羅俊麗

（商洛學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)應(yīng)用學(xué)院，陜西商洛 726000）

美國數(shù)學(xué)家Zadeh于1965年首次提出的模糊集理論[1]，極大地促進(jìn)了模糊邏輯推理系統(tǒng)和模糊邏輯代數(shù)分析兩個(gè)重要研究方向的迅猛發(fā)展。Rosenfeld[2]受代數(shù)結(jié)構(gòu)模糊化的啟示，提出了模糊子群的概念，從而開創(chuàng)了模糊代數(shù)學(xué)研究的新領(lǐng)域。Bhakat和Das運(yùn)用模糊點(diǎn)與模糊集間的“屬于關(guān)系（∈）”和“擬重于關(guān)系（q）”[3-4],研究了（∈,∈∨q）-模糊子群的概念及性質(zhì)[5-7]。張成討論了（∈',∈'∨q'）-模糊子群的概念[8]；袁學(xué)海在引入模糊子群定義的基礎(chǔ)上，得到了稱之為模糊子群[9-10]的新模糊子群。廖祖華將Rosenfeld意義下的（∈，∈∨q）-模糊子群、Bhakat和Das意義下的-模糊子群以及袁學(xué)海意義下的模糊代數(shù)統(tǒng)一推廣為（∈，∈∨q（λ，μ））-模糊代數(shù)[11],并獲得了豐碩的成果。

本文是在Yao區(qū)間集[12-14]和濾子理論[15-20]研究工作的基礎(chǔ)上,作為文獻(xiàn)[21]研究討論的繼續(xù)，進(jìn)一步將區(qū)間集和濾子理論運(yùn)用到非交換剩余格上,引入?yún)^(qū)間集非交換剩余格廣義模糊布爾濾子的概念，給出了區(qū)間集上非交換剩余格廣義模糊布爾濾子的等價(jià)性刻畫及其特征性質(zhì)。

1 預(yù)備知識(shí)

定義 1[18]設(shè)＜I(2U),∪,∩,?,?,→,μ,?＞是一個(gè)（2，2，2，2，2，0，0）型代數(shù)，若滿足以下條件：

1）＜I(2U)∪,∩，μ，?＞是一個(gè)有界格；

2) ＜I(2U)?,μ，?＞是 μ 以為單位元的半群；

3) ?X，Y，Z∈I(2U)，X?Y?Z 當(dāng)且僅當(dāng) X?Y?Z當(dāng)且僅當(dāng)Y?X→Z，則稱I(2U)為區(qū)間集上非交換剩余格。

性質(zhì)1[18]設(shè)I(2U)是一個(gè)區(qū)間集上非交換剩余格,?X，Y，Z∈I(2U),則有以下性質(zhì)成立：

1）?(→)：I(2U)×I(2U)→I(2U)關(guān)于第二個(gè)變量不減,關(guān)于第一個(gè)變量不增；

定義2[18]設(shè)I(2U)是區(qū)間集上非交換剩余格,F?I(2U),F≠μ 如果?X，Y∈I(2U)，有

那么稱F為I(2U)上的一個(gè)濾子，所有濾子之集記為F(I(2U))。

又若F是I(2U)的一個(gè)濾子,且滿足?X，Y∈I(2U),X∪Y?F可推出X?F或Y?F,則稱F是I(2U)的素濾子。

命題1[18]設(shè)I(2U)是區(qū)間集上非交換剩余格,F?I(2U),F≠?,則F是濾子當(dāng)且僅當(dāng)F滿足：

1）μ∈F；

2）若 X∈F,X?Y∈F 或者 X→Y∈F,則 Y∈F。定義3[18]設(shè)I(2U)是區(qū)間集上非交換剩余格,F：I(2U)→[?，μ]是一個(gè)映射，則 F 為 I(2U)的模糊子集。

定義4[18]設(shè)I(2U)是區(qū)間集上非交換剩余格,?X，Y∈I(2U),F∈F(I(2U)),如果F滿足以下條件：

1）若 X?Y,則 F(Y)?F(X)；

2）F(X?Y)?F(X)?F(Y),

則F稱之為I(2U)上的模糊濾子,全體模糊濾子之集記為FF(I(2U))。

命題2[18]設(shè)I(2U)是一個(gè)區(qū)間集上非交換剩余格,F∈FI(2U),則F是I(2U)上的一個(gè)模糊濾子的充要條件為：

命題3設(shè)I(2U)是一個(gè)區(qū)間集上非交換剩余格,F∈F(I(2U))，則以下條件等價(jià)：

1）F是I(2U)上的一個(gè)模糊濾子；

2)?X,Y,Z∈I(2U),如果 X?(Y?Z)=?,則F(Z)?F(X)∩F(Y)；

3)?X,Y,Z∈I(2U),如果 X→(Y→Z)=μ,則F(Z)?F(X)∩F(Y)。

2 I(2U)廣義模糊布爾濾子的特征性質(zhì)

定義5設(shè)I(2U)是區(qū)間集上非交換剩余格,F∈F(I(2U)),若 F 滿足?X,Y∈I(2U)，XUXˉ∈I(2U)且 X∪X?∈I(2U)，則稱 F 為 I(2U)上的一個(gè)廣義布爾濾子，這里 Xˉ=X??,X?=X→?。

