孫文軍，芮國(guó)勝，張 馳，王 瑞

(海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系 山東 煙臺(tái) 264001)

混沌檢測(cè)系統(tǒng)對(duì)噪聲的免疫性分析及穩(wěn)健建模

孫文軍，芮國(guó)勝，張 馳，王 瑞

(海軍航空工程學(xué)院電子信息工程系 山東 煙臺(tái) 264001)

噪聲是影響Duffing振子相態(tài)躍遷的重要因素，其結(jié)果導(dǎo)致Duffing檢測(cè)可靠性降低，從而影響其在實(shí)際工程中的應(yīng)用。為此，提出了一種含強(qiáng)非線性阻尼項(xiàng)的廣義Van der Pol振子相態(tài)躍遷模型，從理論上證明了其用于弱信號(hào)檢測(cè)的可行性。與經(jīng)典Duffing振子相比，新模型具有更強(qiáng)的狀態(tài)穩(wěn)定性和噪聲免疫性。仿真實(shí)驗(yàn)表明，基于新模型的檢測(cè)方法可以有效降低噪聲對(duì)相態(tài)躍遷的影響，改善弱信號(hào)檢測(cè)的可靠性。

廣義Van der Pol振子; 非線性阻尼項(xiàng); 相態(tài)躍遷; 弱信號(hào)檢測(cè)

混沌理論是非線性科學(xué)中最重要的研究方向之一，作為其中的經(jīng)典模型，Duffing振子被廣泛應(yīng)用于信號(hào)檢測(cè)、盲源分離、流體結(jié)構(gòu)分析和非線性控制等領(lǐng)域[1-3]。Duffing振子弱信號(hào)檢測(cè)的機(jī)理來(lái)源于混沌控制，將待測(cè)信號(hào)作為系統(tǒng)的周期擾動(dòng)，即使信號(hào)幅值很小，系統(tǒng)也會(huì)發(fā)生本質(zhì)的相態(tài)躍遷。但是，系統(tǒng)并不是對(duì)周期信號(hào)唯一敏感的，一定強(qiáng)度的噪聲驅(qū)動(dòng)也會(huì)導(dǎo)致Duffing振子發(fā)生相態(tài)躍遷，進(jìn)而降低檢測(cè)系統(tǒng)的可靠性，這也是多年來(lái)制約混沌檢測(cè)方法在實(shí)際工程應(yīng)用中的重要原因之一[4-5]。

對(duì)于這種問(wèn)題，國(guó)內(nèi)外學(xué)者進(jìn)行了大量研究，文獻(xiàn)[6]明確指出，Duffing振子的臨界態(tài)和大尺度周期態(tài)都具有一定的敏感性，輸入端驅(qū)動(dòng)白噪聲的強(qiáng)度對(duì)系統(tǒng)相態(tài)的躍遷行為具有重要影響。為了更好地量化分析這種影響，諸多學(xué)者給出了自己的研究思路和改進(jìn)方法：文獻(xiàn)[7]結(jié)合人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法分析了強(qiáng)噪聲背景下目標(biāo)小信號(hào)的提取，但其噪聲背景嚴(yán)格限定于混沌干擾范疇；隨后，文獻(xiàn)[8]采用混沌狀態(tài)的主動(dòng)控制實(shí)現(xiàn)了微波信號(hào)測(cè)量，但比例微分控制方式需要持續(xù)不間斷的參數(shù)反饋，實(shí)現(xiàn)難度較高；文獻(xiàn)[9]結(jié)合系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)置提出了一種可檢測(cè)斷續(xù)諧波信號(hào)頻率的變阻尼混沌系統(tǒng)；文獻(xiàn)[10]分析了檢測(cè)系統(tǒng)靈敏度，噪聲免疫性與振子參數(shù)選取之間的關(guān)系，提出了一種含五階非線性恢復(fù)力項(xiàng)的L-Y改進(jìn)模型；文獻(xiàn)[11]對(duì)系統(tǒng)模型的狀態(tài)差異及能量分布特性進(jìn)行研究，提出了基于哈密頓量的弱信號(hào)參數(shù)辨識(shí)方法；文獻(xiàn)[12]對(duì)混沌振子臨界態(tài)的突變性、保持性和容噪性進(jìn)行研究，提出了調(diào)整參數(shù)的隨機(jī)共振檢測(cè)方法；文獻(xiàn)[13]結(jié)合通信、雷達(dá)等領(lǐng)域復(fù)信號(hào)的接收需求，建立了復(fù)數(shù)域的新型混沌振子。這些研究成果仍然基于經(jīng)典Duffing振子，著眼于系統(tǒng)參數(shù)的修正優(yōu)化，對(duì)檢測(cè)性能的改進(jìn)有限，并未從根本上解決噪聲的影響問(wèn)題。因此，本文將尋求建立一種新的混沌模型以替代現(xiàn)有的Duffing系統(tǒng)，從而降低噪聲對(duì)相態(tài)躍遷的影響，提高弱信號(hào)檢測(cè)算法的可靠性。

