☉浙江省余姚市第五中學(xué) 趙文煒

小議空間幾何中的翻折問題教學(xué)

☉浙江省余姚市第五中學(xué) 趙文煒

眾所周知，空間幾何是考查學(xué)生空間想象能力的學(xué)科，對(duì)于學(xué)生空間思維的培養(yǎng)有著最為直觀的作用.從二維平面幾何到三維空間幾何，學(xué)生對(duì)問題的認(rèn)識(shí)也需要重新建立公理化體系.筆者認(rèn)為，學(xué)好空間幾何有兩個(gè)準(zhǔn)則：其一是公理化體系的掌握，即空間幾何的所有定理、性質(zhì)都是依據(jù)四條公理推出來的，空間幾何的問題從論證到推導(dǎo)，嚴(yán)格地遵守了以四條公理為準(zhǔn)的定理、性質(zhì)的體系，空間幾何的學(xué)習(xí)便是有根可循、有的放矢；其二是空間問題平面化，在解決空間幾何問題時(shí)，我們主要是將各種點(diǎn)、線、面的關(guān)系平面化，從而可以回到平面幾何中尋求解決.

翻折問題是考查平面幾何與空間幾何結(jié)合處的一種問題類型，其以平面幾何問題為載體，通過翻折形成空間幾何問題，相比以往的問題來說，翻折問題更進(jìn)一步考查了學(xué)生的空間想象能力，并且是從一種動(dòng)態(tài)的視角考查了學(xué)生對(duì)公理化體系的掌握程度，提升了問題的難度，易區(qū)分學(xué)生的空間想象能力，從而受到命題者的青睞.

一、多點(diǎn)重合

多點(diǎn)重合是翻折問題的一種典型，其往往是以多點(diǎn)、多線為載體，通過多直線的翻折形成.值得關(guān)注的是，多點(diǎn)重合問題往往考慮的翻折圖形比較多，翻折線比較多，緊緊抓住翻折過程中的不變量是解決問題最核心的依據(jù).

問題1如圖1，△ABC內(nèi)接于直角梯形P1P2P3A，沿AB、BC、CA分別將△ABP1，△BCP2，△ACP3翻折上去，使得重合于一點(diǎn)P，構(gòu)成一個(gè)三棱錐P-ABC.

圖1

（1）求證：PB⊥AC；

分析：（1）本題涉及三條翻折的線，要注意在翻折前后，未跨越翻折線的量都保持不變.翻折后，P1、P2、P3共點(diǎn)于P，那么PB與PA、PB與PC的關(guān)系轉(zhuǎn)變?yōu)镻1B與P1A、P2B與P2C的關(guān)系，而P1B與P1A，P2B與P2C的垂直關(guān)系因?yàn)楸旧矸植荚诜劬€的兩端，因此翻折前后位置關(guān)系不變，由此可以證明PB⊥AC（.2）有了（1）的證明可知，PB⊥平面PAC，因此要求三棱錐P-ABC的體積只需要求得PB的長度以及△PAC的面積即可.

解：（1）證明：在直角梯形P1P2P3A中，P1B⊥P1A，P2B⊥P2C，故在三棱錐P-ABC中有：PB⊥PA，PB⊥PC.又因?yàn)镻A∩PC=P，故PB⊥平面PAC.又因?yàn)锳C?平面PAC，所以PB⊥AC.

（2）因?yàn)榉酆笫沟肞1，P2，P3重合于一點(diǎn)P，所以B為P1P2的中點(diǎn)，C為P2P3的中點(diǎn)，且AP1=AP3，

所以E為CP3的中點(diǎn)，從而

反思：從公理化體系的角度來說，要證明線面垂直主要有兩種方式：其一證明線與面中的兩條相交直線垂直，這也是線面垂直證明中最常用的判定定理；其二是利用兩平行線中的一條可證明垂直平面，從而得證另一條也垂直平面.顯然本題采用了第一種方式，在多點(diǎn)重合問題中，翻折前所存在的線線垂直并沒有因?yàn)榉鄱淖兾恢藐P(guān)系，這也是由這些直線的位置決定的（均分布在翻折線的兩側(cè)），從而問題的證明顯然相對(duì)容易.解決多點(diǎn)重合問題，關(guān)鍵是看出折疊前后哪些點(diǎn)交匯于一點(diǎn)，對(duì)比折疊前后的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系的變化情況，那些不變的關(guān)系和數(shù)量就是我們解決問題的突破口.

二、單線翻折

單線翻折問題是命題的一類熱門問題，與多點(diǎn)重合翻折不同，這類翻折問題往往有變化的量，即這些量（線、面）分布在翻折線的兩端，從而在翻折過程中這些量的長度、角度等發(fā)生了改變.學(xué)生在思考具備變化量的動(dòng)態(tài)翻折問題時(shí)，其難度往往就高于靜態(tài)翻折問題，從而學(xué)生空間想象能力的區(qū)分就容易凸顯.

問題2如圖2，在矩形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在線段AB，AD上，且沿直線EF將△AEF翻折成△A′EF，使平面A′EF⊥平面BEF.

圖2

圖3

（1）求二面角A′-FD-C的余弦值；

（2）點(diǎn)M，N分別在線段FD，BC上，若沿直線MN將四邊形MNCD向上翻折，使C與A′重合，求線段FM的長.

