（廈門大學航空航天學院，廈門 361005）

伺服平臺加工的工件表面形貌精度很大程度上取決于刀具相對于工件的位置精度。因此，平臺的幾何精度控制效果往往是獲得高精度工件表面形貌與精確結(jié)構的主要限制因素。幾何誤差主要的處理與控制方法有誤差防止和誤差補償?shù)?。誤差防止是指嘗試通過設定制造以及裝配途徑消除平臺加工工件時可能的誤差源[1]。但隨著現(xiàn)代機械技術的發(fā)展，對數(shù)控平臺加工的精度要求越來越高，僅靠通過誤差防止的方式改善精度，會增加很大的平臺制造成本，而且在技術上也很難實現(xiàn)，所以單一的誤差防止很難滿足加工高精度形貌面型的要求[2]。誤差補償是另一種有效改善平臺加工誤差和平臺性能的重要方式之一。針對平臺的幾何誤差，辨識并表征這些誤差以及對誤差建模補償可以有效提高平臺的加工精度[3-4]。

誤差補償首先需要對平臺的幾何誤差建模，國內(nèi)外學者做了大量的相關研究。Leete[5]基于三角關系模型建立了三軸機床的綜合空間誤差模型。Ferreira等[6]建立了二次線性化誤差模型，描述了機床三維工作空間的誤差分布。Lin等[7]基于D-H模型建立了通用的位置誤差和姿態(tài)誤差空間誤差模型。這些建模方法適用范圍小、方法比較復雜、準確性低、物理意義表達不清楚。近些年發(fā)展的基于多體系統(tǒng)理論建模方法克服了上述缺點，建模過程簡單，通用性好，便于計算機快速建模，因此多體系統(tǒng)建模方法得到廣泛運用。

在多體系統(tǒng)理論建立的誤差模型基礎上，韓飛飛等[8]探索了機床直線度誤差、定位誤差等對加工的影響以及分布演變規(guī)律；趙幗娟等[9]研究綜合誤差位置和方向上的分量，揭示氣浮平臺產(chǎn)生幾何誤差的主要原因；范晉偉等[10]修正機床數(shù)控指令并仿真試驗驗證誤差補償；Kong等[11]對X軸和Z軸的兩個方向的直線度誤差進行補償，并加工工件驗證了建立模型的有效性。這些研究理論和試驗聯(lián)系不緊密，或是建模沒有準確表達機床的綜合誤差。本文綜合考慮了X軸和Z軸的直線度誤差、定位誤差、偏擺誤差等其他誤差之間的耦合作用對綜合誤差的影響，建立綜合誤差模型，最后選擇凸錐面、平面和球面3種簡單面型工件試驗補償，原理性驗證多體系統(tǒng)理論對本文伺服平臺建模后的誤差補償有效性。

加工平臺綜合誤差建模

1 伺服平臺機構描述

圖1是本文研究的伺服平臺的實物圖，加工平臺的多體系統(tǒng)模型由平臺床身、X軸導軌、主軸、工件、Z軸導軌、伺服架、刀具等組成。床身至工件分支，令X軸導軌為體1，主軸為體2，工件為體3；床身至刀具分支，Z軸導軌、伺服架和刀具依次命名為體4、體5、體6，其中床身為體0，至此可以獲得如圖2所示的平臺多體系統(tǒng)拓撲結(jié)構。低序體陣列可以簡明清晰地表示多體系統(tǒng)拓撲結(jié)構，如表1所示。一般低序體陣列定義，其中體i是體j的n階低序體，又滿足