本文對(duì)一種包含強(qiáng)非線性阻尼項(xiàng)的廣義Van der Pol振子進(jìn)行研究，在非線性動(dòng)力學(xué)范疇內(nèi)證明了系統(tǒng)極限環(huán)的有界穩(wěn)定存在，可滿足弱信號(hào)檢測(cè)的建模要求。在此基礎(chǔ)上對(duì)新系統(tǒng)的可檢測(cè)性進(jìn)行驗(yàn)證，并從相態(tài)穩(wěn)定性、算法復(fù)雜度、檢測(cè)性能3個(gè)方面與經(jīng)典Duffing振子進(jìn)行對(duì)比分析。經(jīng)過(guò)仿真驗(yàn)證，新模型的應(yīng)用可以有效降低噪聲對(duì)相態(tài)躍遷造成的影響，為混沌檢測(cè)算法在實(shí)際工程中的應(yīng)用提供理論依據(jù)。

1 問(wèn)題的提出

傳統(tǒng)混沌檢測(cè)方法來(lái)源于系統(tǒng)策動(dòng)力強(qiáng)度的變化。首先設(shè)置系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)，如圖1a所示，此時(shí)外加周期激勵(lì)的輸入將會(huì)使系統(tǒng)發(fā)生本質(zhì)性的相態(tài)躍遷，如圖1b所示。但是，大量研究結(jié)果已經(jīng)表明[7-13]，一定強(qiáng)度的噪聲也會(huì)使系統(tǒng)發(fā)生這種變化。噪聲對(duì)相態(tài)躍遷的重要影響，在一定程度上導(dǎo)致了系統(tǒng)無(wú)法準(zhǔn)確實(shí)現(xiàn)信號(hào)的可靠檢測(cè)。

為了提高混沌檢測(cè)模型的穩(wěn)健性，可從以下3個(gè)方面進(jìn)行分析并改進(jìn)：1) 系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定性，尤其是剛剛渡過(guò)臨界狀態(tài)的周期態(tài)，其穩(wěn)定程度直接決定了已有方法能否準(zhǔn)確判斷相態(tài)躍遷現(xiàn)象的發(fā)生；2) 對(duì)噪聲的免疫性，即系統(tǒng)可以從更強(qiáng)的噪聲背景中有效提取出弱信號(hào)及其特征參量；3) 系統(tǒng)復(fù)雜度，混沌檢測(cè)的實(shí)現(xiàn)本質(zhì)上是一個(gè)高數(shù)據(jù)量的參數(shù)迭代過(guò)程，單次系統(tǒng)相變所需的激勵(lì)量可達(dá)104量級(jí)甚至更高，數(shù)據(jù)利用率很低。

根據(jù)以上分析，本文引入一種包含三階非線性阻尼項(xiàng)的自激振蕩系統(tǒng)代替現(xiàn)有的Holmes-Duffing模型。新模型的引入在保證算法復(fù)雜度無(wú)明顯增加的前提下，有效提升系統(tǒng)相態(tài)的穩(wěn)定性和噪聲免疫性。下面，首先對(duì)新模型用于信號(hào)檢測(cè)的可行性及約束條件進(jìn)行分析。