定義6設(shè)I(2U)是區(qū)間集上非交換剩余格,F∈FF(I(2U)),若有關(guān)系式：

?X∈I(2U),F(X∪Xˉ)=F(X∪X?)=F(μ),則 F 稱為I(2U)上的一個(gè)廣義模糊布爾濾子。

定理1設(shè)I(2U)是區(qū)間集上非交換剩余格,F,G∈FF(I(2U)),F?G 且 F(μ)=G(μ)，若 F 是 I(2U)上的一個(gè)廣義模糊布爾濾子，則G也是I(2U)上的一個(gè)廣義模糊布爾濾子。

證明設(shè)?X,Y∈I(2U)，由F是I(2U)上的一個(gè)廣義模糊布爾濾子及題設(shè)條件可得

從而 G(X∪Xˉ)=G(X∪X?)=G(μ),故 G 也是I(2U)上的一個(gè)廣義模糊布爾濾子。

定理2設(shè)I(2U)是區(qū)間集上非交換剩余格,F∈FF(I(2U)),則以下條件等價(jià)：

1）F是廣義模糊布爾濾子；

證明由 1）推出定理 2中 2）。設(shè) X,Y∈I(2U)，則由性質(zhì)1之7）知：

可類似地證得F(X→Y)?F(X→(Y??Y))。

由定理2中2）推出定理2中3)。設(shè)X，Y∈I(2U)，因?yàn)?φ?Y，則由性質(zhì) 1 之 1）知 Xˉ=X?φ?X?Y，進(jìn)而有(X?Y)→X?Xˉ→X，故

可類似證得 F(X)?F((X→Y)?X)。

故證得定理2中3）成立。

由定理2中3）推出定理2中4）。不妨在定理 2 中 3）中令 Y=?,可證式 4）成立。

由定理2中4）推出定理2中1）。設(shè)X∈I(2U)，由于(X∪Xˉ)ˉ=Xˉ∩(Xˉ)ˉ?X∪Xˉ，則依據(jù)性質(zhì) 1.1之 2）得到(X∪Xˉ)ˉ→(X∪Xˉ)=μ，繼而

F((X∪Xˉ)ˉ→(X∪Xˉ))=F(μ),又結(jié)合定理 2 中4）有

F((X∪Xˉ)ˉ→(X∪Xˉ))?F(X∪Xˉ)，故 F(X∪Xˉ)=F(μ)?？深愃谱C得 F(X∪X?)=F(μ)。這樣證得 F是廣義模糊布爾濾子。

定理3設(shè)I(2U)是區(qū)間集上非交換剩余格,F是I(2U)上的一個(gè)模糊廣義布爾濾子，?X,Y∈I(2U)，則以下性質(zhì)成立：

證明1)設(shè)?X,Y∈I(2U),則由性質(zhì)1之5)知

(X∪Xˉ)?(X?Y)=(X?(X?Y))∩(Xˉ?(X?Y)=X?(X?Y),則 F((X∪Xˉ)?(X?Y))=F(X?(X?Y))。又因?yàn)镕是廣義模糊布爾濾子,所以F(X?Y)?F(X∪Xˉ)∩F((X∪Xˉ)?(X?Y)=F(μ)∩F(X?(X?Y))=F(X?(X?Y))。

可以類似證明F(X→Y)?F(X→(X→Y)。

2）設(shè)?X,Y∈I(2U),一方面，依據(jù)性質(zhì) 1之 7）有 X?(Y→X)?X，從而((Y→X)?X)??X??X→Y，進(jìn)一步得到(X→Y)?Y?((Y→X)?X)??Y?((Y→X)?X)?? ((Y→X)?X)。

