(dǎo)軌垂直，且僅與涂層間有摩擦，接在兩導(dǎo)軌間的電阻為R，其他部分的電阻均不計(jì)，重力加速度為g。求：

（1）導(dǎo)體棒與涂層間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ；

（2）導(dǎo)體棒勻速運(yùn)動(dòng)的速度大小v；

（3）整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，電阻產(chǎn)生的焦耳熱Q。

4. （2014·天津卷）如圖9所示，兩根足夠長的平行金屬導(dǎo)軌固定在傾角θ=30°的斜面上，導(dǎo)軌電阻不計(jì)，間距L=0.4 m。導(dǎo)軌所在空間被分成區(qū)域Ⅰ和Ⅱ，兩區(qū)域的邊界與斜面的交線為MN，Ⅰ中的勻強(qiáng)磁場方向垂直斜面向下，Ⅱ中的勻強(qiáng)磁場方向垂直斜面向上，兩磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B=0.5 T。在區(qū)域Ⅰ中，將質(zhì)量m1=0.1 kg，電阻R1=0.1 Ω的金屬條ab放在導(dǎo)軌上，ab剛好不下滑。然后，在區(qū)域Ⅱ中將質(zhì)量m2=0.4 kg，電阻R2=0.1 Ω的光滑導(dǎo)體棒cd置于導(dǎo)軌上，由靜止開始下滑。cd在滑動(dòng)過程中始終處于區(qū)域Ⅱ的磁場中，ab、cd始終與導(dǎo)軌垂直且兩端與導(dǎo)軌保持良好接觸，取g=10 m/s2。問

（1）cd下滑的過程中，ab中的電流方向；

（2）ab剛要向上滑動(dòng)時(shí)，cd的速度v多大；

（3）從cd開始下滑到ab剛要向上滑動(dòng)的過程中，cd滑動(dòng)的距離x=3.8 m，此過程中ab上產(chǎn)生的熱量Q是多少。

5.（2015·全國卷II）如圖10所示，一質(zhì)量為m、電荷量為q（q>0）的粒子在勻強(qiáng)電場中運(yùn)動(dòng)，A、B為其運(yùn)動(dòng)軌跡上的兩點(diǎn)。已知該粒子在A點(diǎn)的速度大小為v0，方向與電場方向的夾角為60°；它運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度方向與電場方向的夾角為30°，不計(jì)重力。求A、B兩點(diǎn)間的電勢(shì)差。

6.（2014·全國卷I）如圖11所示，兩條平行導(dǎo)軌所在平面與水平地面的夾角為θ，間距為L。導(dǎo)軌上端接有一平行板電容器，電容為C。導(dǎo)軌處于勻強(qiáng)磁場中，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于導(dǎo)軌平面。在導(dǎo)軌上放置一質(zhì)量為m的金屬棒，棒可沿導(dǎo)軌下滑，且在下滑過程中保持與導(dǎo)軌垂直并良好接觸。已知金屬棒與導(dǎo)軌之間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，重力加速度大小為g，忽略所有電阻。讓金屬棒從導(dǎo)軌上端由靜止開始下滑，求：

（1）電容器極板上積累的電荷量與金屬棒速度大小的關(guān)系；

（2）金屬棒的速度大小隨時(shí)間變化的關(guān)系。

（三）以近兩年新課標(biāo)I卷力學(xué)計(jì)算題為例，分析力學(xué)計(jì)算題的考查熱點(diǎn)和模型構(gòu)建特點(diǎn)。

例1.（2016·全國卷I）如圖12所示，一輕彈簧原長為2R，其一端固定在傾角為37°的固定直軌道AC的底端A處，另一端位于直軌道上B處，彈簧處于自然狀態(tài)。直軌道與一半徑為的光滑圓弧軌道相切于C點(diǎn)，AC=7R，A、B、C、D均在同一豎直平面內(nèi)。質(zhì)量為m的小物塊P自C點(diǎn)由靜止開始下滑，最低到達(dá)E點(diǎn)（未畫出），隨后P沿軌道被彈回，最高到達(dá)F點(diǎn)，AF=4R，已知P與直軌道間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=，重力加速度大小為g。（取sin 37°=，cos 37°=）

（1）求P第一次運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)速度的大??；

（2）求P運(yùn)動(dòng)到E點(diǎn)時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能；