2 廣義Van der Pol系統(tǒng)模型

廣義Van der Pol振子是一個(gè)具有強(qiáng)非線性阻尼項(xiàng)的微分方程，在振動(dòng)分析等領(lǐng)域中占據(jù)著重要位置，代表了一類典型的數(shù)學(xué)問(wèn)題。其與經(jīng)典Duffing系統(tǒng)的區(qū)別主要在于系統(tǒng)自激振蕩力的引入，方程的一般形式為：

引入變量y(t)，并令：

則由式(1)可得：

綜合式(2)和式(3)，可得系統(tǒng)積分曲線方程為：

連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)中，有x=x(t)，y=y(t)。并且在區(qū)域上，f(x, y)連續(xù)且滿足局部Lipschitz條件[14]。

令f(x, y)=0，得到其水平等傾線：

其解曲線方程為：

分別記作Li(i=1,2,3)，如圖2所示。

圖2 廣義Van der Pol振子的解曲線

由增量法可知，在L1與L2之間，Q(x, y)＜0；在L1與L3之間，Q(x, y)＞0，下面開始構(gòu)造適合系統(tǒng)(3)的覆蓋環(huán)域W。

首先，系統(tǒng)(3)存在唯一的奇點(diǎn)O(0,0)，當(dāng)δ＞0時(shí)，O為不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)，將其鄰域[(O, r), r→0]作為環(huán)域W的內(nèi)邊沿線Lin。然后，以第三象限為例構(gòu)造環(huán)域W的外邊沿線Lex。任取點(diǎn)A(0,yo)，y0＜0作為初值點(diǎn)，分兩個(gè)區(qū)域?qū)ν膺呇鼐€的存在進(jìn)行證明。

1) 變量x的存在區(qū)域G1：x∈[?1,0]。此時(shí)解曲線的表達(dá)式為：

獨(dú)立分析 f(x, y)的構(gòu)成，可得恢復(fù)力項(xiàng)部分為：

阻尼項(xiàng)部分為：

此時(shí)，建立類比方程：

根據(jù)Cauchy比較定理[15]得知，

進(jìn)一步，對(duì)式(11)求解，得：

至此，解曲線的存在兩種可能：P1:解曲線y(x)與{y=0,x＜0}相交于點(diǎn)E；P2:解曲線 y(x)與 {y, x=?1}交于點(diǎn)B(?1,y2)，且?。

如果假設(shè)1P成立，則可得環(huán)域W在第三象限的外邊沿線為，否則，假設(shè)2P成立，外邊沿線為。至此可以證明，系統(tǒng)(3)的解曲線在實(shí)數(shù)域內(nèi)存在唯一的穩(wěn)定極限環(huán)。

根據(jù)分析可以得出，廣義Van der Pol振子可用作弱信號(hào)混沌檢測(cè)模型。與經(jīng)典混沌檢測(cè)系統(tǒng)相同，在式(3)中引入代換變量y(t)=ω(t)，即可實(shí)現(xiàn)任意頻率弱信號(hào)的檢測(cè)[16]。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

當(dāng)前深空遙測(cè)、精密儀器制造、故障檢修等高技術(shù)領(lǐng)域[17]，對(duì)于低信噪比信號(hào)的檢測(cè)需求非常突出，準(zhǔn)確提取出弱信號(hào)及其參數(shù)具有重要意義。

3.1 實(shí)驗(yàn)環(huán)境

實(shí)驗(yàn)硬件環(huán)境為：計(jì)算機(jī)處理器Intel(R) Core (Pentium)；軟件環(huán)境為：Windows7 操作系統(tǒng)，Matlab仿真軟件。

系統(tǒng)模型設(shè)定為廣義Van der Pol振子，內(nèi)置周期策動(dòng)力為角頻率為ω的諧波信號(hào)。實(shí)驗(yàn)中所添加的噪聲均為零均值高斯白噪聲，系統(tǒng)初始位置設(shè)定為[X0, Y0]=[0,0]。為計(jì)算簡(jiǎn)便，剛性阻尼系數(shù)取δ=1，系統(tǒng)恢復(fù)力項(xiàng)系數(shù)α1=0.1，α2=1?？紤]到實(shí)驗(yàn)分析中數(shù)值精度和仿真時(shí)長(zhǎng)的影響，采用二階EM (Euler-Maruyama)算法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行建模解算。

