莊昊，楊洪勇

(魯東大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025)

聯(lián)合連通拓?fù)湎碌亩A多自主體系統(tǒng)有限時(shí)間包容控制

莊昊，楊洪勇

(魯東大學(xué) 信息與電氣工程學(xué)院，山東 煙臺(tái) 264025)

針對(duì)具有多領(lǐng)航者的二階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)群集運(yùn)動(dòng)問題，提出了一種有限時(shí)間收斂的包容控制算法。在此基礎(chǔ)上，運(yùn)用現(xiàn)代控制理論、代數(shù)圖論和矩陣論等分析工具對(duì)所提出的控制算法進(jìn)行理論分析,得到了當(dāng)通信拓?fù)錇閯?dòng)態(tài)聯(lián)合連通時(shí)，二階網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)群集運(yùn)動(dòng)的收斂條件。通過此包容控制算法，使得系統(tǒng)在靜態(tài)拓?fù)浜吐?lián)合連通條件下均在有限時(shí)間內(nèi)收斂到目標(biāo)區(qū)域內(nèi)。最后，應(yīng)用系統(tǒng)仿真驗(yàn)證了所得結(jié)論的正確性。

多領(lǐng)航者；群集運(yùn)動(dòng)；有限時(shí)間；聯(lián)合連通；包容控制

多智能體系統(tǒng)協(xié)調(diào)控制是近幾年迅速發(fā)展起來的復(fù)雜系統(tǒng)控制科學(xué)研究領(lǐng)域的熱點(diǎn)問題，它在無線傳感器網(wǎng)絡(luò)、移動(dòng)機(jī)器人編隊(duì)控制、集群航天器深空探測等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用，受到許多研究學(xué)者的關(guān)注。

一致性問題是分布式協(xié)同控制的一個(gè)重要研究方向[1-3]，多智能體系統(tǒng)通過系統(tǒng)中各智能體之間的信息交流達(dá)到各個(gè)智能體特定狀態(tài)的一致。包容控制是一種具有多領(lǐng)航者的類一致性問題，通過設(shè)計(jì)跟隨者的控制協(xié)議使得跟隨者最終收斂到領(lǐng)航者組成的目標(biāo)區(qū)域內(nèi)(領(lǐng)航者圍成的凸包)完成群體運(yùn)動(dòng)[4-9]。文獻(xiàn)[4]研究了一階系統(tǒng)的包容控制問題，并證明了當(dāng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)溥B通時(shí)系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)包容控制，但并未討論網(wǎng)絡(luò)拓?fù)湓诼?lián)合聯(lián)通條件下的包容控制問題。文獻(xiàn)[5]研究了有向網(wǎng)絡(luò)中固定拓?fù)浜颓袚Q拓?fù)鋬煞N情況下一階系統(tǒng)的包容控制問題，并給出了系統(tǒng)收斂的充要條件，但未對(duì)二階系統(tǒng)進(jìn)行說明。文獻(xiàn)[6]對(duì)動(dòng)態(tài)領(lǐng)航者的二階系統(tǒng)進(jìn)行研究，分別提出了連續(xù)漸近包容控制算法和離散漸近包容控制算法。文獻(xiàn)[7]研究了隨機(jī)切換拓?fù)湎露A系統(tǒng)的包容控制問題，提出一種基于不可約馬爾可夫鏈信息拓?fù)涞陌菘刂扑惴?。文獻(xiàn)[8]研究了二階系統(tǒng)的分布式包容控制問題，并給出了系統(tǒng)收斂的充分必要條件。從以上文獻(xiàn)研究可知，雖然均能實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的包容控制要求，但是實(shí)現(xiàn)時(shí)間是不確定的。

在工業(yè)應(yīng)用中，僅實(shí)現(xiàn)各個(gè)智能體特定狀態(tài)的漸近一致還不足以滿足工業(yè)生產(chǎn)需要，還需要系統(tǒng)在有限時(shí)間內(nèi)達(dá)到收斂。在航天器編隊(duì)控制和機(jī)器人編隊(duì)對(duì)抗中，有限時(shí)間定理得到廣泛應(yīng)用，由于連續(xù)有限時(shí)間控制的優(yōu)點(diǎn)明顯，有限時(shí)間控制問題受到越來越多的關(guān)注。文獻(xiàn)[10]對(duì)有限時(shí)間控制問題進(jìn)行了綜述，介紹了有限時(shí)間穩(wěn)定性的常用判據(jù)和幾類典型系統(tǒng)的有限時(shí)間控制。文獻(xiàn)[9]研究了有限時(shí)間收斂和參數(shù)不確定性有向系統(tǒng)的姿態(tài)包容控制問題。文獻(xiàn)[11-14]指出，連續(xù)有限時(shí)間控制系統(tǒng)的驗(yàn)證方法主要包括：齊次性方法和有限時(shí)間李雅普諾夫穩(wěn)定性定理。