（3）改變物塊P的質(zhì)量，將P推至E點(diǎn)，從靜止開始釋放。已知P自圓弧軌道的最高點(diǎn)D處水平飛出后，恰好通過G點(diǎn)。G點(diǎn)在C點(diǎn)左下方，與C點(diǎn)水平相距、豎直相距R，求P運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)時(shí)速度的大小和改變后P的質(zhì)量。

思維導(dǎo)圖

解析：（1）由題意可知：

lBC=7R-2R=5R ①

設(shè)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度為vB，由動(dòng)能定理得

mglBCsin θ-μmglBCcos θ= ②

式中θ=37°，聯(lián)立①②式并由題給條件得vB=2 ③

（2）設(shè)BE=x，P到達(dá)E點(diǎn)時(shí)速度為零，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為Ep，由B→E過程，根據(jù)動(dòng)能定理得

mgxsin θ-μmgxcos θ-Ep=0- ④

E、F之間的距離l1為l1=4R-2R+x ⑤

P到達(dá)E點(diǎn)后反彈，從E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理有

Ep-mgl1sin θ-μmgl1cos θ=0 ⑥

聯(lián)立③④⑤⑥式得x=R ⑦

Ep= ⑧

（3）設(shè)改變后P的質(zhì)量為m1，D點(diǎn)與G點(diǎn)的水平距離為x1和豎直距離為y1，θ=37°。由幾何關(guān)系（如圖13所示）得：

x1=-sin θ=3R ⑨

y1=R++cos θ= ⑩

設(shè)P在D點(diǎn)的速度為vD，由D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到G點(diǎn)的時(shí)間為t。

由平拋運(yùn)動(dòng)公式得y1= ?

x1=vDt ?

聯(lián)立⑨⑩??得vD= ?

設(shè)P在C點(diǎn)速度的大小為vC，在P由C運(yùn)動(dòng)到D的過程中機(jī)械能守恒，有

=+m1g（+） ?

P由E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理得

Ep-m1g（x+5R）sin θ-μm1g（x+5R）cos θ= ?

聯(lián)立⑦⑧???得m1=m

答案： （1）；（2）； （3）

點(diǎn)評(píng)：本題屬于單體多運(yùn)動(dòng)過程問題， （1）、（2）兩問的運(yùn)動(dòng)對(duì)象是小物塊P， （2）、（2）兩問小物塊P經(jīng)歷了粗糙面上的勻加速直線運(yùn)動(dòng)、小物塊與彈簧的作用、小物塊P反彈后的直線運(yùn)動(dòng)三個(gè)階段。（3）問新質(zhì)量物塊經(jīng)歷了直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)。

本題中以下幾個(gè)方面增加了題目的難度：

①物塊與彈簧作用，彈性勢(shì)能參與能量轉(zhuǎn)化；

②物塊速度減為零的位置（E點(diǎn)）沒有標(biāo)出；

③物塊質(zhì)量改變，換成了大質(zhì)量物塊還是小質(zhì)量物塊，沒有說明。

④運(yùn)動(dòng)過程多樣，運(yùn)用規(guī)律豐富。

解決此題需要較高的物理素養(yǎng)和數(shù)學(xué)功底，需要熟悉知道以下幾個(gè)方面的內(nèi)容：

①有彈簧參與的運(yùn)動(dòng)，彈性勢(shì)能（或彈力做功）需用一個(gè)符號(hào)（如EP）表示；

②彈簧壓縮量相同時(shí)，彈性勢(shì)能相同；

③彈簧具有相同的彈性勢(shì)能，小質(zhì)量的物塊運(yùn)動(dòng)到F點(diǎn)還有動(dòng)能；

④能夠熟練表達(dá)物塊直線運(yùn)動(dòng)的距離、平拋運(yùn)動(dòng)水平位移和豎直位移的大小。

本題考查勻變速直線運(yùn)動(dòng)、變加速直線運(yùn)動(dòng)、圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)等高中物理的重要運(yùn)動(dòng)模型；考查了動(dòng)能定理、功能關(guān)系，機(jī)械能守恒定律等物理學(xué)的主干知識(shí)。

同學(xué)們平時(shí)既要加強(qiáng)簡單模型的訓(xùn)練，也要加強(qiáng)簡單模型的組合訓(xùn)練；加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解、基本規(guī)律的運(yùn)用，加強(qiáng)用數(shù)學(xué)知識(shí)表達(dá)物理問題的能力訓(xùn)練，只有這樣才能夠把力學(xué)計(jì)算題做得比較完美。