3.2 系統(tǒng)性能分析

1) 穩(wěn)定性。系統(tǒng)相態(tài)的穩(wěn)定性對(duì)于實(shí)現(xiàn)相態(tài)躍遷的有效判別，提高混沌檢測(cè)算法的準(zhǔn)確性非常重要[12,14]。首先對(duì)本文模型與Duffing振子的相態(tài)穩(wěn)定性進(jìn)行比較，調(diào)整系統(tǒng)策動(dòng)力，使兩種系統(tǒng)均剛剛越過(guò)臨界態(tài)進(jìn)入穩(wěn)定周期相態(tài)，利用噪聲發(fā)生器輸入驅(qū)動(dòng)高斯白噪聲，此時(shí)，系統(tǒng)輸出序列x的幅值也將會(huì)發(fā)生微妙的變化，本文對(duì)這種變化進(jìn)行量化分析，進(jìn)而判定系統(tǒng)相態(tài)的穩(wěn)定性。假設(shè)系統(tǒng)周期狀態(tài)下的輸出為xp(t)，加入噪聲后的系統(tǒng)輸出變化為x′p(t)，定義兩者的二階均方差期望[10]作為系統(tǒng)狀態(tài)穩(wěn)定性的衡量標(biāo)準(zhǔn)：

圖3 兩種振子隨噪聲功率變化的幅值變化

圖3給出了兩種模型的波動(dòng)方差隨噪聲功率增加的變化曲線。由仿真結(jié)果可以看出，兩種模型的周期相態(tài)都具有一定的穩(wěn)定性，但也存在明顯差異。有：1) 噪聲功率位于10?6～10?5W時(shí)，除個(gè)別噪聲功率值外，兩種模型的波動(dòng)方差相差不大，二者的相態(tài)穩(wěn)定性相當(dāng)，如圖3a；2) 進(jìn)一步增加噪聲功率，Duffing振子的波動(dòng)方差也隨之增加，二者的相態(tài)穩(wěn)定性開始出現(xiàn)較大差距，如圖3b；3) 繼續(xù)增加噪聲功率，Duffing振子的波動(dòng)方差急劇變化，而本文模型仍舊保持了很強(qiáng)的穩(wěn)定性，其中，噪聲功率為4.0×10?4W時(shí)，Duffing振子輸出x幅值的波動(dòng)方差為0.54，而本文模型的波動(dòng)方差值為0.01，僅是前者的1 54。

經(jīng)過(guò)以上實(shí)驗(yàn)分析，得出：在不同強(qiáng)度噪聲下，本文模型的相態(tài)穩(wěn)定性均強(qiáng)于經(jīng)典Duffing振子，尤其是強(qiáng)噪聲條件下，該模型相態(tài)穩(wěn)定性和噪聲免疫性的優(yōu)勢(shì)更加明顯，也更加適合弱信號(hào)檢測(cè)的需求。

2) 復(fù)雜度。廣義Van der Pol振子是一個(gè)非線性微分方程，無(wú)法得到其精確解析解，只能采用EM等數(shù)值分析方法對(duì)其進(jìn)行求解。因此，本節(jié)對(duì)兩種模型的復(fù)雜度進(jìn)行比較時(shí)，以數(shù)值分析方法中實(shí)數(shù)加法和乘法次數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)。

對(duì)于式(3)所示的本文模型，其單次迭代運(yùn)算過(guò)程中乘法次數(shù)為：C1,mul=5+i(i+1)，加法次數(shù)為：C1,add=4+i，總的運(yùn)算復(fù)雜度可表示為：CVan={[5+ i(i+1)]M+(4+i) L} N ，其中M代表乘法，L代表加法，N代表迭代次數(shù)。

此時(shí)，Duffing振子的運(yùn)算復(fù)雜度為CDuf=(5M+ 4L) N，可得運(yùn)算復(fù)雜度的增加量為：

因而當(dāng)i=1時(shí)，本文模型即為三階廣義Van der Pol振子，其運(yùn)算復(fù)雜度增加為(2M+L N)，主要體現(xiàn)在非線性阻尼項(xiàng)上。其中，乘法和加法運(yùn)算次數(shù)的增加量分別為：Bmul=0.6，Badd=0.25，即本文模型與Duffing振子的運(yùn)算復(fù)雜度為同一量級(jí)。

