龐 芳 崔虹云 馬 佳

(佳木斯大學(xué)理學(xué)院物理系，黑龍江 佳木斯 154007)

淺談中學(xué)物理中的數(shù)學(xué)知識及思維方法

龐 芳 崔虹云 馬 佳

(佳木斯大學(xué)理學(xué)院物理系，黑龍江 佳木斯 154007)

在中學(xué)物理教學(xué)中，應(yīng)滲透數(shù)學(xué)知識和思維方法，以提高學(xué)生分析和解決物理問題的能力，本文結(jié)合教學(xué)實例，予以說明.

物理教學(xué)；數(shù)學(xué)知識；數(shù)學(xué)思維方法

無論是科學(xué)家們探索和建立物理學(xué)的歷程，還是中學(xué)生學(xué)習(xí)物理的過程，都離不開數(shù)學(xué).運用數(shù)學(xué)知識和思維方法解決問題是物理教學(xué)的內(nèi)容之一.《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)》中明確要求：“通過物理概念和規(guī)律的學(xué)習(xí)過程，了解物理學(xué)的研究方法，認(rèn)識物理實驗、物理模型和數(shù)學(xué)工具在物理學(xué)發(fā)展過程中的作用.”因此，有必要梳理中學(xué)物理教學(xué)中常見的、對學(xué)生解決物理問題有重要作用的典型數(shù)學(xué)知識和思維方法，以下結(jié)合實例說明其在高中物理中的應(yīng)用.

1 中學(xué)物理教學(xué)中所用到的重要數(shù)學(xué)知識

1.1 三角形知識及三角函數(shù)

(1) 三角形知識

在初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段，學(xué)生已經(jīng)對于三角形有了一定程度的了解.在高一階段，力的合成與分解大量運用了三角形知識，這恰恰也為學(xué)生整個高中三年的物理學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ).

例1:以下的選項中三力可以平衡的有( ).

A. 1N，1N，3N B. 5N，3N，4N

C. 6N，8N，10N D. 3N，5N，9N

分析：本題四個選項中不存在三力在同一條直線上的情況，根據(jù)三角形定則的學(xué)習(xí)，學(xué)生很容易將三力平衡問題轉(zhuǎn)化為三邊能否構(gòu)成一個封閉三角形問題，通過初中三角形知識：三角形中任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊.稍加運算，即可得出正確選項為B、C.

(2) 三角函數(shù)

三角函數(shù)知識在高中物理學(xué)習(xí)中運用廣泛，下面主要舉例分析其在平拋運動中的運用.

例2:如圖1所示，一個做平拋運動的物體在某一時刻某一位置處，設(shè)其末速度方向與水平方向的夾角為α，位移與水平方向的夾角為θ，求α、θ兩角正切值之間的關(guān)系.

圖1

1.2 不等式法

例3:如圖2所示，電源電動勢E=3V，內(nèi)阻r=1Ω,滑動變阻器的總阻值R總大于電源內(nèi)阻，現(xiàn)將開關(guān)S閉合，試問當(dāng)R為多少時電源的輸出功率最大？

圖2

1.3 函數(shù)法

函數(shù)的應(yīng)用幾乎貫穿整個高中物理的學(xué)習(xí)過程.必修1中勻變速直線運動中速度與時間的關(guān)系呈一次函數(shù)關(guān)系，位移與時間的關(guān)系則呈二次函數(shù)關(guān)系，物體所受合力和加速度呈正比例函數(shù)關(guān)系，必修2的曲線運動與軌跡方程聯(lián)系緊密，選修3-2中交變電流則用正余弦函數(shù)呈現(xiàn)函數(shù)關(guān)系.

一次函數(shù)關(guān)系在高中物理中常常出現(xiàn)，在做勻速直線運動物體的位移-時間圖像中，一次函數(shù)圖像的斜率代表了物體的速度.在做勻加速直線運動物體的速度-時間圖像中，函數(shù)圖像的斜率體現(xiàn)了物體的加速度大小，從圖像也可以看出物體的速度增減情況.

例4:從傾角為θ的斜面頂點將一小球以v為初速度水平拋出(假設(shè)斜面足夠長)，求小球與斜面的最大距離？

如圖3建立平面直角坐標(biāo)系，求出小球運動軌跡的二次函數(shù)表達(dá)式，通過頂點坐標(biāo)公式來求小球離斜面的最大距離.

圖3

2 中學(xué)物理教學(xué)中所滲透的主要數(shù)學(xué)思維方法

許多數(shù)學(xué)中常用的思維方法對于中學(xué)物理教學(xué)以及物理問題的分析都有很大幫助，教師應(yīng)當(dāng)注意對學(xué)生進(jìn)行有針對性的思維訓(xùn)練，對學(xué)生的物理學(xué)習(xí)起著重要的作用.

2.1 數(shù)形結(jié)合

我國著名數(shù)學(xué)家、中國科學(xué)院院士華羅庚曾說過：“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.”數(shù)與形是傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的最基本的兩個研究對象，它們在一定條件下可以相互轉(zhuǎn)化.學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)中主要以數(shù)和形為研究對象，數(shù)與形之間存在著關(guān)聯(lián)，而這個聯(lián)系則稱之為數(shù)形結(jié)合.作為一種數(shù)學(xué)思維方法，數(shù)形結(jié)合一般有兩種應(yīng)用：其一是利用精確的數(shù)字來闡明形的屬性，二是借助形的幾何直觀性來表明數(shù)之間關(guān)系.

