曹文貴，張超，徐贊,2

(1. 湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2. 湖南城市學(xué)院 土木工程學(xué)院，湖南 益陽(yáng) 413000)

?

考慮擾動(dòng)影響的地基非線性沉降分層總和分析方法*

曹文貴1?，張超1，徐贊1,2

(1. 湖南大學(xué) 巖土工程研究所，湖南 長(zhǎng)沙 410082；2. 湖南城市學(xué)院 土木工程學(xué)院，湖南 益陽(yáng) 413000)

為預(yù)測(cè)工程地基土體沉降，針對(duì)受到施工擾動(dòng)影響的地基土，基于擾動(dòng)狀態(tài)概念分別以抗剪強(qiáng)度和相對(duì)密實(shí)度為擾動(dòng)參量建立擾動(dòng)因子函數(shù)，從而提出能夠考慮擾動(dòng)影響的地基土修正Duncan-Chang模型.首先，考慮地基土實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)，將地基土沉降變形視為由附加靜水壓力和附加偏應(yīng)力引起的兩部分變形之和，建立地基土沉降變形分析模型；其次，考慮地基土的應(yīng)力歷史并采用分級(jí)加載分析方法，給出了不同埋深地基土初始變形模量的確定方法；然后，基于虎克定律和修正Duncan-Chang模型并采用分級(jí)加載分析方法分別建立由附加靜水壓力和附加偏應(yīng)力作用下的地基沉降變形計(jì)算模型，給出了考慮附加應(yīng)力影響的地基土變形模量的確定方法；最后，將本文方法應(yīng)用于工程實(shí)例并進(jìn)行了沉降變形分析.研究結(jié)果表明：本文方法在反映地基土擾動(dòng)程度、應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力歷史等方面具有一定的優(yōu)越性和可行性，其計(jì)算結(jié)果符合沉降預(yù)測(cè)規(guī)律.

地基沉降；分級(jí)加載；擾動(dòng)；應(yīng)力狀態(tài)；應(yīng)力歷史

目前普遍采用傳統(tǒng)分層總和法[1]對(duì)地基沉降進(jìn)行分析計(jì)算，但是如何準(zhǔn)確反映工程地基實(shí)際沉降的問(wèn)題一直未得到很好的解決.因?yàn)樵谑┕み^(guò)程中地基土體不可避免地會(huì)受到擾動(dòng)，使得土體的變形和強(qiáng)度特性發(fā)生改變，若采用基于傳統(tǒng)分層總和法即通過(guò)室內(nèi)試驗(yàn)獲取的土體物理力學(xué)參數(shù)來(lái)預(yù)測(cè)施工過(guò)程中及其后土體變形和強(qiáng)度等特性，則勢(shì)必造成較大誤差，因此，有必要對(duì)地基沉降分析即分層總和法作進(jìn)一步研究.