本文研究了靜態(tài)拓?fù)浜蛣?dòng)態(tài)拓?fù)湎碌亩A多智能體系統(tǒng)能在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)包容控制的問題，本文的創(chuàng)新點(diǎn)在于提出了動(dòng)態(tài)聯(lián)合連通條件下具有多領(lǐng)航者的有限時(shí)間的包容控制算法，應(yīng)用現(xiàn)代控制理論及矩陣論等理論工具研究了算法的有限時(shí)間收斂，在靜態(tài)拓?fù)浜蛣?dòng)態(tài)拓?fù)湎戮苓_(dá)到有限時(shí)間收斂。

1 代數(shù)圖論

定義2[15]設(shè)拓?fù)鋱DG1,G2,…,Gm具有相同的頂點(diǎn)集V，其并集記為G1-m，它的節(jié)點(diǎn)集是V，邊集是所有圖G1,G2,…,Gm的邊的并集，它的第i個(gè)節(jié)點(diǎn)和第j個(gè)節(jié)點(diǎn)間的鏈接權(quán)重是圖第i個(gè)節(jié)點(diǎn)和第j個(gè)節(jié)點(diǎn)間所有的鏈接權(quán)重之和。如果它們的聯(lián)合圖G1-m是連通的，稱G1,G2,…,Gm為聯(lián)合連通。

2 二階多自主體系統(tǒng)的包容控制

假設(shè)二階多自主體系統(tǒng)由n個(gè)跟隨者和m個(gè)領(lǐng)航者組成，其動(dòng)力學(xué)模型描述為

( 1 )

式中：xi(t)∈R表示第i個(gè)智能體在t時(shí)刻的位置，vi(t)∈R表示速度，ui(t)∈R表示控制輸入。跟隨者集合與領(lǐng)航者集合分別記為F={1,2,…,n}和L={n+1,n+2,…,n+m}，本文考慮靜態(tài)領(lǐng)航者的情況，即vi(t)=0，i∈L。

本文的研究目標(biāo)是設(shè)計(jì)一種控制器，使得系統(tǒng)能在有限時(shí)間內(nèi)實(shí)現(xiàn)包容控制?？紤]如下控制器：

( 2 )

設(shè)跟隨者之間通信拓?fù)鋱D為GF，由于跟隨者之間是雙向交流信息，所以GF為無向圖。具有領(lǐng)航者的多自主體系統(tǒng)的通信拓?fù)鋱D為G，系統(tǒng)的Laplacian矩陣如下：

( 3 )

式中：LF為n階方陣，是跟隨者的Laplacian矩陣；LFL為n×m階矩陣。

假設(shè)1 對(duì)任意一個(gè)跟隨者i，至少存在一個(gè)領(lǐng)航者j，使得從j到i存在一條通信路徑。

令領(lǐng)航者的位置集合為xL(t)=[xn+1(t) …xn+m(t)]T，領(lǐng)航者的速度集合為Γ={1,2,…,N}，由定義1和引理2，t位于領(lǐng)航者圍成的凸包內(nèi)。下面給出包容控制的定義。

定理 1 令跟隨者的位置集合為xF(t)=[x1(t) …xn(t)]T，跟隨者的速度集合為vF(t)=[v1(t) …vn(t)]T，控制器滿足李雅普諾夫第二定理，并且若在控制器的作用下有xF(t)→

證明 由系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型和控制器得：

( 4 )

令跟蹤方程：

( 5 )

根據(jù)跟蹤方程得：

( 6 )

令

( 7 )

所以方程(6)可表示為

( 8 )

構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)V(t)=V1(t)+V2(t)，

式中：

-wTsgn[φ1(y)]α1-wTsgn[φ2(w)]α2

wTsgn[φ1(y)]α1

得到：

假設(shè)原動(dòng)力學(xué)方程可寫為

( 9 )

