彭 輝，曾 碧

(1.廣西工業(yè)職業(yè)技術(shù)學(xué)院,南寧530001;2.廣東工業(yè)大學(xué),廣州510006)

0 引 言

磁軸承(以下簡稱MB)利用磁力作用將轉(zhuǎn)子懸浮于空中,使轉(zhuǎn)子與定子之間沒有機械接觸,因此具有更長的壽命、更低的摩損、較高的轉(zhuǎn)速以及無需潤滑等特性[1]。但由于MB中的轉(zhuǎn)子通過電磁力控制,當(dāng)轉(zhuǎn)子負(fù)載變化或存在外部干擾時,會由平衡位置發(fā)生偏移[2]。所以,MB中需要精確地對轉(zhuǎn)子位置進(jìn)行控制。

目前,對于MB轉(zhuǎn)子穩(wěn)定性的控制,常用的有比例-積分-微分(以下簡稱PID)技術(shù)[3],根據(jù)位置傳感器檢測到的偏移量實現(xiàn)反饋控制。然而PID存在參數(shù)整定困難,無法處理隨時間變化的干擾[4]。為此,文獻(xiàn)[5]提出了一種PID與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(以下簡稱NN)相結(jié)合的控制方案(以下簡稱PIDNN),用來穩(wěn)定全懸浮式五自由度MB轉(zhuǎn)子,通過神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)來調(diào)整最優(yōu)PID參數(shù)。但其設(shè)定固定的學(xué)習(xí)率,在非線性系統(tǒng)中嚴(yán)重影響了學(xué)習(xí)性能。

在基于神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的控制技術(shù)中,可將小波函數(shù)與NN相結(jié)合形成小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(以下簡稱WNN)[6],其通過小波函數(shù)將信號分解到不同尺度上,然后利用時間序列和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行預(yù)測,最后將信號重構(gòu)成完整預(yù)測信號。WNN具有收斂速度快,能夠較好地解決非線性控制問題[7]。但是神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)的選擇缺乏理論分析,連接權(quán)重物理意義不明確。為此,學(xué)者引入模糊邏輯技術(shù)構(gòu)建了模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(以下簡稱FNN)[8]。

本文將WNN與FNN相結(jié)合,形成一種模糊-小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(以下簡稱F-WNN),并結(jié)合遺傳算法(以下簡稱GA)構(gòu)建一種MB控制系統(tǒng)。本文方法的創(chuàng)新點在于:

(1)首次將小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)應(yīng)用到MB控制系統(tǒng)中,并在MB建模過程中,融入了外部干擾,使其更貼近非線性現(xiàn)實場景。

(2)將WNN嵌入到FNN中,構(gòu)建了一種適用于MB控制的模糊-小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)(以下簡稱FWNN),利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的自學(xué)習(xí)能力和小波函數(shù)良好的局部特征來增強控制系統(tǒng)的自適應(yīng)能力。

(3)利用GA算法對F-WNN學(xué)習(xí)過程中的學(xué)習(xí)率參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化,提高神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的學(xué)習(xí)效率。

1 MB系統(tǒng)的動態(tài)建模

典型MB結(jié)構(gòu)中通常采用差動驅(qū)動模式(以下簡稱DDM)[9],如圖1所示。本文在DDM驅(qū)動模型中融入了提出的F-WNN控制器,用來控制驅(qū)動電壓輸出,以此穩(wěn)定轉(zhuǎn)子位置。

圖1 MB結(jié)構(gòu)和DDM驅(qū)動系統(tǒng)

MB結(jié)構(gòu)中,推力盤固定在轉(zhuǎn)子上,用于Z軸上轉(zhuǎn)子位置的控制。此外,在DDM驅(qū)動系統(tǒng)中,左、右MB的偏置電流均被設(shè)置為最大允許電流的一半[10]?？刂齐娏魈砑拥诫姶啪€圈中的偏置電流上,并從相反方向減去偏置電流。根據(jù)控制電流的動態(tài)調(diào)整,將轉(zhuǎn)子位置z穩(wěn)定到基準(zhǔn)位置zm。其額定空隙z0的偏差可由轉(zhuǎn)子位置z表示。此外,一個預(yù)先設(shè)計的偏置電壓v0同時用于2個磁軸承,從而在推盤兩側(cè)產(chǎn)生相同的引力。另外,控制電壓vz通過提出的F-WNN控制器獲得。通過放大器將電壓信號轉(zhuǎn)換成電流信號,總電流為偏置電流i0和來自功率放大器控制電流iz的組合,電流通過線圈產(chǎn)生電磁力。

利用牛頓定律,MB控制系統(tǒng)的動態(tài)模型可以描述:

式中:m為轉(zhuǎn)子質(zhì)量;c為摩擦常數(shù);Fz為電磁力,定義為Fz≡fz1-fz2,其中fz1和fz2分別為由右、左電磁鐵產(chǎn)生的電磁力;fdz為外部干擾。

非線性電磁力被建模表示:

式中:k為與電磁鐵鐵心材料相關(guān)的電磁常數(shù)。

2 提出的F-WNN控制器

上文已將MB系統(tǒng)構(gòu)建成一個非線性動力學(xué)模型。由于該模型的確切參數(shù)是未知的,所以本文提出一個6層F-WNN控制器來控制MB系統(tǒng)軸向轉(zhuǎn)子的位置,使其對干擾具有魯棒性。在F-WNN中,在FNN中嵌入了WNN,每個模糊規(guī)則對應(yīng)一個子小波神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)。不同分辨率級別的子網(wǎng)絡(luò)用于捕捉動態(tài)系統(tǒng)不同的行為。此外,利用FNN中的模糊規(guī)則來確定各個子網(wǎng)絡(luò)對F-WNN輸出的貢獻(xiàn)。與傳統(tǒng)FNN,WNN相比,F-WNN的逼近精度和泛化能力可通過小波和模糊集的參數(shù)學(xué)習(xí)大大提高。

本文具有F-WNN控制器的MB整體控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖2所示,主要分為2個部分:F-WNN控制器和MB電路。其中F-WNN控制器又分為2個部分:包含子WNN的F-WNN控制模塊和基于GA的參數(shù)自適應(yīng)學(xué)習(xí)模塊。通過GA在線調(diào)整F-WNN的學(xué)習(xí)率,使其能夠通過自學(xué)習(xí)獲得最優(yōu)F-WNN參數(shù),進(jìn)而準(zhǔn)確地控制MB轉(zhuǎn)子位置。

圖2 具備F-WNN控制器的MB整體結(jié)構(gòu)

2.1 F-WNN控制器

本文6層F-WNN結(jié)構(gòu)如圖3所示,F-WNN結(jié)構(gòu)中的內(nèi)部子WNN結(jié)構(gòu)如圖4所示。

圖3 所提出的6層F-WNN結(jié)構(gòu)

圖4 內(nèi)部子WNN的結(jié)構(gòu)

所提出F-WNN的第k個模糊規(guī)則可表示:

規(guī)則k:IF x1是

式中:xi(i=1,2)為第i個輸入,為與第k個模糊規(guī)則相對應(yīng)的第i個輸入的模糊集,l為模糊規(guī)則的數(shù)量。對于第k個子WNN,為隱藏層與輸出層之間的連接權(quán)重;為隱藏層第j個神經(jīng)元的輸出;

^yk為輸出,其為小波的線性組合。圖3的F-WNN中,信號傳播過程如下:

層1(輸入層):該層中的節(jié)點只將輸入信號傳給下一層。在本文中,兩個輸入變量為跟蹤誤差x1(N)=e和推導(dǎo)的x2(N)=其中N表示迭代次數(shù),位置誤差定義為e≡zm-z。

層2(模糊化層):在這一層中,采用高斯函數(shù)作為隸屬函數(shù)。對于第k個規(guī)則,有:

式中:和分別為與第k個模糊規(guī)則相關(guān)的第i個輸入變量高斯函數(shù)的平均值和標(biāo)準(zhǔn)差。

層3(規(guī)則層):對于第k個規(guī)則節(jié)點,它的輸出與其激活強度有關(guān):

層4(規(guī)一化層):這一層中第k個節(jié)點,根據(jù)下面的方程計算第k個模糊規(guī)則的激活強度與所有模糊規(guī)則的總激活強度的比例:

層5(WNN層):將FNN的輸出作為WNN的輸入,每一條模糊規(guī)則對應(yīng)一個小波網(wǎng)絡(luò)。在內(nèi)部子WNN中,隱藏層的神經(jīng)元自相連接,以此提高學(xué)習(xí)效率,如圖4所示。此外,將高斯函數(shù)g(x)=-x·exp[-(1/2)x2]的一階導(dǎo)數(shù)作為子WNN隱藏層的小波母函數(shù)。隱藏層中第j個小波神經(jīng)元對應(yīng)的第k個子WNN的輸入定義:

考慮到子WNN的輸出如式(3)所示,那么,這一層的輸出表示如下:

層6(輸出層):輸出節(jié)點作為一個解模糊器,表示如下:

式中:Y為F-WNN的輸出,作為MB控制系統(tǒng)的控制信號vz。

2.2 參數(shù)在線學(xué)習(xí)

本文基于監(jiān)督學(xué)習(xí)算法對F-WNN的參數(shù)進(jìn)行在線學(xué)習(xí),以此獲得F-WNN的參數(shù)能量函數(shù)E定義:

通過應(yīng)用能量函數(shù)E和梯度下降法,內(nèi)部子WNN的參數(shù)可以通過以下公式得到:

式中:ηw,ηa和 ηb為學(xué)習(xí)率。推導(dǎo)式(12)～式(14)可得:

式中:δ=?E/?Y=(?E/?Z)(?Z/?Y)為一個誤差項。同樣,F-WNN的參數(shù)可以由以下式子得到:

式中:ηθ,ηm和 ησ為學(xué)習(xí)率。推導(dǎo)式(18)～式(20)可得到:

雖然學(xué)習(xí)算法中的誤差項δ可以使用反向傳播方法,以一個偏微分項來表示,但由于MB的動態(tài)不明性,致使不能準(zhǔn)確得出δ中的靈敏度?Z/?Y。另外,?Z/?Y可以通過其符號函數(shù)來近似,但這會導(dǎo)致δ值的劇烈變化。為了克服這個問題,并提高FWNN的在線學(xué)習(xí)能力,誤差項δ可以使用基于比例-微分控制概念的增量自適應(yīng)定律代替[11]。

2.3 基于GA優(yōu)化學(xué)習(xí)率

在上節(jié)描述的在線學(xué)習(xí)過程中,涉及6個學(xué)習(xí)率參數(shù)。在傳統(tǒng)WNN或FNN中,通常設(shè)定為固定值。然而,較大的學(xué)習(xí)率會使學(xué)習(xí)過程出現(xiàn)振蕩,較小的學(xué)習(xí)率會降低收斂速度,且固定的學(xué)習(xí)率不能很好地適應(yīng)非線性控制過程[12]。為此,本文通過GA算法來自適應(yīng)調(diào)整F-WNN的學(xué)習(xí)率因子ηθ,ηw,ηa,ηb,ηm和 ησ,以此提高 F-WNN 的在線學(xué)習(xí)能力。下面對GA算法進(jìn)行簡單介紹。

GA是一種模擬自然進(jìn)化過程來尋找最優(yōu)解的人工智能技術(shù),包括以下主要步驟:染色體編碼及初始化;染色體解碼和適應(yīng)度評估;交叉、突變、選擇過程[13]。其中需要指明3個必要的參數(shù):交叉率、突變率和停止條件。本文GA算法的基本步驟:(1)根據(jù)設(shè)定的初始6種學(xué)習(xí)率,在其值上下波動范圍內(nèi)隨機構(gòu)建N個染色體種群,并計算各染色體的適應(yīng)度值。(2)根據(jù)比例選擇法選擇父代染色體,以交叉率Pc對2個父代染色體進(jìn)行交叉過程,進(jìn)而產(chǎn)生后代。然后執(zhí)行突變率為Pm的突變過程,使后代染色體隨機發(fā)生變化。(3)計算后代的適應(yīng)度值,選擇適應(yīng)度較高的染色體作為下一代的父代。(4)迭代執(zhí)行步驟(2),(3),直到達(dá)到停止條件,并輸出最優(yōu)染色體。GA算法流程圖如圖5所示。

圖5 本文GA算法流程圖

初始種群為一組具有N個初始解的集合,每個解稱為染色體或個體,其包含有限數(shù)量的基因。本文中的一個染色體包含6個基因,每個基因?qū)?yīng)一種學(xué)習(xí)率,如圖6所示。

圖6 染色體編碼

本文基于控制器的跟蹤誤差構(gòu)建一個適應(yīng)度函數(shù),用來計算染色體的適應(yīng)度值FIT:

3 磁軸承控制的仿真分析

為了驗證本文F-WNN控制器的性能,將其與傳統(tǒng)PID控制器和文獻(xiàn)[5]提出的PIDNN控制器進(jìn)行比較。

3.1 仿真設(shè)置

使用MATLAB軟件構(gòu)建F-WNN控制器。對于MB,設(shè)置轉(zhuǎn)子的質(zhì)量為3 kg;摩擦常數(shù)c為0.001;MB系統(tǒng)額定空隙z0為0.5 mm,其中推力盤集中在2個相反的磁軸承之間;功率放大器的輸入電壓和輸出電流比值為0.5 A/V;電磁常數(shù)k為8.47×10-6N·m2/A2;偏置電壓v0為1.4 V,以實現(xiàn)最佳瞬態(tài)和穩(wěn)態(tài)控制性能。

對于本文F-WNN控制器,設(shè)定所有初始學(xué)習(xí)率為0.2,自連接反饋增益α=0.15。對于GA,設(shè)定種群大小為20,交叉概率為Pc=0.6,突變概率為Pm=0.1,迭代次數(shù)為100。此外,對于PID控制器,設(shè)置控制參數(shù)Kp=25,Kd=0.5,Ki=20。