傳統(tǒng)分層總和法基于重塑土固結(jié)試驗(yàn)所獲得的e-p曲線對(duì)土體沉降進(jìn)行分析計(jì)算，然而固結(jié)試驗(yàn)所用土樣在應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)力歷史和擾動(dòng)程度等方面與實(shí)際土體存在較大差異，沉降的最終分析結(jié)果需用經(jīng)驗(yàn)系數(shù)加以修正，而經(jīng)驗(yàn)系數(shù)的準(zhǔn)確性與個(gè)人經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)，因而分析結(jié)果難免較為粗糙.為此，基于靜載試驗(yàn)的地基沉降分析方法[2-3]應(yīng)運(yùn)而生，通過(guò)荷載位移p-s曲線獲取地基土體的變形模量分析沉降變形，雖然該方法能夠反映工程地基土體實(shí)際受力變形的特點(diǎn)，但對(duì)于缺乏靜載試驗(yàn)資料的一般工程就不具有可操作性.由此，眾多學(xué)者發(fā)展了基于土體本構(gòu)模型[4-9]的地基沉降分析方法，該類方法的關(guān)鍵在于本構(gòu)模型的合理性以及模型參數(shù)的準(zhǔn)確性，其中，Duncan-Chang模型[10]能夠反映地基土體應(yīng)力應(yīng)變的非線性特征，其模型參數(shù)少且物理意義明確，不同類別的土體在模型參數(shù)取值方面也積累了很多經(jīng)驗(yàn)，因此，Duncan-Chang模型成為普遍應(yīng)用的土體本構(gòu)模型之一．很多學(xué)者[7-9]基于該模型對(duì)土體沉降變形進(jìn)行了研究：何昌榮等[7]采用有限元方法測(cè)試Duncan-Chang模型各個(gè)參數(shù)對(duì)土壩應(yīng)力應(yīng)變的影響程度；何春保等[8]基于荷載位移p-s曲線采用解析方法對(duì)土體Duncan-Chang模型參數(shù)進(jìn)行反演分析；曹文貴等[9]根據(jù)地基土體非線性變形特征提出了基于Duncan-Chang模型的地基沉降變形分析方法.然而，與大多數(shù)土體本構(gòu)模型一樣，傳統(tǒng)Duncan-Chang模型無(wú)法考慮土體的物理性質(zhì)，僅能夠反映土體的力學(xué)狀態(tài)，故土體一旦受到外界擾動(dòng)，將會(huì)使基于Duncan-Chang模型的地基沉降變形分析結(jié)果與實(shí)際值相差較大.因此，本文基于擾動(dòng)狀態(tài)概念分別以抗剪強(qiáng)度和相對(duì)密實(shí)度作為擾動(dòng)參量，對(duì)傳統(tǒng)Duncan-Chang模型加以修正，以考慮擾動(dòng)對(duì)土體變形力學(xué)特性的影響，進(jìn)而分析地基土體的沉降變形.

由于地基土體的變形力學(xué)特性不僅受到外界擾動(dòng)的影響，還與三向應(yīng)力及應(yīng)力歷史等因素有關(guān)，為此，本文將基于擾動(dòng)、應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力歷史等方面考慮地基土體的實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)，采用修正Duncan-Chang模型對(duì)土體沉降變形進(jìn)行分析，以期完善地基土體非線性沉降變形分層總和分析方法.

1 修正Duncan-Chang模型

傳統(tǒng)Duncan-Chang模型是基于Kondner三軸試驗(yàn)應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線[11]建立的，即

(1)

式中：a=1/Ei；

(2)

b=1/(σ1-σ3)ult.

(3)

由此可看出，a和b分別為初始切線模量Ei和雙曲線漸近線所對(duì)應(yīng)極限偏差應(yīng)力(σ1-σ3)ult的倒數(shù).于是，由式(1)(2)(3)可得:

(4)

研究表明[12-15]地基土體都具有結(jié)構(gòu)性，一旦受到擾動(dòng)其結(jié)構(gòu)性必然受到影響，相應(yīng)的物理力學(xué)指標(biāo)都會(huì)發(fā)生改變，可見(jiàn)，其宏觀變形力學(xué)特性與結(jié)構(gòu)性密不可分.然而，傳統(tǒng)Duncan-Chang模型是基于重塑土三軸應(yīng)力應(yīng)變?cè)囼?yàn)曲線建立的，完全打破了土體結(jié)構(gòu)性，使地基土處于完全擾動(dòng)狀態(tài)，從而無(wú)法反映結(jié)構(gòu)性對(duì)土體變形力學(xué)特性的影響，與此同時(shí)，地基土體又無(wú)法避免擾動(dòng).由于傳統(tǒng)Duncan-Chang模型是能夠反映重塑土體變形力學(xué)特性的本構(gòu)模型之一，假如對(duì)傳統(tǒng)Duncan-Chang模型加以修正使其能夠考慮擾動(dòng)對(duì)土體結(jié)構(gòu)性的影響，將會(huì)使修正Duncan-Chang模型在地基沉降變形分析方面更具有實(shí)際應(yīng)用價(jià)值.由式(4)可知，b(σ1-σ3)為偏應(yīng)力與極限偏差應(yīng)力的比率，反映地基土體實(shí)際所處應(yīng)力水平的高低，在地基土體處于相同偏應(yīng)力水平下，豎向應(yīng)變會(huì)隨著極限偏差應(yīng)力降低(即比率增大)而升高，而極限偏差應(yīng)力與地基土體結(jié)構(gòu)性所受擾動(dòng)程度有著顯著的關(guān)聯(lián)性，即極限偏差應(yīng)力會(huì)隨著擾動(dòng)程度的增大而發(fā)生顯著的變化，因此，本文基于擾動(dòng)狀態(tài)概念引入擾動(dòng)因子函數(shù)Df對(duì)土體極限偏差應(yīng)力加以修正以考慮擾動(dòng)程度對(duì)極限偏差應(yīng)力的影響，從而建立修正Duncan-Chang模型，即