則有

由已知得：εr1α1=εr2α2=εk+r2，所以上式可寫為

3 聯(lián)合連通下的控制算法分析

本節(jié)討論多自主體系統(tǒng)在運(yùn)動(dòng)過程，出現(xiàn)通信拓?fù)洳贿B通的情況。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型和控制器不變，動(dòng)力學(xué)模型為式(1)，控制器為式(2)。在聯(lián)合連通條件下分析此系統(tǒng)。

考慮一組無窮有序的有界連續(xù)時(shí)間段[tr,tr+1)，r=1,2,…，且t1=0，tr+1-tr≤T1，T1>0。假設(shè)每個(gè)時(shí)間段[tr,tr+1)中存在一組非重疊的有限子序列[tr,j,tr,j+1)，j=1,2,…，mr，且系統(tǒng)拓?fù)湓赱tr,j,tr,j+1)內(nèi)保持不變，其中tr,1=tr，tr,mr+1=tr+1，tr,j+1-tr,j≥T2，T2>0。令σ(t):[0,+)→Γ，Γ={1,2,…,N}為一個(gè)分段切換常函數(shù)，N為總拓?fù)鋽?shù)。系統(tǒng)在t時(shí)刻的信息拓?fù)鋱D記為Gσ(t)，相應(yīng)的Laplacian矩陣記為Lσ(t)。其中，由n個(gè)跟隨者構(gòu)成的信息拓?fù)鋱D記為GFσ(t)，相應(yīng)的Laplacian矩陣記為LFσ(t)。

假設(shè)2 由n個(gè)跟隨者和m個(gè)領(lǐng)航者構(gòu)成的網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)拓?fù)湓诜侵丿B時(shí)間區(qū)間[tr,tr+1)，r=1,2,…內(nèi)為聯(lián)合連通的。

假設(shè)3 非重疊時(shí)間區(qū)間[tr,j,tr,j+1)?[tr,tr+1)，j=1,2,…，mr內(nèi)，網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)存在一連通子集。連通子集中任意一個(gè)跟隨者i，至少與一個(gè)領(lǐng)航者j之間存在一條路徑。

根據(jù)Lσ的定義，存在一個(gè)正交矩陣Eσ∈Rn×n，使：

( 10 )

( 11 )

( 12 )

式中：

( 13 )

( 14 )

在動(dòng)態(tài)切換拓?fù)湎戮W(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)的Laplacian矩陣為

( 15 )

在每個(gè)時(shí)間段[tr,j,tr,j+1)內(nèi)此多智能體系統(tǒng)可以被分成nσ個(gè)子系統(tǒng)，在每個(gè)時(shí)間段內(nèi)的Laplacian矩陣為

( 16 )

由系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)模型和控制器得，在時(shí)間段[tr,j,tr,j+1)內(nèi)：

( 17 )

令跟蹤方程：

( 18 )

根據(jù)跟蹤方程得出：

( 19 )

根據(jù)假設(shè)3、引理2、定理1得出，此二階多智能體系統(tǒng)在聯(lián)合連通條件下可以實(shí)現(xiàn)包容控制。

下面證明多智能體系統(tǒng)在聯(lián)合連通條件下可以實(shí)現(xiàn)有限時(shí)間收斂。令：

( 20 )

所以

( 21 )

4 仿真驗(yàn)證

4.1 靜態(tài)拓?fù)浞抡?/p>

設(shè)系統(tǒng)中有5個(gè)跟隨者，跟隨者集合為F={1,2,3,4,5}，要將這5個(gè)跟隨者控制到三角形區(qū)域內(nèi)，假設(shè)系統(tǒng)信息拓?fù)鋱D如圖1所示，取如下系統(tǒng)矩陣：

圖1 跟隨者與領(lǐng)航者靜態(tài)拓?fù)鋱DFig.1 The static topological graph of followers and leaders

令拓?fù)鋱D每個(gè)邊的權(quán)重均相等，假設(shè)為1。選取α1=0.8，α2=2α1/(α1+1)，φ1(x)=3x，φ2(x)=3x。目標(biāo)區(qū)域的3個(gè)頂點(diǎn)位置為：ξ6=[8 10]T，ξ7=[10 8]T，ξ8=[10 10]T，各跟隨者的初始位置為：ξ1(0)=[2 0]T，ξ2(0)=[4 0]T，ξ3(0)=[0 2]T，ξ4(0)=[0 4]T，ξ5(0)=[3 1]T。各跟隨者的初速度為：v1(0)=[2 6]T，v2(0)=[3 8]T，v3(0)=[4 6]T，v4(0)=[5 5]T，v5(0)=[6 3]T。