分析：與問題1不同的是，本題的翻折具備了動(dòng)態(tài)性，我們發(fā)現(xiàn)平面ABCD在沿直線EF翻折過程中分裂成兩個(gè)平面，其中一個(gè)未發(fā)生改變，另一個(gè)恰為所研究的平面A′FD，第（1）問就是研究分裂成兩部分的平面所組成的二面角余弦值，由條件平面A′EF⊥平面BEF保障，所以問題的解決相對(duì)而言有據(jù)可依，使用傳統(tǒng)角度來說，我們都是利用線面垂直結(jié)合二面角定義的方式去作出二面角（或類似于三垂線法）；對(duì)于第（2）問，有點(diǎn)回到問題1的味道，兩點(diǎn)重合即在不同的三角形中研究線段CM=A′M，將空間幾何問題平面化成為問題解決的關(guān)鍵.

反思：本題主要考查了線、面位置關(guān)系以及二面角.從知識(shí)角度來說，本題翻折讓一個(gè)平面分裂成兩個(gè)研究對(duì)象，其中一個(gè)屬于動(dòng)態(tài)平面，對(duì)于學(xué)生的思維能力考查相比問題1提升了程度，但是知識(shí)的運(yùn)用（二面角的求作）依然是基本知識(shí)的體現(xiàn)；空間幾何的精髓是空間幾何問題平面化.本題從C與A′重合出發(fā)，在兩個(gè)不同的直角三角形△CDM和△A′MH中實(shí)現(xiàn)了這一等量CM=A′M的求解.將空間幾何問題如何平面化，轉(zhuǎn)化到怎么樣的平面圖形中去，是教師教學(xué)的核心，一般來說三角形是轉(zhuǎn)化的主要背景，需要從空間幾何模型中去尋找.

三、動(dòng)態(tài)最值

翻折問題中更為高層次的問題涉及函數(shù)思想，即動(dòng)態(tài)最值.這類問題往往已經(jīng)將知識(shí)的考查從空間幾何延伸到了其他內(nèi)容，與函數(shù)知識(shí)的整合是進(jìn)一步區(qū)分學(xué)生數(shù)學(xué)能力、綜合素養(yǎng)的關(guān)鍵.

問題3如圖4，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點(diǎn)，F(xiàn)為線段EC（端點(diǎn)除外）上一動(dòng)點(diǎn)，現(xiàn)將△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面△ABD內(nèi)過點(diǎn)D作DK⊥AB，K為垂足，設(shè)AK=t，則t的取值范圍是________.

圖4

分析：本題是翻折動(dòng)態(tài)最值問題的經(jīng)典，在平面ABD⊥平面ABC的背景下，研究平面△ABD內(nèi)動(dòng)直線DK的變化，從而計(jì)算t的取值范圍.從分析中可以思考，因?yàn)殡S著F（在線段EC（端點(diǎn)除外））上運(yùn)動(dòng)，因此從函數(shù)的觀點(diǎn)入手，可迅速找到解題基本思路：AK=t=f（x），接下來的問題只要將空間幾何問題平面化后，找到相關(guān)的三角形進(jìn)行求解就可以了.

解（函數(shù)思想）：設(shè)EF=x（0＜x＜1），則FC=1-x，作FH⊥AB于H，則BK=2-t，KH=1+x-t.所以FK2=（1+x-t）2+1.

又DF2=（1+x）2，DK2=1-t2及Rt△DKF，

所以DF2=FK2+DK2.所以（1+x-t）2+1+1-t2=（1+x）2.

反思：本題最大的特色相比例2來說，對(duì)動(dòng)態(tài)變量又有了進(jìn)一步的考查.從函數(shù)思想入手，較為從容地建立函數(shù)模型，這里需要多次用到勾股定理，也是空間幾何平面化的直接體現(xiàn).若可以引導(dǎo)學(xué)生細(xì)細(xì)思考，我們不難發(fā)現(xiàn)，從點(diǎn)F的移動(dòng)中可以發(fā)現(xiàn)，隨著其從E向C運(yùn)動(dòng)過程中，顯然空間直觀感受到平面ADF隨著AF的翻折，其與底面ABC靠得越近，AK的值在不斷減小，這種直觀感受是空間想象能力更高層級(jí)的體現(xiàn).因此我們還可以從另一個(gè)特殊的角度去思考：F位于E處時(shí)，AK最大；F位于C處時(shí)，AK最小.如圖4易知，故

總之，從上述案例研究可以發(fā)現(xiàn)，在解決空間幾何中的翻折問題時(shí)，我們要關(guān)注翻折前后位于翻折線兩側(cè)的點(diǎn)、線、面的變化，以及從這些基本量引起的長度、角度等變化.一般而言，位于翻折線兩側(cè)沒有跨越翻折線的量基本保持其平面圖形中的不變性，而與翻折線有關(guān)的線、面往往發(fā)生了動(dòng)態(tài)的變化.筆者認(rèn)為，從問題的積累和經(jīng)驗(yàn)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生在翻折動(dòng)態(tài)過程中挖掘不變性是根本，主要是平行、垂直兩大基本關(guān)系以及各種角的大小、線段長度等相關(guān)量.要深度掌握翻折問題的精髓，還需要對(duì)公理化體系下的空間幾何論證有清晰的框架認(rèn)知，以及空間問題平面化處理的思想.

1.薛彬.高中立體幾何改革的回顧與前瞻.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上旬）［J］.2009（3）.

2.俞求是.高中數(shù)學(xué)新課程立體幾何教學(xué)問題研究.數(shù)學(xué)教學(xué)［J］.2010（2）.

3.岳儒芳.由2009年高考立體幾何題閱卷引發(fā)的思考.數(shù)學(xué)通訊［J］.2009（8）