(5)

由式(5)可知，能否建立考慮擾動(dòng)影響的修正Duncan-Chang模型，關(guān)鍵在于建立擾動(dòng)因子函數(shù)的確定方法，但是，擾動(dòng)對(duì)地基土體變形力學(xué)特性的影響會(huì)因不同類別的土體(黏性土和無(wú)黏性土)而有所不同.

對(duì)于黏性土，尤其是軟土，擾動(dòng)意味著土體結(jié)構(gòu)性遭到一定程度的破壞，致使土體強(qiáng)度降低以及壓縮性增大，這與傳統(tǒng)意義上的損傷變量的含義相似，起到弱化土體變形力學(xué)性能的作用，屬于不利擾動(dòng).為此，本文基于土體靈敏度的概念以抗剪強(qiáng)度為擾動(dòng)參量建立擾動(dòng)因子函數(shù)Df的關(guān)系式，即

(6)

式中：Su，Sr和Sd分別為原狀土、重塑土和受到一定程度擾動(dòng)的黏性土抗剪強(qiáng)度，可基于十字板剪切試驗(yàn)獲得.因Su≥Sd≥Sr，故由式(6)可知黏性土擾動(dòng)因子函數(shù)的取值范圍為[0,1]，當(dāng)擾動(dòng)因子函數(shù)值為1時(shí)，修正Duncan-Chang模型即為傳統(tǒng)Duncan-Chang模型.

對(duì)于無(wú)黏性土，尤其是砂土，擾動(dòng)可以使土體產(chǎn)生微裂隙的損傷(如密砂)，致使土體變形力學(xué)性能受到弱化，與黏性土受到擾動(dòng)影響情況類似，屬于不利擾動(dòng)，擾動(dòng)因子函數(shù)為正值.值得注意的是，擾動(dòng)也可以使土體得到密實(shí)(如松砂)，使土體變形力學(xué)性能得到強(qiáng)化，顯然此時(shí)屬于有利擾動(dòng)，擾動(dòng)因子函數(shù)則為負(fù)值.由此可見(jiàn)，擾動(dòng)對(duì)砂土的變形力學(xué)特性有正反兩方面的作用．砂土三軸試驗(yàn)結(jié)果[14-15]表明，相對(duì)密實(shí)度Dr對(duì)砂土峰值強(qiáng)度和應(yīng)力應(yīng)變曲線的斜率影響很大，因此，基于擾動(dòng)狀態(tài)概念以Dr為擾動(dòng)參量建立擾動(dòng)因子函數(shù)Df的關(guān)系式，即

(7)

式中：Dr0，Drmin和Drmax分別為初始狀態(tài)、最松散狀態(tài)和最密實(shí)狀態(tài)的無(wú)黏性土相對(duì)密實(shí)度.將式(6)的函數(shù)關(guān)系繪制成圖，如圖1所示．可見(jiàn)，無(wú)黏性土擾動(dòng)因子函數(shù)的取值范圍為[-1,1]，能夠反映無(wú)黏性土從初始狀態(tài)向松散狀態(tài)(不利擾動(dòng))或密實(shí)狀態(tài)(有利擾動(dòng))變化的全過(guò)程.

圖1 擾動(dòng)因子與相對(duì)密實(shí)度關(guān)系曲線Fig.1 The relationship curve between disturbance factor and relative density

于是，將不同類別土體的擾動(dòng)因子函數(shù)代入式(5)即得考慮擾動(dòng)影響的修正Duncan-Chang模型，并在此基礎(chǔ)上，考慮地基土體應(yīng)力狀態(tài)以及應(yīng)力歷史對(duì)土體變形力學(xué)特性的影響，建立地基土體沉降變形分析模型.

