☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué) 萬(wàn)海兵

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課中需要明確的幾個(gè)要點(diǎn)

☉江蘇省海安縣曲塘中學(xué) 萬(wàn)海兵

數(shù)學(xué)從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)是考查學(xué)生思維、培養(yǎng)學(xué)生能力的一門學(xué)科.高中階段的數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生思維水平的發(fā)展極其重要.我們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的及高考考查學(xué)生的方向都是考查學(xué)生的思維能力.下面以函數(shù)復(fù)習(xí)為例，就其中需要明確的幾個(gè)要點(diǎn)，舉例說(shuō)明.

一、做好知識(shí)的定位

數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)，應(yīng)從基礎(chǔ)知識(shí)開(kāi)始，若知識(shí)不清楚，我們的復(fù)習(xí)就是沒(méi)有基礎(chǔ)的復(fù)習(xí).但知識(shí)的復(fù)習(xí)不是死記硬背，特別是對(duì)于一些文科的考生來(lái)說(shuō)，不能把數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)變成是記結(jié)論、記題型、記解法，這樣的復(fù)習(xí)只能是越復(fù)習(xí)越僵化，禁錮自己的思維.實(shí)際上思維不是記與不記的問(wèn)題，而是我們思考的多與少的問(wèn)題.

分析：本題是以基本初等函數(shù)中的冪函數(shù)為背景的分段函數(shù)問(wèn)題，這就要求我們一定要熟悉最基本的函數(shù)的圖像及相關(guān)的性質(zhì).要弄清兩個(gè)函數(shù)y=x2與y=x3的異同：一個(gè)為偶函數(shù)，一個(gè)為奇函數(shù)；兩函數(shù)有兩個(gè)公共點(diǎn)（0，0），（1，1）.在區(qū)間（0，1）內(nèi)，x2＞x3，在區(qū)間（1，+∞）內(nèi)，x2＜x3.因此分段點(diǎn)的變化，決定了函數(shù)f（x）相關(guān)性質(zhì)的變化.據(jù)此可得出如圖1～圖3所示的三種情況，問(wèn)題的求解自然不攻自破了.

圖1

圖2

答案：（-∞，0）∪（1，+∞）

除此之外，指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)也是我們所學(xué)的最基本的函數(shù)，復(fù)習(xí)中在熟悉這些基本函數(shù)的前提下，還要善于將它們綜合起來(lái)考慮，如y=x-lnx，y=lnx x，y=x2-ex……這些函數(shù)的性質(zhì)又是如何呢？

圖3

二、注重對(duì)知識(shí)本質(zhì)的思考

數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)不僅僅是記定義、公式、法則，關(guān)鍵是要抓住本質(zhì).如：什么叫奇函數(shù)？學(xué)生的回答通常有兩種答案：①奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.②f（-x）=-f（x）.這是奇函數(shù)概念下的兩個(gè)結(jié)論.一個(gè)是圖像特征，一個(gè)是符號(hào)語(yǔ)言.這兩個(gè)結(jié)論學(xué)生說(shuō)出來(lái)，說(shuō)對(duì)了.這是因?yàn)榻?jīng)過(guò)長(zhǎng)期的復(fù)習(xí)，他記下來(lái)了.但這樣仍屬于不會(huì)思維，不會(huì)用函數(shù)的思維理解這個(gè)概念.正確的回答應(yīng)該是什么呢？應(yīng)該是自變量取了和為零的兩個(gè)值的時(shí)候，也就是相反數(shù)的時(shí)候，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值相反.這才符合函數(shù)的思維.

如果將“關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱”改為關(guān)于其他點(diǎn)對(duì)稱呢？

A.0B.mC.2mD.4m

三、明確思維能力提高的途徑

復(fù)習(xí)中我們大量做題的目的，實(shí)際上是要通過(guò)做題來(lái)找到科學(xué)的思維方法，通過(guò)做題找到解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一般方法.到了高三的最后階段，其實(shí)解決問(wèn)題的方法應(yīng)該是越少越好.我們所用的方法應(yīng)該是本質(zhì)的，而不是形式的.如果我們?cè)诿恳粋€(gè)單元的復(fù)習(xí)之后，都能找到解決問(wèn)題的本質(zhì)方法，那么我們就有信心參加高考了；如果越做題感覺(jué)自己的問(wèn)題越多，甚至覺(jué)得有很多題沒(méi)有做，匆匆忙忙就去考試了，這樣就表明我們對(duì)于復(fù)習(xí)的理解與認(rèn)識(shí)還不夠準(zhǔn)確.

例3已知函數(shù)f（x）=x2-2x+2，g（x）=ax+lnx（a∈R），若存在x1∈［0，1］，x2∈［1，e］，使得f（x1）＜g（x2）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

總結(jié)：?x1∈D，x2∈E，f（x1）＜g（x2）?［f（x）］min＜［g（x）］max.