例2.（2015·全國卷I）一長木板置于粗糙水平地面上，木板左端放置一小物塊，在木板右方有一墻壁，木板右端與墻壁的距離為4.5 m，如圖14a所示。t=0時(shí)刻開始，小物塊與木板一起以共同速度向右運(yùn)動(dòng)，直至t=1 s時(shí)木板與墻壁碰撞（碰撞時(shí)間極短）。碰撞前、后木板速度大小不變，方向相反，運(yùn)動(dòng)過程中小物塊始終未離開木板。已知碰撞后1 s時(shí)間內(nèi)小物塊的v-t圖線如圖14b所示。木板的質(zhì)量是小物塊質(zhì)量的15倍，重力加速度大小g取10 m/s2。求：

（1）木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1及小物塊與木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2；

（2）木板的最小長度；

（3）木板右端離墻壁的最終距離。

解析：（1）設(shè) t=0時(shí)刻，小物塊與木板的速度為v0，在1s內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離為4.5 m，1 s末兩者速度為v1=4 m/s，由x=得v0=5 m/s

由a1=，得到加速度的大小為a1=1 m/s2

對(duì)小物塊和木板整體，由牛頓第二定律得：μ1（m+15m）g=（m+15m）a1，即 μ1g=a1

解得μ1=0.1

碰撞后小物塊受到滑動(dòng)摩擦力而向右做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小

a2= m/s2=4 m/s2。

根據(jù)牛頓第二定律有μ2mg=ma2，解得

μ2=0.4

（2）碰撞后，對(duì)滑塊，加速度大小為a2=4 m/s2

木板向左做勻減速運(yùn)動(dòng)，設(shè)碰撞后木板的加速度大小為a3，經(jīng)過時(shí)間Δt，木板和小物塊剛好具有共同速度v2，依據(jù)牛頓第二定律有

μ1（15m+m）g+μ2mg=15ma3

可解得a3= m/s2

取水平向左的方向?yàn)檎较?，?duì)滑塊有

v2=-v1+a2Δt

對(duì)木板v2=v1-a3Δt

代入數(shù)據(jù)，解得=1.5 s，v2=2 m/s

碰撞后至木板和小物塊剛好達(dá)到共同速度的過程中，木板運(yùn)動(dòng)的位移為

s1==4.5 m

小物塊運(yùn)動(dòng)的位移為

s2==-1.5 m

小物塊相對(duì)木板的位移為

Δs=s2-s1=-6 m

因?yàn)檫\(yùn)動(dòng)過程中小物塊沒有脫離木板，所以木板的最小長度應(yīng)為6 m。

（3）在小物塊和木板具有共同速度后，兩者向左做勻減速運(yùn)動(dòng)直至停止，設(shè)加速度大小為a4，此過程中小物塊和木板運(yùn)動(dòng)的位移大小s3。由牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得

μ1（m+15m）g=（m+15m）a4

v22=2a4s3

解得a4=1 m/s2 ，s3=2 m

碰后木板運(yùn)動(dòng)的位移為s=s1+s3=6.5 m

所以木板右端離墻壁的最終距離為6.5 m。

答案：（1）0.1 0.4；（2）6 m；（3）6.5 m

點(diǎn)評(píng)：本題屬于兩體多運(yùn)動(dòng)過程問題。木板和小物塊向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，沒有發(fā)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)；碰撞后，小物塊先向右減速至0再向左加速運(yùn)動(dòng)，木板一直向左減速運(yùn)動(dòng)，這一段時(shí)間內(nèi)，盡管小物塊相對(duì)于地面先向右運(yùn)動(dòng)再向左運(yùn)動(dòng)，但是小物塊相對(duì)于木板一直向右運(yùn)動(dòng)。解題時(shí)畫出運(yùn)動(dòng)過程示意圖，表示出兩者的對(duì)地位移；解題時(shí)還需要規(guī)定一個(gè)正方向，把位移、速度、加速度的方向表示出來；注意研究對(duì)象整體法和隔離法的運(yùn)用。此題還可以求解小物塊和木板之間由摩擦產(chǎn)生的熱量。

（四）力學(xué)試題演練提升

1.（2016·全國卷Ⅱ）輕質(zhì)彈簧原長為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長度為l?，F(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接。AB是長度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖15所示。物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5。用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長度l，然后放開，P開始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g。

