江蘇省張家港高級(jí)中學(xué) 張新秀

淺談求函數(shù)最值的方法

江蘇省張家港高級(jí)中學(xué) 張新秀

最值問題是歷年高考重點(diǎn)考查的常見題型。由于其綜合性強(qiáng)，能力要求高，解決這類問題要靈活選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法。求最值的方法有很多種，教學(xué)中我感受到不必追求新穎別致、靈活奇巧，應(yīng)該集中精力練好幾種常用方法，努力打好基本功，自然能夠得心應(yīng)手。

一、反解法

當(dāng)已知自變量或者某個(gè)因式整體的范圍時(shí)，反解法能夠快速準(zhǔn)確地求出函數(shù)值域。

二、換元法

把某一部分看作一個(gè)整體或用一個(gè)新元來代替,能夠達(dá)到“看起來熟悉、用起來順手、寫起來簡(jiǎn)潔”的目的。

運(yùn)用換元法時(shí)應(yīng)特別注意引進(jìn)的新元的取值范圍，這是一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)。

三、函數(shù)單調(diào)性法

求函數(shù)值域，應(yīng)該讓學(xué)生養(yǎng)成先觀察函數(shù)在定義域上的單調(diào)性的習(xí)慣，這往往能夠快速找到解決問題的切入口。

若函數(shù)在整個(gè)區(qū)間上不是單調(diào)的，則先研究函數(shù)單調(diào)性，把該區(qū)間分成各個(gè)小區(qū)間，使得函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的。

四、基本不等式法

基本不等式在求范圍或值域問題中往往顯得非?；钴S，當(dāng)其形狀結(jié)構(gòu)不太明顯時(shí)，常常借用換元法、配湊法等手段以達(dá)到湊形的目的。

解：本題看似無法運(yùn)用均值不等式，但經(jīng)過配湊之后便可呈現(xiàn)出基本不等式的形態(tài)。g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用均值不等式來求最值。運(yùn)用基本不等式求最值,應(yīng)注意“一正二定三相等”三個(gè)條件缺一不可。當(dāng)不能確定主變量為正數(shù)時(shí)應(yīng)該分情況討論。

五、判別式法

對(duì)于二次分式函數(shù)的值域問題，可以用方程的思想先將函數(shù)化為方程的形式, 再利用一元二次方程有根的條件求解。

判別式法求值域往往局限于二次函數(shù)，而且一定要關(guān)注二次項(xiàng)系數(shù)為0的情形。

求函數(shù)最值的方法還有很多，比如導(dǎo)數(shù)法在求最值方面比其他方法的適用范圍都要廣泛，尤其是超越函數(shù)或者混合函數(shù)中導(dǎo)數(shù)的優(yōu)越性無可替代。這里不再贅述。

數(shù)學(xué)（包括幾何）有分量的問題最后往往都和函數(shù)的最值有關(guān)，教學(xué)中我們要重視求最值的方法的訓(xùn)練和提煉，但無須刻意追求靈巧新奇，以常見的基本方法為主，相信熟能生巧，基本功扎實(shí)了，自然能夠得心應(yīng)手。