鄒健

(長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

基于Contourlet變換和交替方向法的壓縮感知圖像重構(gòu)算法

鄒健

(長(zhǎng)江大學(xué)信息與數(shù)學(xué)學(xué)院，湖北 荊州 434023)

在傳統(tǒng)的基于壓縮感知的圖像重構(gòu)中，小波變換往往用來(lái)將圖像稀疏表示，但小波變換并不能很好的表現(xiàn)圖像的輪廓和紋理等細(xì)節(jié)信息。提出了一種基于Contourlet變換和交替方向法的壓縮感知圖像重構(gòu)算法：首先利用Contourlet變換將圖像稀疏表示，然后利用交替方向法重構(gòu)原始圖像。與基于小波變換的方法相比，該方法不僅可以顯示更多的圖像的邊緣和輪廓信息，在重構(gòu)精度上也占優(yōu)。數(shù)值試驗(yàn)也驗(yàn)證了新算法的有效性。

壓縮感知；圖像重構(gòu)；Contourlet變換；交替方向法

壓縮感知是一種新型的信號(hào)采樣和處理的理論框架[1～3]。利用信號(hào)在特定域上的稀疏性，壓縮感知可以從少量測(cè)量值中重構(gòu)信號(hào)，且所需測(cè)量值遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣定理的要求?；谝陨蟽?yōu)點(diǎn)，壓縮感知近年來(lái)引起了廣泛的關(guān)注，在各個(gè)領(lǐng)域都有廣泛的應(yīng)用，圖像重構(gòu)正是其中一個(gè)重要的應(yīng)用領(lǐng)域[4～6]。

在壓縮感知模型中，要求重構(gòu)信號(hào)本身是稀疏的，或者在某個(gè)變換基下具有稀疏表示。在以往的壓縮感知模型中，常采用小波變換作為稀疏變換基，圖像經(jīng)過(guò)小波變換后的小波系數(shù)是稀疏的[2, 7]。但是由于小波變換的各向同性，導(dǎo)致小波變化的方向選擇性差，很難充分和準(zhǔn)確地捕捉到圖像的邊緣和輪廓信息，而圖像的邊緣和輪廓是自然圖像的主要特性。Contourlet變換是在繼承小波多尺度分析思想的基礎(chǔ)上的一種新的非自適應(yīng)的方向多尺度分析方法。Contourlet變換能在任意尺度上實(shí)現(xiàn)任意方向的分解，擅長(zhǎng)描述圖像中的輪廓和方向性紋理信息，很好的彌補(bǔ)了小波變換的不足。此外，Contourlet變換直接在分離領(lǐng)域中實(shí)現(xiàn)，有較低的計(jì)算復(fù)雜度[8, 9]。

壓縮感知的另外一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題就是重構(gòu)算法。一些傳統(tǒng)的優(yōu)化方法，如內(nèi)點(diǎn)法等，需要計(jì)算壓縮感知矩陣的二階導(dǎo)數(shù)等信息[10]。但在實(shí)際應(yīng)用中，特別是一些圖像和高維數(shù)據(jù)處理問(wèn)題，壓縮感知矩陣的維數(shù)往往相當(dāng)大，采用這些方法往往需要很長(zhǎng)的重構(gòu)時(shí)間，甚至有時(shí)計(jì)算機(jī)會(huì)報(bào)告內(nèi)存溢出。交替方向法只利用目標(biāo)函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)信息，算法中只涉及到矩陣-向量相乘等低復(fù)雜度的計(jì)算，適合大規(guī)模問(wèn)題的求解[11, 12]。為此,筆者提出一種基于Contourlet變換和交替方向法的壓縮感知圖像重構(gòu)算法。

1 基于Contourlet變換的壓縮感知模型

壓縮感知的基本問(wèn)題是從欠定線性測(cè)量y=Φx中重構(gòu)信號(hào)x，其中x∈Rn，Φ∈Rm×n(m?n)。該欠定線性方程組有無(wú)窮多解。但壓縮感知理論指出，如果x是稀疏的，即x中非零元數(shù)目遠(yuǎn)小于其維數(shù)，則可通過(guò)求解如下優(yōu)化問(wèn)題重構(gòu)x：

(1)

式中，‖x‖0為向量x中非零數(shù)目。

式(1)為NP-難的非凸優(yōu)化問(wèn)題[13]，不易求解，可以將其轉(zhuǎn)化為如下優(yōu)化問(wèn)題：

(2)

式(1)和式(2)中都假設(shè)x是稀疏的，但大多數(shù)實(shí)際情況中，信號(hào)本身不是稀疏的，但在某種變換下具有稀疏表示，即：

x=Ψθ

式中,x是原始信號(hào);Ψ為稀疏變換矩陣;θ為x在Ψ下的表示系數(shù)。x本身并不稀疏，但在是稀疏變換矩陣Ψ下的表示系數(shù)θ是稀疏的。在該情況下，壓縮感知模型即變?yōu)?

y=Φθ=ΦΨ*x=Ax(Ψ*為Ψ的逆矩陣)

此時(shí)，要想重構(gòu)原始信號(hào)x，則應(yīng)求解如下優(yōu)化問(wèn)題：

(3)