應(yīng)用控制器1與控制器2的各個(gè)智能體的位置、速度與時(shí)間的關(guān)系如圖2～5。

圖2 控制器1跟隨者位置橫坐標(biāo)與時(shí)間關(guān)系Fig.2 The relationship between the abscissa of followers’ position under the action of controller1 and time

圖3 控制器2跟隨者位置橫坐標(biāo)與時(shí)間關(guān)系Fig.3 The relationship between the abscissa of followers’ position under the action of controller2 and time

圖4 控制器1跟隨者速度橫坐標(biāo)與時(shí)間關(guān)系Fig.4 The relationship between the abscissa of followers’ speed under the action of controller1 and time

圖5 控制器2跟隨者速度橫坐標(biāo)與時(shí)間關(guān)系Fig.5 The relationship between the abscissa of followers’ speed under the action of controller2 and time

分析圖2和圖3，跟隨者由最初的分散的狀態(tài)，在控制器1和控制器2的作用下，均在有限的時(shí)間內(nèi)均收斂到領(lǐng)航者所圍成的區(qū)域內(nèi)，但是可以明顯看出在控制器(1)的控制下，系統(tǒng)更快地實(shí)現(xiàn)了包容控制。

分析圖4和圖5，在控制器(1)的作用下跟隨者的速度在時(shí)間到達(dá)7s的時(shí)候速度全趨于0，表示智能體已經(jīng)達(dá)到穩(wěn)定狀態(tài)，表示跟隨者均收斂到領(lǐng)航者所圍成的區(qū)域內(nèi)；在控制器2的作用下跟隨者的速度在時(shí)間到達(dá)17s的時(shí)候速度全趨于0；明顯地看出控制器1比控制器2更優(yōu)。

由圖6可直觀地看出跟隨者的運(yùn)動(dòng)軌跡，5個(gè)跟隨者在控制器1的作用下，最終全都在有限時(shí)間內(nèi)收斂到目標(biāo)區(qū)域內(nèi)。

圖6 控制器1跟隨者與領(lǐng)航者位置關(guān)系Fig.6 The positional relationship between followers and leaders under the action of controller1

傳統(tǒng)的控制策略雖然可以達(dá)到有限時(shí)間收斂，但是用時(shí)要比本文設(shè)計(jì)的控制器更長，綜上，本文設(shè)計(jì)的控制器能使系統(tǒng)更快地達(dá)到收斂，所以更有優(yōu)勢。

4.2 動(dòng)態(tài)拓?fù)浞抡?/p>

設(shè)系統(tǒng)中有5個(gè)跟隨者，跟隨者集合為F={1,2,3,4,5}，要將這5個(gè)跟隨者控制到三角形區(qū)域內(nèi)，假定系統(tǒng)互連拓?fù)鋱D在時(shí)刻，k=0,1,… ，在拓?fù)鋱DG1～G3中隨機(jī)切換，取0.5 s ，令拓?fù)鋱D每個(gè)邊的權(quán)重均相等，假設(shè)為1。

目標(biāo)區(qū)域的3個(gè)頂點(diǎn)位置為：p6=[8 10]T，p7=[10 8]T，p8=[10 10]T。各跟隨者的初始位置為：p1(0)=[2 0]T，p2(0)=[4 0]T，p3(0)=[0 2]T，p4(0)=[0 4]T，p5(0)=[3 1]T。各跟隨者的初速度為：q1(0)=[2 6]T，q2(0)=[3 8]T，q3(0)=[4 6]T，q4(0)=[5 5]T，q5(0)=[6 3]T。選取α1=0.8，α2=2α1/(α1+1)，φ1(x)=2.1x，φ2(x)=2.1x。

基于圖7的拓?fù)鋱D以及上述初始條件，分別應(yīng)用本文設(shè)計(jì)的控制器1，

和一種控制器2

進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)。

圖7 跟隨者與領(lǐng)航者拓?fù)鋱DFig.7 The topological graph of followers and leaders

應(yīng)用控制器1和控制器2的各個(gè)智能體的位置、速度與時(shí)間的關(guān)系圖見圖8～12。

圖8 控制器1跟隨者位置橫坐標(biāo)與時(shí)間關(guān)系Fig.8 The relationship between the abscissa of followers’ position under the action of controller1 and time