2 地基沉降變形分析模型

為了能夠準(zhǔn)確地分析地基土體的沉降變形，必須考慮土體的實(shí)際應(yīng)力狀態(tài).由于埋深不同，不同深度的地基土體存在著初始地應(yīng)力，受到荷載作用又產(chǎn)生附加應(yīng)力.同時(shí)，地基土體存在著強(qiáng)烈的非線性變形即土體變形力學(xué)參數(shù)會(huì)隨土體變形而變化，故為了便于分析，在地基基礎(chǔ)中心線下取一土體單元(如圖2所示)進(jìn)行應(yīng)力分析.

圖2 土體單元的應(yīng)力分析Fig.2 Stress analysis of soil unit

地基土體單元顯然處于三向應(yīng)力狀態(tài)，基于應(yīng)力疊加原理，可將土體單元的實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)視為靜水壓力狀態(tài)和偏應(yīng)力狀態(tài)的疊加.值得注意的是，偏應(yīng)力狀態(tài)是基于靜水壓力狀態(tài)對(duì)土體單元施加的，于是，土體單元在靜水壓力狀態(tài)和偏應(yīng)力狀態(tài)產(chǎn)生的變形可分別根據(jù)廣義虎克定律和修正Duncan-Chang模型進(jìn)行計(jì)算.由于地基土體沉降變形是由附加應(yīng)力作用產(chǎn)生的，基于應(yīng)變疊加原理，將沉降變形視為土體單元分別處于附加靜水壓力狀態(tài)和附加偏應(yīng)力狀態(tài)產(chǎn)生的變形之和.于是，各壓縮分層土體單元的沉降變形可表示為

(8)

(9)

3 地基土體初始變形力學(xué)參數(shù)

地基土體變形力學(xué)參數(shù)主要包括變形模量和泊松比，在理論上這2個(gè)參數(shù)對(duì)變形均有影響，但研究表明[7]，泊松比在較小范圍變化時(shí)對(duì)變形計(jì)算結(jié)果的影響程度很有限，因此本文假定泊松比為常數(shù).由于不同深度的各壓縮分層土體在不同初始地應(yīng)力作用下完成了相應(yīng)的固結(jié)變形，從而使不同埋深的土體具有不同的初始變形模量，因此，基于地基土體單元應(yīng)力分析可知，初始地應(yīng)力狀態(tài)可視為初始靜水壓力狀態(tài)和初始偏應(yīng)力狀態(tài)的疊加，初始地應(yīng)力狀態(tài)引起的固結(jié)變形可視為由初始靜水壓力狀態(tài)和初始偏應(yīng)力狀態(tài)引起的變形累加，而且，土體的固結(jié)變形也是一種非線性變形，故本文基于分級(jí)加載分析方法對(duì)初始變形模量的確定方法分析如下.

(10)

式中：

(11)

(12)

(13)

(14)

于是，將式(13)代入式(14)可得到第i層土體在相鄰兩級(jí)初始靜水壓力作用下的變形模量關(guān)系表達(dá)式為：

(15)

(16)

(17)

于是，將式(16)代入式(17)可得第i層土體在相鄰2級(jí)初始偏應(yīng)力作用下的變形模量關(guān)系表達(dá)式為：

(18)

4 地基土體沉降計(jì)算

地基土體在附加應(yīng)力作用下不斷被壓密，其變形力學(xué)參數(shù)不斷發(fā)生變化，導(dǎo)致地基土體沉降變形具有強(qiáng)烈的非線性特征，采用全量分析法將對(duì)土體沉降變形計(jì)算帶來(lái)較大的誤差，因此，本文同樣基于分級(jí)加載分析方法對(duì)地基土體在附加應(yīng)力作用下的沉降變形進(jìn)行分析計(jì)算.由地基土體沉降變形分析模型式(9)可知，需確定地基土體分別在附加靜水壓力和附加偏應(yīng)力作用下的沉降變形計(jì)算模型.

(19)

(20)

(21)

于是，第i層土體在第j級(jí)附加靜水壓力作用下產(chǎn)生的豎向變形為

(22)

因此，地基土體在附加靜水壓力作用下的沉降變形計(jì)算模型為：

(23)

(24)

(25)

于是，第i層土體在第j級(jí)附加偏應(yīng)力作用下產(chǎn)生的豎向變形為

(26)

因此，地基土體在附加偏應(yīng)力作用下的沉降變形計(jì)算模型為：

(27)

最后，通過(guò)地基土體分別在附加靜水壓力和附加偏應(yīng)力作用下的沉降變形計(jì)算模型即式(23)和式(27)求得相應(yīng)的沉降變形，并代入式(9)可得地基土體的總沉降變形.