又因?yàn)镕是廣義模糊布爾濾子，則

另一方面，根據(jù)性質(zhì)1之7）有Y?(X→Y)?Y，

從而((X→Y)?Y)??Y??Y→X,

進(jìn)一步得到

又因?yàn)镕是廣義模糊布爾濾子，所以

故由以上兩方面得到F((X→Y)?Y)=F(Y→X)?X))。

可以類似證明第二式也成立。

3)設(shè)?X，Y∈I(2U),依據(jù)性質(zhì) 1 之式 5）及 2）可知：

因?yàn)镕是廣義模糊布爾濾子，所以

F(X)?F(X∪X?)∩F((X∪X?)→X?)?F(μ)∩F(X?→X)=F(X?→X)。又由于 X??X→Y，則根據(jù)性質(zhì)之 1之 1）有(X→Y)→X?X?→X，因而由定義4 得到 F((X→Y)→X)?F(X?→X),進(jìn)一步有 F(X)?F((X→Y)→X)，再依據(jù)性質(zhì) 1 之 6）知 μ?(Y→X)?((Y→X)?X)→(μ?X)，由性質(zhì) 1 之 2）有 Y→X?((Y→X)?X)→X，再由性質(zhì) 1 之 1）得到(Y→X)→(((Y→X)?X)→Y)?(((Y→X)?X)→X→(((Y→X)?X)→Y)?X→Y,

又因?yàn)閅?((Y→X)?X)→Y，則由性質(zhì)1之1）有 Y→X?(((Y→X)?X)→Y)→X，從而再根據(jù)性質(zhì)1之1）得

從而

同樣類似的方法可以證得F(((Y?X)→X)?Y)?F(X?Y)。

3 結(jié)語

本文是區(qū)間集思想和濾子理論應(yīng)用于非交換剩余格上，引入了區(qū)間集上非交換剩余格廣義模糊布爾濾子的定義，研究了其等價(jià)性刻畫和基本特征性質(zhì)表示定理。是否可以建立區(qū)間集非交換剩余格的相應(yīng)廣義模糊代數(shù)結(jié)構(gòu)，將成為進(jìn)一步深入探討的問題。

參考文獻(xiàn)：

[1]LOTFLA ZADEH.Fuzzy sets[J].Information and Control,1965，8(3)：338-353.

[2]ROSENFELD A. Fuzzy groups [J]. Journl of Mathematical Analysis and Applications,1971,35：512-517.

[3]PU B M,LIU Y M.Fuzzy topologyⅠ：Neighborhood structure of a fuzzy point and Moore-Smith convergence[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1980,76(2)：571-599.

[4]PU B M,LIU Y M.Fuzzy topologyⅡ：Product and quotient spaces[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,1980,77(2)：20-37.

[5]BHAKAT S K,DAS P.On the defmition of a fuzzy subgroup[J].Fuzzy Sets Systems,1992,51：235-241.

[6]BHAKAT S K,DAS P.fuzzy subgroup[J].Fuzzy Sets Systems,1996,80：359-368.

[7]BHAKAT S K,DAS P.Fuzzy subrings and ideals redefined[J].Fuzzy Sets Systems,1996,81：383-393.

[8]ZHANG C．(∈',∈'∨q')-fuzzy subgroups[J].Fuzzy Sets Systems,1990,35(1)：121-124.

[10]YUAN X H.Generalized fuzzy Subgroups and many-Valued Implications [J].Fuzzy Sets and Systems,2003,138：205-211.

[11]LIAO Z H. (?,?q(λ,μ))-fuzzy normal subgroup[J].Fuzzy Systems and Mathematics,2006,20(5)：47-53.

[12]YAO Y Y.Interval sets and Interval-set Algebras[C].The 8th IEEE International Conference on Cognitive informatics.Hong Kong：IEEE Computer Society,2009：307-314.

[13]姚一豫.區(qū)間集[M]//王國胤,李德毅,姚一豫,等.云模型與粒計(jì)算.北京：科學(xué)出版社,2012：74-93.

[14]YAO Y Y.Two views of theory of rough sets in finite universes [J].International Journal of Approximation Rersoning,1996,15(4)：291-317.

[15]WANG Z D,FANG J X.On ν-filters and normal ν-filters of a residuated lattice with a weak νt-operator[J].Information Sciences,2008,178：3465-3473.

[16]王國俊.非經(jīng)典數(shù)理邏輯與近似推理(第二版)[M].北京：科學(xué)出版社,2008：155-206.

[17]裴道武.基于三角模的模糊邏輯理論及其應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2013：42-47.

[18]佩捷.從布爾到豪斯道夫：布爾方程與格論漫談[M].哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社,2014：282-292.

[21]羅俊麗，喬希民，吳洪博.區(qū)間集上非交換剩余格fuzzy濾子的特征性質(zhì)[J].西南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版),2016,41(4)：20-24.