本文提出的F-WNN控制器中,其目的是在考慮外部擾動和系統(tǒng)參數(shù)變化下控制轉(zhuǎn)子的位置。仿真實驗中設(shè)定一個參考軌跡,通過轉(zhuǎn)子對軌跡的跟蹤誤差來驗證控制性能。設(shè)定時刻t(秒)處的參考軌跡zm(t)如下:

在本文仿真中,在1～1.5 s處施加一個大小約為50 N的隨機擾動,并在3～5 s處,在轉(zhuǎn)子上添加一個49 N的負(fù)載,來測試控制器的魯棒性。

3.2 性能指標(biāo)

本文性能度量:最大跟蹤誤差TM、平均跟蹤誤差TA和跟蹤誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差TS,表達(dá)式分別如下(R為測量次數(shù)):

式中:

3.3 仿真結(jié)果

仿真中,在初始時使用1 s的正弦波來訓(xùn)練FWNN和PIDNN的初始參數(shù),隨后利用實際數(shù)據(jù)來在線訓(xùn)練網(wǎng)絡(luò)。另外,本文F-WNN的每個輸入設(shè)計為3個隸屬函數(shù),因此,規(guī)則層有共有9個神經(jīng)元,即 L=9。

首先,驗證本文F-WNN控制器中的GA性能。圖7(a)顯示了本文GA求解F-WNN中6種學(xué)習(xí)率參數(shù)的收斂過程,7(b)顯示了GA獲得的最優(yōu)學(xué)習(xí)率參數(shù)值?？梢钥闯?本文GA能夠快速地收斂到最優(yōu)解,并獲得適合當(dāng)前環(huán)境的學(xué)習(xí)率。

圖7 GA算法求解最優(yōu)學(xué)習(xí)率的收斂性和結(jié)果

圖8 分別描述了3種控制方法的軌跡跟蹤響應(yīng)和跟蹤誤差曲線?？梢钥吹?在時間1～1.5 s處,由于添加了額外的外部干擾,致使產(chǎn)生較大的位置誤差。其中,PID控制器的誤差最大,這是因為固定增益的PID控制器不能較好地處理不確定性。PIDNN控制器在一定程度改善了跟蹤響應(yīng)性能,但由于PIDNN逼近能力的限制,依然存在較大的跟蹤誤差。本文所介紹的F-WNN控制器在存在不確定因素情況下,依然能夠獲得滿意的跟蹤性能。這是因為,本文通過融合GA的在線學(xué)習(xí)算法,能有效地獲得適應(yīng)當(dāng)前環(huán)境的最佳F-WNN參數(shù),提高了FWNN的控制性能。

圖8 3種方法的軌跡跟蹤響應(yīng)和跟蹤誤差

為了進(jìn)一步比較各種MB控制方法的性能,各種控制方法的最大跟蹤誤差TM、平均跟蹤誤差TA和跟蹤誤差的標(biāo)準(zhǔn)差TS的比較結(jié)果如表1所示。可以看出,相比于PID控制器,PIDNN和F-WNN控制器的性能都有明顯提升。其中,本文所介紹的FWNN控制器具有最優(yōu)的控制精度,平均跟蹤誤差達(dá)到了0.73μm,比PID控制器降低了約6.5倍,比PIDNN控制器降低了約1.5倍。另外,本文 FWNN控制器的跟蹤誤差標(biāo)準(zhǔn)差值也較小,這說明其跟蹤誤差較為穩(wěn)定。

表1 各種MB控制方法的性能比較

綜上仿真實驗證明,本文所介紹的F-WNN控制器能夠有效地控制高度非線性的MB系統(tǒng)。

4 結(jié) 語

本文提出一種基于融合GA的F-WNN控制方法,用于磁軸承轉(zhuǎn)子的控制。在考慮外部干擾的情況下建模MB動態(tài)模型;通過監(jiān)督學(xué)習(xí)機制對FWNN的參數(shù)進(jìn)行在線學(xué)習(xí),利用遺傳算法(GA)優(yōu)化學(xué)習(xí)率因子,以此提高F-WNN的性能;將轉(zhuǎn)子位置誤差作為F-WNN的輸入,實現(xiàn)轉(zhuǎn)子的自適應(yīng)控制。在存在隨機擾動和轉(zhuǎn)子負(fù)載變化場景下進(jìn)行仿真,結(jié)果表明,與現(xiàn)有其它方案相比,本文方法能夠精確地控制轉(zhuǎn)子跟蹤預(yù)定軌跡,并獲得了最低的平均誤差和誤差標(biāo)準(zhǔn)差。證明了本文F-WNN控制器能夠?qū)Ψ蔷€性動態(tài)MB系統(tǒng)進(jìn)行干擾魯棒控制。

在未來工作中,將在大量實際MB平臺中進(jìn)行實驗,并考慮改進(jìn)GA算法,進(jìn)一步獲得最優(yōu)學(xué)習(xí)率。

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