變式1：若?x1∈［0，1］，?x2∈［1，e］，使f（x1）＜g（x2）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

總結(jié)：?x1∈D，?x2∈E，f（x1）＜g（x2）?［f（x）］max＜［g（x）］max.

變式2：若?x1∈［0，1］，?x2∈［1，e］，使f（x1）=g（x2）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）

總結(jié)：?x1∈D，?x2∈E，f（x1）=g（x2）?f（x）的值域?g（x）的值域.

變式3：若?x1∈［0，1］，?x2∈［1，e］，使f（x1）=g（x2）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

總結(jié)：?x1∈D，?x2∈E，f（x1）=g（x2）?f（x）的值域∩g（x）的值域≠?.

變式4：若?x1∈［0，1］，?x2∈［1，e］，使f（x1）＜g（x2）成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

總結(jié)：?x1∈D，?x2∈E，f（x1）＜g（x2）?［f（x）］max＜［g（x）］min.

通過(guò)對(duì)上述例題進(jìn)行一題多變可以看出，此類型題目中均含有兩個(gè)函數(shù)，并且含有兩個(gè)變量.由于這兩個(gè)變量在各自區(qū)間上的取值具有任意性，因此，這類問(wèn)題最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域或最值問(wèn)題加以解決.

例4如圖4所示，A是函數(shù)f（x）=2x的圖像上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作直線平行于x軸，交函數(shù)g（x）=2x+2的圖像于點(diǎn)B，若函數(shù)f（x）=2x的圖像上存在點(diǎn)C使得△ABC為等邊三角形，則稱A為函數(shù)f（x）=2x上的好位置點(diǎn).函數(shù)f（x）=2x上的好位置點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）.

A.0B.1C.2D.大于2

圖4

圖5

正確選項(xiàng)為B.

此題的命題背景是指數(shù)函數(shù)，綜合考查了平面幾何知識(shí).在成功解答此題后，思考：如何將指數(shù)函數(shù)換為對(duì)數(shù)函數(shù)，是否可行呢？

變式如圖5，點(diǎn)A，B在函數(shù)y=log2x+2的圖像上，點(diǎn)C在函數(shù)y=log2x的圖像上，若△ABC為等邊三角形，且直線BC∥y軸，設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（m，n），則m=（）.

正確選項(xiàng)為D.

經(jīng)過(guò)這樣的訓(xùn)練，我們會(huì)解的不是一個(gè)題，而是一類題，我們分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力自然會(huì)得到有效的提升.

四、加強(qiáng)對(duì)解題方法的提煉

假如說(shuō)解決函數(shù)問(wèn)題的方法有多種，如果我們不去提煉，一個(gè)一個(gè)地去嘗試，等試到最后一種方法也解不了的時(shí)候，只能放棄了，因?yàn)闆](méi)有其他方法了.其實(shí)，這幾種方法也許從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，就是一個(gè)方法，但是在復(fù)習(xí)的時(shí)候我們沒(méi)有注意到.也就是說(shuō)，我們做了很多題目卻沒(méi)有注意提煉，沒(méi)有提煉思維方法，沒(méi)有提煉解決問(wèn)題的方法.

研究函數(shù)的一般方法是什么呢？當(dāng)我們看到函數(shù)解析式時(shí)，不用將其分類，無(wú)論是含有字母，還是含有參數(shù)，甚至是一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)解析式，我們都要研究它的性質(zhì)，畫出其簡(jiǎn)單的示意圖，進(jìn)而清楚我們要研究的對(duì)象.圍繞這樣的函數(shù)設(shè)計(jì)的任何問(wèn)題都有辦法解決了.

例5已知π為圓周率，e=2.718…為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（2）求e3，3e，eπ，πe，3π，π3這6個(gè)數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù).

圖6

進(jìn)而可得3π＞π3，eπ＞πe，e3＞3e及3π＞eπ＞e3，π3＞πe＞3e，故所求的最大數(shù)為3π，最小數(shù)3e.

，則a，b，c的大小關(guān)系為（）.

A.a＜b＜cB.c＜b＜a

C.c＜a＜bD.b＜a＜c

正確選項(xiàng)為C.

很多學(xué)生在解題時(shí)，只是粗略地審題后，就直奔結(jié)果了，對(duì)于函數(shù)本身的理解很片面，這樣的話就會(huì)影響到解題的思路.所以解題的方法怎么來(lái)的？哪來(lái)的呢？你要把你的研究對(duì)象研究透徹.

總之，在數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)時(shí)，不是從知識(shí)的角度去考慮哪些講了，哪些沒(méi)講的問(wèn)題.而是關(guān)注最核心的知識(shí)、最核心的思維、最核心的方法.所以，我們?cè)谧詈蟮倪@個(gè)階段，若仍不關(guān)注自己思考問(wèn)題的方式，只是埋頭做題，那就可能喪失最佳的提高自己思維能力的機(jī)會(huì).F