（1）若P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小，以及它離開圓軌道后落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離；

（2）若P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質(zhì)量的取值范圍。

2.（2016·全國卷Ⅲ）如圖16所示，在豎直平面內(nèi)有由圓弧AB和圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接。AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為。一小球在A點(diǎn)正上方與A相距處由靜止開始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)。

（1）求小球在B、A兩點(diǎn)的動(dòng)能之比；

（2）通過計(jì)算判斷小球能否沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)。

3.圖17所示為新修訂的駕考科目二坡道定點(diǎn)停車示意圖，規(guī)則規(guī)定汽車前保險(xiǎn)杠停在停車線正上方為滿分，超過或不到停車線0.5 m以內(nèi)為合格。某次考試中考生聽到開考指令后在平直路面上的A點(diǎn)以恒定功率P0=9.6 kW啟動(dòng)，經(jīng)t=3 s車頭保險(xiǎn)杠行駛到坡底B點(diǎn)時(shí)達(dá)最大速度v0，車頭過B點(diǎn)后考生加大油門使汽車?yán)^續(xù)保持v0勻速前進(jìn)。在定點(diǎn)停車線前適當(dāng)位置松開油門、踩下離合器，汽車無動(dòng)力滑行，待速度減為零時(shí)立即踩下剎車，結(jié)束考試。已知汽車行駛中所受阻力恒為車重的0.2倍，該車連同考生的總質(zhì)量m=1.2×103 kg，該坡道傾角的正弦值為0.3，坡道底端B點(diǎn)到停車線C的距離為L=11 m。重力加速度g=10 m/s2，試求：

（1）最大速度v0和A、B間距x；

（2）汽車前保險(xiǎn)杠在離坡道底端B點(diǎn)多遠(yuǎn)處踩下離合器，才能保證考試得滿分。

4.（2015·重慶卷）同學(xué)們參照伽利略時(shí)期演示平拋運(yùn)動(dòng)的方法制作了如圖18所示的實(shí)驗(yàn)裝置，圖中水平放置的底板上豎直地固定有M板和N板。M板上部有一半徑為R的圓弧形的粗糙軌道，P為最高點(diǎn)，Q為最低點(diǎn)，Q點(diǎn)處的切線水平，距底板高為H。N板上固定有三個(gè)圓環(huán)。將質(zhì)量為m的小球從P處靜止釋放，小球運(yùn)動(dòng)至Q飛出后無阻礙地通過各圓環(huán)中心，落到底板上距Q水平距離為L處，不考慮空氣阻力，重力加速度為g。求：

（1）距Q水平距離為的圓環(huán)中心到底板的高度；

（2）小球運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)時(shí)速度的大小以及對(duì)軌道壓力的大小和方向；

（3）摩擦力對(duì)小球做的功。

5.（2016·河北衡水中學(xué)四調(diào)）如圖19所示為一傳送裝置，其中AB段粗糙，AB段長為L=0.2 m，動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.6，BC、DEN段均可視為光滑，且BC的始末端均水平，具有h=0.1 m的高度差，DEN是半徑為r=0.4 m的半圓形軌道，其直徑DN沿豎直方向，C位于DN豎直線上，CD間的距離恰能讓小球自由通過。在左端豎直墻上固定有一輕質(zhì)彈簧，現(xiàn)有一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，小球質(zhì)量m=0.2 kg，壓縮輕質(zhì)彈簧至A點(diǎn)后靜止釋放（小球和彈簧不粘連），小球剛好能沿DEN軌道滑下，求：

（1）小球剛好能通過D點(diǎn)時(shí)速度的大小；

（2）小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)速度的大小及受到軌道的支持力的大小；

（3）壓縮的彈簧所具有的彈性勢(shì)能。

6.（2016·貴州省貴陽市高三監(jiān)測(cè)）如圖20所示，從A點(diǎn)以某一水平速度v0拋出質(zhì)量m=1 kg的小物塊（可視為質(zhì)點(diǎn)），當(dāng)物塊運(yùn)動(dòng)至B點(diǎn)時(shí)，恰好沿切線方向進(jìn)入圓心角∠BOC=37°的光滑圓弧軌道BC，經(jīng)圓弧軌道后滑上與C點(diǎn)等高、靜止在粗糙水平面上的長木板，圓弧軌道C端的切線水平。