圖1 伺服平臺結(jié)構圖Fig.1 Structure diagram of servo machine

表1 伺服平臺低序體陣列

圖2 平臺拓撲結(jié)構Fig.2 Topological structure of the machine tool

圖3 平動單元的6項基本幾何誤差Fig.3 Six basic geometric errors of translation unit

2 平臺幾何誤差分析

加工平臺一般由裝夾單元、平動單元、轉(zhuǎn)動單元等組成。一個完整的工件加工需要平動單元和回轉(zhuǎn)單元配合完成。在平動單元運動中，會引起6項基本幾何誤差。以本文中伺服加工平臺為例，對于X軸導軌平動，在X方向會產(chǎn)生一個定位誤差Δxx，沿著Y和Z方向上會有直線度誤差Δyx、Δzx；同時繞著X軸方向上會有扭轉(zhuǎn)誤差Δax，繞著Y方向有偏擺誤差Δβx，以及繞著Z方向上有俯仰誤差Δγx。伺服平臺平動單元還有Z軸導軌，同理，Z軸導軌也存在6項基本誤差。平動軸的6項基本幾何誤差如圖3所示。與平動單元運動相似，回轉(zhuǎn)運動單元同樣有6項基本誤差，不過運動形式不相同，平動單元以位移為運動單位，回轉(zhuǎn)單元是以弧度為運動單位?；剞D(zhuǎn)軸有6項基本誤差：軸向竄動誤差ΔxA，Y向和Z向跳動誤差ΔyA、ΔzA，繞自身旋轉(zhuǎn)誤差ΔαA，繞Y軸旋轉(zhuǎn)誤差ΔβA，繞Z軸旋轉(zhuǎn)差ΔγA。需要注意的是平臺幾何誤差包含裝配誤差，在伺服平臺搭建過程中，X導軌與Z導軌還存有兩條導軌之間的垂直度誤差 Δβxz。

3 相鄰體間齊次變換矩陣及平臺誤差模型矩陣

3.1 體1到體0

高序體1（X軸導軌）至低序體0（平臺），沿X方向平動，為平動單元。體1到體0的理想靜止狀態(tài)齊次變換矩陣為T01P;理想運動狀態(tài)齊次變換矩陣為T01S;實際靜止狀態(tài)齊次變換矩陣為ΔT01P；實際運動狀態(tài)齊次變換矩陣ΔT01S。

式中：I4×4表示4階單位矩陣，T表示理想矩陣，ΔT表示實際誤差矩陣，下標01表示體1至體0，P表示靜止狀態(tài)，S表示運動狀態(tài)，后文同理，不作詳述。

體1至體0只有一個自由度，X軸導軌運動Δx距離，該運動為一平動單元，其幾何誤差有6項基本誤差：定位誤差Δxx，兩個直線度誤差Δyx、Δzx，扭轉(zhuǎn)誤差 Δαx，偏擺誤差Δβx，俯仰誤差 Δγx。

3.2 體2到體1

高序體2（主軸）至低序體1（X軸導軌），高序體2繞X方向轉(zhuǎn)動，為回轉(zhuǎn)單元。體2到體1的理想靜止狀態(tài)齊次變換矩陣為T12p;理想運動狀態(tài)齊次變換矩陣為T12s;實際靜止狀態(tài)齊次變換矩陣ΔT12p；實際運動狀態(tài)齊次變換矩陣ΔT12s。

體2至體1有一個自由度，繞著X軸導軌方向旋轉(zhuǎn)θ角度，該運動為一回轉(zhuǎn)單元，需要說明的是，因為回轉(zhuǎn)軸A是主軸，在加工過程中做高速回轉(zhuǎn)運動，具有很強的動態(tài)特性，對平臺建模補償時，通常不考慮主軸誤差而另作研究[12]。

3.3 體3到體2

高序體3（工件）到低序體2（主軸），自由度為0，在實際加工工件裝夾過程中，倘若裝夾方式正確情況下，基于剛體假說理論可以忽略工件裝夾誤差，即

3.4 體4到體0

高序體4（Z軸導軌）至低序體0 （平臺），沿Z方向平動，為平動單元。體4到體0的理想靜止狀態(tài)齊次變換矩陣為T04p；理想運動狀態(tài)齊次變換矩陣為T04s；實際靜止狀態(tài)齊次變換矩陣ΔT04p；實際運動狀態(tài)齊次變換矩陣ΔT04s。

體4至體0有一個自由度，Z軸導軌運動Δz距離，Δβ×z表示X軸導軌和Z軸導軌繞Y方向的垂直度誤差。

3.5 體5到體4

高序體5（伺服架）到低序體4（Z軸導軌），自由度為0，忽略安裝誤差視為一體，即

3.6 體6到體5

高序體6（刀具）到低序體5（伺服架），自由度為0，忽略刀具裝夾誤差，即

可以得到綜合誤差模型矩陣[12]：

代入公式（10）～（15）到誤差模型矩陣公式（16）中，可得到X、Y、Z方向上的誤差因子為：

伺服加工平臺幾何誤差辨識

根據(jù)前文所述，伺服平臺加工過程中有兩個平動軸在移動，即X、Z軸，同時平臺有一個靜態(tài)誤差即兩平動軸之間的垂直度誤差，多體誤差模型中共計有13項誤差。本研究選用Renishaw XL激光測量系統(tǒng)針對加工平臺兩軸的誤差進行辨識，為便于分析，根據(jù)其他學者的研究[8,13]，平臺幾何誤差中的扭轉(zhuǎn)誤差假設為零，對各項誤差測量3次后求均值作為最后的誤差測量值，測量結(jié)果如圖4所示。