5 工程實(shí)例

為了驗(yàn)證本文方法的合理性與可行性，引用文獻(xiàn)[18-19]工程資料進(jìn)行分析，其分析步驟如下.

1)根據(jù)工程資料確定地基土體的擾動(dòng)因子，按第1節(jié)方法進(jìn)行；

2)確定考慮應(yīng)力歷史影響的各壓縮分層地基土體的初始變形模量，按第3節(jié)方法進(jìn)行；

3)根據(jù)沉降變形計(jì)算模型確定在附加應(yīng)力作用下各壓縮分層地基土體的沉降變形，并得到地基土體的總沉降變形，按第4節(jié)方法進(jìn)行；

4)將本文地基土體沉降變形計(jì)算結(jié)果與實(shí)測(cè)結(jié)果進(jìn)行比較分析，以驗(yàn)證本文方法的合理性與可行性.

5.1 工程實(shí)例1

某軟土地基上填筑路堤[18]，堤身分別由1.5 m厚、平均重度為17.23 kN/m3的淤泥質(zhì)土和2.5 m厚、平均重度為19.86 kN/m3的花崗巖風(fēng)化土組成; 軟土地基由2 m厚的淺層土和10 m厚的深層土組成，其物理力學(xué)指標(biāo)見(jiàn)表1.堤身填土為分級(jí)加載，據(jù)觀測(cè)，地基中心點(diǎn)沉降為100 cm.

表1 土體的物理力學(xué)參數(shù)Tab.1 Physical and mechanical parameters of soils

1)由于文獻(xiàn)[18]缺乏實(shí)測(cè)地基土體擾動(dòng)資料，且文獻(xiàn)[20]研究表明，擾動(dòng)對(duì)地基土體的影響程度隨深度增大而減小，因此本文為了便于比較分析，假定擾動(dòng)因子按深度加權(quán)后分別為0.5,0.7,0.9,1.0等4種工況，然后，采用修正Duncan-Chang模型對(duì)土體變形分別進(jìn)行分析計(jì)算.

2)根據(jù)分層總和法對(duì)計(jì)算深度和分層厚度的要求，確定計(jì)算深度為12 m，每層厚度為1.0 m，即壓縮層數(shù)N1=12.

表2 實(shí)測(cè)值與不同擾動(dòng)因子下沉降計(jì)算值比較(不利擾動(dòng))Tab.2 Comparison between measured values and calculated values under different disturbance factors(adverse disturbance)

5.2 工程實(shí)例2

某試驗(yàn)場(chǎng)地位于A&M大學(xué)國(guó)家?guī)r土試驗(yàn)站[20]，該場(chǎng)地地基土層為均質(zhì)中等密實(shí)含泥細(xì)砂，地下水位埋深4.9 m，砂土重度為19.5 kN/m3，泊松比為0.25，內(nèi)摩擦角為32°，壓縮模量為30.0 MPa．在該砂土地基上進(jìn)行3 m×3 m淺基礎(chǔ)現(xiàn)場(chǎng)原位試驗(yàn)，經(jīng)測(cè)試可知，當(dāng)荷載為1.0×104kN時(shí)基礎(chǔ)中心點(diǎn)沉降變形量為120 mm.

從安全角度考慮，破壞比在本文中取1.0.由于試驗(yàn)資料同樣缺乏地基土體擾動(dòng)資料，因此本文為了便于分析，假定平均擾動(dòng)因子分別取-0.5,-0.7,-0.9等3種工況對(duì)地基土體變形進(jìn)行分析計(jì)算.同時(shí)，原始資料只給出壓縮模量和泊松比，因此，本文只能采用變形模量與壓縮模量之間的關(guān)系進(jìn)行換算得到砂土的變形模量，其余計(jì)算過(guò)程與工程實(shí)例一類似，其結(jié)果如表3所示.