已知長木板的質(zhì)量M=4 kg，A、B兩點(diǎn)距C點(diǎn)的高度分別為H=0.6 m、h=0.15 m，圓弧軌道半徑R=0.75 m，物塊與長木板間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1=0.7，長木板與地面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2=0.2，g=10 m/s2，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，求：

（1）小物塊在B點(diǎn)時(shí)的速度大??；

（2）小物塊滑至C點(diǎn)時(shí)，對(duì)圓弧軌道的壓力大?。?/p>

（3）長木板至少為多長，才能保證小物塊不滑出長木板（設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力）。

7.質(zhì)量為2 kg的木板B靜止在水平面上，可視為質(zhì)點(diǎn)的物塊A從木板的左側(cè)沿木板上表面水平?jīng)_上木板，如圖21甲所示。A和B經(jīng)過1 s達(dá)到同一速度，之后共同減速直至靜止，A和B的v-t圖象如圖21乙所示，重力加速度g=10 m/s2，求：

（1）A與B上表面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1；

（2）B與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2；

（3）A的質(zhì)量。

8.（2015·全國卷Ⅱ）下暴雨時(shí)，有時(shí)會(huì)發(fā)生山體滑坡或泥石流等地質(zhì)災(zāi)害。某地有一傾角為θ=37°（sin 37°=）的山坡C，上面有一質(zhì)量為m的石板B，其上、下表面與斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖22所示。假設(shè)某次暴雨中，A浸透雨水后總質(zhì)量也為m（可視為質(zhì)量不變的滑塊），在極短時(shí)間內(nèi)，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ1減小為，B、C間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ2減小為0.5，A、B開始運(yùn)動(dòng)，此時(shí)刻為計(jì)時(shí)起點(diǎn)；在第2 s末，B的上表面突然變?yōu)楣饣?，?保持不變。已知A開始運(yùn)動(dòng)時(shí)，A離B下邊緣的距離l=27 m，C足夠長，設(shè)最大靜摩擦力等于滑動(dòng)摩擦力。取重力加速度g=10 m/s2。求：

（1）在0～2 s時(shí)間內(nèi)A和B加速度的大?。?/p>

（2）A在B上總的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

9.（2016·山東濰坊高三模擬）如圖23所示，一滑塊通過長度忽略不計(jì)的繩固定在小車的前壁上，小車表面光滑。某時(shí)刻小車由靜止開始向右勻加速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過2 s，細(xì)繩斷裂。細(xì)繩斷裂后，小車的加速度不變，又經(jīng)過一段時(shí)間，滑塊從小車左端剛好掉下，在這段時(shí)間內(nèi)，已知滑塊相對(duì)小車前3 s內(nèi)滑行了4.5 m；后3 s內(nèi)滑行了10.5 m。

（1）小車的加速度多大？

（2）從繩斷到滑塊離開車尾所用時(shí)間是多少？

（3）小車的長度是多少？

三、應(yīng)對(duì)策略

1.明確高考的性質(zhì)。普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試是合格的高中畢業(yè)生參加的選拔性考試，高考的這一考試性質(zhì)決定了高考試題必須有適當(dāng)?shù)碾y度。

2.明確高考考查的內(nèi)容。高考在考查知識(shí)的同時(shí)注重考查能力，并把對(duì)能力的考查放在首要位置，因此平時(shí)要注重理解能力、推理能力 、分析綜合能力、應(yīng)用數(shù)學(xué)處理物理問題的能力、實(shí)驗(yàn)?zāi)芰@五種能力的培養(yǎng)。

3.明確平時(shí)訓(xùn)練的方向。平時(shí)訓(xùn)練要注重一題多解、一題多變、一題多問、多題歸一的解題能力的培養(yǎng)，注重基本模型（如勻變速直線運(yùn)動(dòng)模型、平拋運(yùn)動(dòng)模型、圓周運(yùn)動(dòng)模型、疊加物體模型等）處理方法的歸納。

總之，近三年高考物理兩道計(jì)算題給我們的啟示是在高三復(fù)習(xí)過程中要夯實(shí)基礎(chǔ)，突出力學(xué)的基礎(chǔ)地位，注重由基本模型構(gòu)成的單物體多運(yùn)動(dòng)過程模型的訓(xùn)練以及多體多運(yùn)動(dòng)過程模型的訓(xùn)練。同學(xué)們，攻克高考計(jì)算題并不困難，只要方法對(duì)，付出努力就會(huì)考出好成績！

（參考答案見第88頁）