圖9 控制器2跟隨者位置橫坐標(biāo)與時(shí)間關(guān)系Fig.9 The relationship between the abscissa of followers’ position under the action of controller2 and time

圖10 控制器1跟隨者速度縱坐標(biāo)與時(shí)間關(guān)系Fig.10 The relationship between the ordinate of followers’ speed under the action of controller1 and time

圖11 控制器2跟隨者速度縱坐標(biāo)與時(shí)間關(guān)系Fig.11 The relationship between the ordinate of followers’ speed under the action of controller2 and time

圖12 控制器1跟隨者與領(lǐng)航者位置關(guān)系Fig.12 The positional relationship between followers and leaders under the action of controller1

由此可知，傳統(tǒng)的控制策略雖然可以達(dá)到有限時(shí)間收斂，但是用時(shí)要比本文設(shè)計(jì)的控制器更長，并且運(yùn)動(dòng)軌跡和速度曲線不如本文設(shè)計(jì)的控制器的曲線平穩(wěn)，綜上，本文設(shè)計(jì)的控制器比傳統(tǒng)策略更有優(yōu)勢。

5 結(jié)論

1)本文分別針對(duì)靜態(tài)拓?fù)浜蛣?dòng)態(tài)拓?fù)涞亩A多自主體系統(tǒng)提出一般性的包容控制算法，并運(yùn)用現(xiàn)代控制理論及矩陣論等理論工具分析了該算法的有限時(shí)間收斂問題，給出了二階系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)聯(lián)合連通拓?fù)錀l件下的有限時(shí)間收斂條件，并給予仿真驗(yàn)證。

2)本文研究的是連續(xù)條件下的有限時(shí)間收斂問題，為了貼近實(shí)際應(yīng)用，下一步將繼續(xù)研究離散條件下的有限時(shí)間收斂問題。

3)通過本文設(shè)計(jì)的包容控制算法，可以使網(wǎng)絡(luò)化系統(tǒng)快速達(dá)到收斂，大大減少收斂時(shí)間，提高了系統(tǒng)收斂效率。

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莊昊，男，1992年生，碩士研究生，主要研究方向?yàn)槎嘀悄荏w編隊(duì)控制、通信技術(shù)。

楊洪勇，男，1967 年生，教授，主要研究方向?yàn)榫W(wǎng)絡(luò)應(yīng)用技術(shù)、多智能體編隊(duì)控制、復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)控制、非線性系統(tǒng)控制。發(fā)表學(xué)術(shù)論文80余篇，曾獲山東省軟科學(xué)優(yōu)秀科研成果三等獎(jiǎng)1項(xiàng)，煙臺(tái)市青年科技獎(jiǎng)1項(xiàng)。

Finite-time containment control of second-ordermulti-agent systems with jointly connected topologies

ZHUANG Hao， YANG Hongyong

(School of Information and Electrical Engineering, Ludong University, Yantai 264025, China)

In this paper, we propose a containment control algorithm with finite-time convergence for a second-order networked system flocking with multiple leaders. By applying modern control theory, matrix theory, and algebraic graph theory, we theoretically analyzed our proposed control algorithm; by doing so, we identified the convergence conditions required for a second-order networked system to realize flocking within finite time when the communication topology applies a dynamic joint connection. Through our containment control algorithm, the networked systems converge to object regions in finite time given the circumstances of static and jointly connected topologies. Finally, we verified the effectiveness of our proposed system via simulation examples.

multiple leaders; flocking; finite time; jointly-connected; containment control

2016-05-16.

日期：2017-01-11.

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61273152)；國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61673200).

楊洪勇. E-mail: hyyang@yeah.net.

10.11992/tis.201605013

http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1538.tp.20170111.1705.020.html

TP391

A

1673-4785(2017)02-0188-08

莊昊，楊洪勇. 聯(lián)合連通拓?fù)湎碌亩A多自主體系統(tǒng)有限時(shí)間包容控制[J]. 智能系統(tǒng)學(xué)報(bào)， 2017, 12(2): 188-195.

英文引用格式：ZHUANG Hao，YANG Hongyong. Finite-time containment control of second-order multi-agent systems with jointly connected topologies[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2017, 12(2): 188-195.