在數(shù)學(xué)教學(xué)中，以數(shù)解形、以形助數(shù)、數(shù)形結(jié)合的思維方法為解決問題提供了極大的方便.而物理之所以常被學(xué)生評價為“晦澀難懂”，其中一個原因就是物理雖貼近生活，但由于用文字描述而顯得缺乏直觀性，不同的問題描述的物理圖景不同，讓學(xué)生難以尋得“捷徑”.而圖形恰恰就是物理學(xué)習(xí)中的“捷徑”，物理圖形的設(shè)立不僅有利于學(xué)生的理解，而且有利于物理模型的建立.

數(shù)形結(jié)合的思維方法在物理教學(xué)中已經(jīng)被大量應(yīng)用，如在高中運動學(xué)部分，教師經(jīng)常會要求學(xué)生畫出v-t圖像、s-t圖像，以幫助分析運動過程，動力學(xué)部分更是要養(yǎng)成畫出受力分析圖的習(xí)慣，在磁場的學(xué)習(xí)中，常見微粒射入變化的電場、磁場中，求軌跡半徑、周期等計算題，有的學(xué)生遇到此類問題，往往覺得無從入手.此時若能引導(dǎo)學(xué)生分析微粒受力情況并畫出軌跡圖，學(xué)生必能輕松發(fā)現(xiàn)解決問題的突破口.

例5:一個正六邊形ABCDEF處于勻強電場中，A、B、C點的電勢分別為1V、2V、3V，下列選項中正確的有( ).

A. UAF=0

B. UCF=0

C. 電場方向從C指向A

D. D、E、F三點電勢為3V、2V、1V

分析：學(xué)生遇到此類習(xí)題，往往覺得無從入手，這時作圖就顯得尤為重要.啟發(fā)學(xué)生作圖，先畫出題中所要求的正六邊形，如圖4所示，連接AC，找出中點，通過電勢的計算可以得到這個中點應(yīng)該和B在同一個等勢面上.引導(dǎo)學(xué)生回憶等勢面的特點：等勢面一定與電場線垂直，即跟場強的方向垂直.而且，學(xué)生在中學(xué)數(shù)學(xué)中已經(jīng)學(xué)習(xí)了多邊形的基本性質(zhì)，稍加運算即可得出AC與BE相互垂直.這樣一來，學(xué)生可以畫出所求勻強電場的電場線.畫出了電場線的分布，一切問題就迎刃而解，通過簡單的計算，可以判斷各選項的正誤.

圖4

2.2 逆向思維

學(xué)生在物理學(xué)習(xí)中習(xí)慣于正向思考，從已知條件開始，循序漸進(jìn)地推導(dǎo)出結(jié)果.但在數(shù)學(xué)的證明過程中有時會采用逆推思維，從最后的結(jié)果出發(fā)，逆向推理直至解出問題.逆向思考的思維方法運用到物理教學(xué)中也會產(chǎn)生出其不意的效果.例如勻減速直線運動，如果看成反方向的勻加速直線運動來解題，思路更加清晰.

例6:一小物塊以一定的初速度自光滑斜面的底端a點上滑，最遠(yuǎn)可達(dá)b點，e為ab的中點，已知物體由a到e的時間為t0,則它從e經(jīng)b再返回e所需時間為( ).

2.3 矢量分析

學(xué)生初入高中，運動學(xué)部分就介紹了速度和位移都是矢量.而部分學(xué)生沒有習(xí)慣矢量的運算方式，將在初中學(xué)習(xí)的速度和路程與之混淆，形成思維障礙.高中物理學(xué)習(xí)常常要運用到矢量的計算，平行四邊形定則、三角形定則是研究力學(xué)的基本工具，其運算過程中遵循矢量運算法則，熟練運用矢量法解決物理習(xí)題十分重要.

例7:a、b、c是三個完全相同的絕緣金屬小球.現(xiàn)將三個小球如圖5放置在等邊三角形的三個頂點上，使c球恰好處于xOy坐標(biāo)系的原點O上.已知a、c小球帶正電，b球帶負(fù)電，a球所帶電荷量比b球所帶電荷量少.關(guān)于c球受到a和b對它的靜電力的合力方向，下列判斷正確的是( ).

A. 從原點指向第一象限

B. 從原點指向第二象限

C. 從原點指向第三象限

D. 從原點指向第四象限

圖5

分析：在本題中畫出c球受力示意圖，再通過三角形定則做出矢量合成圖，利用矢量圖分析，很容易得到c受到合力的方向.

中學(xué)物理教育目的在于提高全體學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)，科學(xué)素養(yǎng)不僅僅是科學(xué)知識，更多的是注重科學(xué)過程、科學(xué)方法和科學(xué)精神.因此，讓學(xué)生學(xué)會用數(shù)學(xué)知識和思維方法來解決物理問題，應(yīng)該作為中學(xué)物理教學(xué)的一項重要目標(biāo).

[1] 林威.挖掘三角函數(shù)問題的隱含條件[J].中學(xué)生天地，2012,(10)：26-29.

[2] 李玉榮.悄然興起的“用形輔數(shù)”中考題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)月刊，2010,(3)：26-27.

[3] 姜建平.淺析數(shù)形結(jié)合思想在解析幾何中的運用[J].理科考試研究(高中版)，2012,(12)：25-26.