2 基于交替方向法的壓縮感知重構(gòu)算法

交替方向法是一種求解大規(guī)模稀疏優(yōu)化問(wèn)題的有效算法，其通過(guò)構(gòu)造增廣拉格朗日函數(shù)，將原問(wèn)題分解為多個(gè)低維子問(wèn)題進(jìn)行求解。

令f(x):Rm→R和g(y)：Rn→R為凸函數(shù)，A∈Rp×m，B∈Rp×n,b∈Rp。對(duì)最優(yōu)化問(wèn)題：

(4)

其中變量x,y在目標(biāo)函數(shù)中分離，在約束中耦合。

式(4)的增廣拉格朗日函數(shù)為：

(5)

其中,λ∈Rp為拉格朗日乘子；β>0為罰參數(shù)。

經(jīng)典的拉格朗日方法迭代為給定λk∈Rp：

(6)

λk+1=λk-γβ(Axk+1+Byk+1-b)

(7)

其中,γ∈(0,2)保證迭代的收斂性。

式(6)是一個(gè)關(guān)于(x,y)的一個(gè)精確聯(lián)合的極小化問(wèn)題，不易求解。交替方向法將目標(biāo)函數(shù)的變量分離并通過(guò)2個(gè)簡(jiǎn)單的子問(wèn)題代替上面聯(lián)合的極小化。交替方向法基本迭代步驟如下：

(8)

(9)

這里筆者將利用交替方向法求解優(yōu)化問(wèn)題(3)。首先引入一個(gè)對(duì)偶變量z，將式(3)轉(zhuǎn)化為：

(10)

式(10)的增廣拉格朗日函數(shù)為：

(11)

如果固定x=xk,λ=λk, 即：

(12)

則f(xk,z)僅是關(guān)于z的函數(shù),此時(shí)式(11)等價(jià)于：

(13)

對(duì)式(13), 令：

可得：

則式(13)的最優(yōu)值z(mì)可表示為：

(14)

其中，PBδ(·)為函數(shù)在球面Bδ：{z:‖z‖2≤δ}上的投影。

固定z=zk+1,λ=λk,即：

(15)

此時(shí)目標(biāo)函數(shù)f(x,zk+1)僅與x有關(guān)，式(11)等價(jià)于：

(16)

其中，式(15)可化簡(jiǎn)為：

(17)

令：

將h(x)在xk處泰勒展開(kāi)，得：

(18)

此時(shí)式(16)可表示成：

(19)

進(jìn)一步化簡(jiǎn)可得：

(20)

問(wèn)題(20)有封閉解，其解可用收縮算子(軟閾值)來(lái)表示如下：

(21)

乘子λ更新步驟如下：

λk+1=λk-γβ(Axk+1+zk+1-y)

(22)

其中，γ>0為常數(shù)。

綜上所述，求解式(3)的迭代算法可以表示如下：

輸入:A,y,r0,x0,λ0,β>0,γ>0,Γ>0。

輸出:x

while”不滿(mǎn)足停止準(zhǔn)則”do

λk+1=λk-γβ(Axk+1+zk+1-y);

endwhile

3 仿真試驗(yàn)

使用標(biāo)準(zhǔn)測(cè)試圖片lena，將測(cè)試圖片分別通過(guò)小波變換和Contourlet變換進(jìn)行稀疏表示，然后利用筆者提出的算法進(jìn)行圖像重構(gòu)。重構(gòu)性能用峰值信噪比 (peaksignaltonoiseratio，PSNR)來(lái)度量，PSNR的定義如下：

(23)

試驗(yàn)結(jié)果如圖1所示，為更直觀的展示重構(gòu)效果，選取原始圖像中白色框中的局部圖像進(jìn)行放大展示，從試驗(yàn)結(jié)果可以看出，與小波變換相比，Contourlet變換后重構(gòu)的圖片邊緣和輪廓更加清晰。而小波變換重構(gòu)和Contourlet變換重構(gòu)圖像的PSNR分別為25.60dB和27.40dB，也驗(yàn)證了Contourlet變換比小波變換的重構(gòu)精度更高。

圖1 不同方法重構(gòu)圖像對(duì)比

4 結(jié)語(yǔ)

筆者提出了一種新的壓縮感知圖像重構(gòu)方法，新方法利用Contourlet變換作為稀疏變換基，利用交替方向法重構(gòu)稀疏信號(hào)。新方法具有較低的計(jì)算復(fù)雜度，適用于大規(guī)模圖像重構(gòu)，仿真試驗(yàn)結(jié)果也驗(yàn)證了新方法的有效性。在今后工作中，將考查更多的多尺度稀疏變換基對(duì)圖像重構(gòu)結(jié)果的影響。

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[編輯] 洪云飛

2016-12-16

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61503047)。

鄒健(1983-)，男，博士，副教授，現(xiàn)主要從事最優(yōu)化方法及其在信號(hào)處理中的應(yīng)用方面的教學(xué)與研究工作，zoujian@yangtzeu.edu.cn。

TP391.4

A

1673-1409(2017)05-0001-05

[引著格式]鄒健.基于Contourlet變換和交替方向法的壓縮感知圖像重構(gòu)算法[J].長(zhǎng)江大學(xué)學(xué)報(bào)(自科版)，2017,14(5)：1～5.