表3 實(shí)測(cè)值與不同擾動(dòng)因子下沉降計(jì)算值比較(有利擾動(dòng))Tab.3 Comparison between measured values and calculated values under different disturbance factors(favorable disturbance)

由上述2個(gè)工程實(shí)例分析可見(jiàn)，對(duì)于受到正擾動(dòng)(不利擾動(dòng))的軟土地基，由于結(jié)構(gòu)性遭到了破壞，壓縮性變大，因此軟土地基沉降變形隨著不利擾動(dòng)程度增大而增大；對(duì)于受到負(fù)擾動(dòng)(有利擾動(dòng))的砂土地基，由于擾動(dòng)使砂土變得更加密實(shí)，土體變形減小，故砂土地基沉降變形隨著有利擾動(dòng)程度增大而減小.由此可見(jiàn)，2個(gè)工程實(shí)例計(jì)算結(jié)果符合地基土體沉降預(yù)測(cè)規(guī)律.

6 結(jié) 論

本文從地基沉降變形機(jī)理研究入手，考慮擾動(dòng)程度、應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力歷史對(duì)地基土體非線性變形的影響，基于疊加原理將地基沉降變形視為附加靜水壓力和附加偏應(yīng)力引起的2部分變形之和，采用分級(jí)加載分析方法通過(guò)虎克定律和修正Duncan-Chang模型對(duì)地基土體的變形力學(xué)參數(shù)和沉降變形進(jìn)行了深入探討，得到如下結(jié)論：

1)本文基于擾動(dòng)狀態(tài)概念以抗剪強(qiáng)度和相對(duì)密實(shí)度為擾動(dòng)參量建立擾動(dòng)因子函數(shù)表達(dá)式，從而建立了能反映土體物理力學(xué)狀態(tài)即能考慮擾動(dòng)影響的修正Duncan-Chang模型.

2)通過(guò)分析地基土體的應(yīng)力狀態(tài)和應(yīng)力歷史，建立地基土體沉降變形分析模型并給出了考慮初始地應(yīng)力和附加應(yīng)力影響的變形模量確定方法.

3)采用分級(jí)加載分析方法建立基于虎克定律和修正Duncan-Chang模型的地基土體沉降變形計(jì)算模型，彌補(bǔ)了室內(nèi)固結(jié)e-p試驗(yàn)曲線和地基靜載p-s試驗(yàn)曲線的不足.

4)工程實(shí)例分析表明，本文沉降變形計(jì)算分析方法具有一定的合理性與可行性.

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of Ground Foundation Considering Disturbance Effect

CAO Wengui1?，ZHANG Chao1，XU Zan1, 2

(1.Geotechnical Engineering Institute, Hunan University, Changsha 410082, China;2. College of Civil Engineering, Hunan City University, Yiyang 413000, China)

For the ground foundation influenced by the construction disturbance, the disturbance factor functions taking the shear strength and relative density as the disturbed parameters, respectively, were proposed based on the disturbed state concept. By using this function, a modified Duncan-Chang model considering the influence of disturbance was developed to provide a reference for the settlements prediction of ground foundation. Firstly, considering the stress state of ground soil, the analytical model for ground soil was established by idealizing the ground settlement to be the summation of one part caused by additional hydrostatic pressure and the other part by additional deviatory stress. Secondly, considering the stress history of ground soil, the determination method for initial deformation modulus of ground soil at different depths was provided by using the step-loading analysis method. Based on the Hooke’s law and modified Duncan-Chang model, the models to evaluate the settlement of ground foundation caused by additional hydrostatic pressure and of that by additional deviatory stress were then developed, respectively, by using the step-loading analysis method. The determination method for deformation modulus of ground soil was also given considering the additional stress effect. Finally, the proposed method was applied to a practical project case, and the corresponding settlement analysis was carried out. The results show that the proposed method has superiority and feasibility in the aspects of reflecting disturbance degree, stress state and stress history. The calculated results agree well with the prediction rule of settlement.

foundation settlement; step-loading; disturbance; stress state; stress history effects

2016-02-27

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51378198)，National Natural Science Foundation of China(51378198)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(20130161110017), Research Fund for the Doctoral Program of Higher Education of China(20130161110017)

曹文貴(1963-)，男，湖南南縣人，湖南大學(xué)教授，博士生導(dǎo)師 ?通訊聯(lián)系人，E-mail: cwglyp@21cn.com

1674-2974(2017)03-0113-07

10．16339/j．cnki．hdxbzkb．2017．03．014

TU44

ALayer-wise Summation Method for Nonlinear Settlements