對激光干涉儀辨識所得到的誤差數(shù)據(jù)進行擬合，Z軸導軌在100mm行程中，定位誤差6.51μm，沿X方向直線度誤差3.86μm，沿Y方向直線度誤差11.23μm，偏擺誤差0.0894μm/mm,俯仰誤差0.5161μm/mm；X軸導軌在100mm行程中，定位誤差9.02 μm，沿Y方向直線度誤差11.40μm，沿Z方向上直線度誤差5.56μm，偏擺誤差0.4244μm/mm,俯仰誤差0.6725 μm/mm。X軸與Z軸之間的垂直度誤差可以根據(jù)各自的直線度誤差求出[14]，最后求得的垂直度誤差為 0.0942μm/mm。

圖4 誤差測量結(jié)果Fig.4 Measurement results of errors

試驗驗證

1 誤差補償原理

誤差補償可以有效提高平臺的加工精度，包括對加工平臺機械結(jié)構進行改善的硬件誤差補償方法和不改變平臺機械結(jié)構情況下的軟件誤差補償。本文采用軟件誤差補償試驗，誤差補償原理如圖5所示，根據(jù)設計的加工面型用計算機Matlab工具生成平臺軟件SPiiPlus MMI能夠識別的PVT格式的編程代碼。另一方面用激光干涉儀測得兩軸伺服平臺的各單項數(shù)據(jù)，將這些誤差值和Matlab生成相對應的位置坐標代入基于多體系統(tǒng)理論構建的綜合誤差模型中，計算輸出結(jié)果的相反數(shù)與原來的Matlab生成的加工程序疊加，最終獲得了補償后的加工程序。

2 試驗設計

為了探究本研究方法的可行性，試驗采用加工凸錐面面型、平面面型以及球面面型對多體系統(tǒng)理論建立的綜合誤差模型進行驗證。每類面型試驗分為兩組：一組是沒有經(jīng)過誤差補償，另一組經(jīng)過多體系統(tǒng)理論方法補償，凸錐面面型工件截面如圖6所示，所加工的凸錐面的高度0.4 mm，底面直徑大小是20.0 mm。球面面型工件截面如圖7所示，球面半徑是125.2 mm，球面高度為0.4mm，底面直徑大小是20.0mm。以表2所示的試驗參數(shù)加工工件，利用三坐標測量機測量，Matlab軟件處理數(shù)據(jù)得到殘差圖。

3 試驗結(jié)果

從圖 8（a）～（b）可知凸錐面補償前誤差為20μm，補償后凸錐面誤差為14μm，工件表面形貌加工精度比未補償誤差的加工工件提高了30%；從圖8（c）～（d）可知平面補償前誤差為16μm，補償后平面誤差為12μm，工件表面加工精度比之前提高了25%；從圖 8（e）～（f）可知球面補償前誤差為25μm，補償后球面誤差為20μm，加工精度提高了20%。從3種工件的誤差補償試驗的效果可知伺服平臺加工精度得到一定改善，但是受到主軸誤差動態(tài)特性限制，無法參與多體理論建模補償，接下來需要對伺服平臺主軸誤差另作研究，綜合本文方法進一步改善伺服平臺誤差。

圖5 誤差補償原理圖Fig.5 Principle diagram of error compensation

圖6 凸錐面面型截面Fig.6 Section of convex cone surface

圖7 球面面型截面Fig.7 Section of spherical surface

表2 試驗參數(shù)

圖8 3種面型補償前后的誤差Fig.8 Errors of three kinds of surface before and after compensation

結(jié)論

（1）本文對伺服加工平臺的綜合誤差分析進行深入研究，以體間齊次變換矩陣構建該平臺的多體系統(tǒng)理論誤差模型。

（2）用Renishaw XL激光測量系統(tǒng)針對伺服加工平臺的Z軸的定位誤差、沿X方向直線度誤差、沿Y方向直線度誤差、俯仰誤差、偏擺誤差和X軸的沿Z方向直線度誤差進行辨識。

（3）加工了凸錐面、平面和球面3種面型的工件，對所構建的多體系統(tǒng)理論誤差模型進行驗證，最終每種面型均有一定范圍精度的改善，證明了所建模型的可行性。

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