☉江蘇省蘇州第十中學校 項冠煒

談談已知遞推式求通項破解之道

☉江蘇省蘇州第十中學校 項冠煒

高考數(shù)學是具有選拔功能的考試，要求考生在熟練掌握基礎知識的前提下，具備一定的數(shù)學思維和數(shù)學思想.要想做到這點，就要求學生對高中數(shù)學各類型題的固定解法熟記于心，針對這個要求，就要求我們老師對各類型題的解法加以歸納總結.通過對各類型題的總結，不同的形式使用不同的解題方法，進而分析各個解法之間的區(qū)別與聯(lián)系，可以有效地提高學生的數(shù)學思維.

數(shù)列是高中數(shù)學學習中的重點內(nèi)容，同時也是高考中必須要考查的基礎模塊之一.在解題過程中，選擇使用不同的方法、轉(zhuǎn)換思想將會導致截然不同的求解方向，運算量和難易程度也有明顯的區(qū)別.在保證一道題目可以解出的前提下，選擇用最佳的方法可以有效地提高同學們的解題效率，在考試的時候，多為其他題爭取一些時間.

下面本文將對數(shù)列中已知遞推式求通項問題的各種類型進行歸納總結.

類型一、an+1=an+f（n）

解題思想：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f（n），利用累加法（逐差相加法）求解.

分別令n=1，2，3，…，（n-1），代入上式得（n-1）個等式累加之，即（a2-a1）+（a3-a2）+（a4-a3）+…+（an-an-1）

注意：（1）an+1和an的系數(shù)一定要相同，最好都是1.（2）在累加的時候，最后一個式子應該寫成an-an-1（n≥2），不要寫成an+1-an.（3）在累加后，求f（n）的和時，要根據(jù)f（n）本身的特點來選用合適的求和方法，當f（n）為普通等差數(shù)列時，選擇使用等差數(shù)列求和公式；當f（n）為普通等比數(shù)列時，選擇使用等比數(shù)列求和公式；當f（n）為等差與等比數(shù)列之和時，選擇使用分組求和的方法；當f（n）為等差與等比數(shù)列之積時，選擇使用錯位相減的求和方法；當f（n）為分式時，比如此題，選擇使用裂項相消的求和方法.

類型二、an+1=f（n）an

類型三、an+1=pan+q（其中p，q均為常數(shù)，pq（p-1）≠0）

解題思想（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1+ k=p（an+k），其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解.

例3已知數(shù)列｛an｝中，a1=1，an+1=2an+3，求an.

解：設遞推公式an+1=2an+3可以轉(zhuǎn)化為an+1-t=2（an-t），即an+1=2an-t?t=-3.故遞推公式為an+1+3=2（an+3）.令bn=an+ 3，則b1=a1+3=4，且所以｛b｝n是以b1=4為首項，2為公比的等比數(shù)列，則bn=4×2n-1=2n+1.所以an=2n+1-3.

注意：（1）此種方法為待定系數(shù)法的第一個類型，也是其他待定系數(shù)法的基礎，需要熟練掌握（.2）an+1和an的系數(shù)一定要不相同，如果相同的話就選擇累加法（.3）此方法的關鍵是根據(jù)固定的解法算式an+1+k=p（an+k）來構造出一個新的等比數(shù)列，利用新的等比數(shù)列通項來求原來數(shù)列的通項.

類型四、an+1=pan+qn（其中p，q均為常數(shù)，pq（p-1）（q-1）≠0）

解題思想：一般地，要先在原遞推公式兩邊同時除以qn+1，得，引入輔助數(shù)列｛得，再用待定系數(shù)法解決.

注意：（1）此種方法為待定系數(shù)法的第二個類型，在第一個待定系數(shù)法的基礎上，多了一步變化.（2）an+1和an的系數(shù)一定要不相同，如果相同的話就選擇累加法.（3）此方法的關鍵是根據(jù)給出條件的特點，在等式的左右兩端同時除以q的最大腳標次方，本題的最大腳標是n+1，所以同時除以qn+1，而如果此題條件換成，則應該除以qn（.4）最后利用待定系數(shù)法來解出最后答案.

類型五、遞推公式為an+2=pan+1+qan（其中p，q均為常數(shù)）

注意：（1）此種方法為待定系數(shù)法的第三個類型，前兩種是兩項之間的遞推關系，此類題是三項之間的遞推關系.

（2）在用完待定系數(shù)法之后，會由三項遞推關系轉(zhuǎn)換成兩項遞推關系，之后就要觀察數(shù)列的類型，看選擇哪種方法.

類型六、遞推公式為Sn與an的關系式（或Sn= f（an））

（1）求an+1與an的關系；

（2）求通項公式an.

（2）應用類型4（an+1=pan+qn（其中p，q均為常數(shù)，（pq（p-1）（q-1）≠0）））的方法，上式兩邊同時乘以2n+1，得2n+1an+1=2nan+2.

注意：

（1）使用此方法一定要注意n的取值范圍為n≥2.

（2）如果最后不是a2與a1之間的關系，還需要進一步驗證a2與a1是否符合條件，如果不符合，則此數(shù)列為分段數(shù)列.

以上筆者總結了數(shù)列中已知遞推式求通項的多種解法，希望同學們可以熟練掌握.在數(shù)學復習課中選練此類題目時，要注意總結分類，這不失為一種好的學習方法.