圖4給出了本文模型與Holmes-Duffing振子的時(shí)間復(fù)雜度實(shí)驗(yàn)對(duì)比結(jié)果。

圖4 兩種振子的時(shí)間復(fù)雜度對(duì)比圖

由仿真結(jié)果可以看出，混沌模型復(fù)雜度的改變主要體現(xiàn)在高數(shù)據(jù)量的迭代次數(shù)N上，其迭代次數(shù)的絕對(duì)值一般達(dá)到104量級(jí)甚至更高。當(dāng)?shù)螖?shù)N=4×104時(shí)，步長(zhǎng)h=10?2s時(shí)，經(jīng)典模型的運(yùn)算時(shí)間為1.4×10?1s，本文模型的運(yùn)算時(shí)間為1.6×10?1s，其運(yùn)算復(fù)雜度約為Duffing振子的1.16倍；迭代次數(shù)增加到N=4×105時(shí)，步長(zhǎng)h=10?1s時(shí)，經(jīng)典模型的運(yùn)算時(shí)間為1.5 s，本文模型的運(yùn)算時(shí)間為1.7 s，其運(yùn)算復(fù)雜度約為Duffing振子的1.13倍。因此，實(shí)驗(yàn)結(jié)果與理論分析均可以證實(shí)，與經(jīng)典Duffing振子模型相比，本文模型的運(yùn)算復(fù)雜度雖有一定增加，但并沒(méi)有數(shù)量級(jí)的提高。

3) 檢測(cè)性能。采用新模型對(duì)弱信號(hào)檢測(cè)的可靠性進(jìn)行檢驗(yàn)，調(diào)整周期策動(dòng)力強(qiáng)度使系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)。待測(cè)信號(hào)為諧波信號(hào)，表示式為Acos(ωt )+ η(t)，其中η(t)為高斯白噪聲，A為待測(cè)信號(hào)的幅值，實(shí)驗(yàn)中信號(hào)幅值為服從[0.001,0.01]之間均勻分布的105個(gè)隨機(jī)數(shù)，信號(hào)頻率ω=10 rad/s 。待測(cè)信號(hào)的信噪比定義為：

式中，j=1,2,…,105，代表全部待測(cè)信號(hào)。另外，對(duì)應(yīng)于SNR范圍?35～0 dB，可設(shè)定i=0,1,…,35。

在每個(gè)信噪比點(diǎn)上進(jìn)行100次蒙特卡洛實(shí)驗(yàn)，并計(jì)算系統(tǒng)的平均差錯(cuò)概率為：

式中，M=100。圖5給出了兩種模型的檢測(cè)結(jié)果對(duì)比。

圖5 廣義Van der Pol模型的檢測(cè)差錯(cuò)概率

對(duì)比相同差錯(cuò)概率條件下兩者的性能差異，定義其信噪比增益如下：

式中，SNRD為某一固定差錯(cuò)概率值下，Duffing振子對(duì)應(yīng)的信噪比；SNRV為本文模型對(duì)應(yīng)的信噪比。分析圖5中的仿真結(jié)果，當(dāng)輸入信噪比為?35～?26 dB時(shí)，兩種模型的檢測(cè)差錯(cuò)概率波動(dòng)范圍集中于10?4～10?2之間的量級(jí)。其參考線為Holmes-Duffing振子取得3 dB信噪比增益的假設(shè)曲線。

根據(jù)圖5的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)本文模型的檢測(cè)差錯(cuò)概率始終在3 dB參考線的下方。其中，當(dāng)信號(hào)檢測(cè)平均差錯(cuò)概率為5.0× 10?3時(shí)，Duffing振子對(duì)應(yīng)的信噪比約為?28 dB，而文中模型為?33 dB，其信噪比增益為5 dB；當(dāng)檢測(cè)差錯(cuò)概率為5.0×10?4時(shí)，Duffing振子對(duì)應(yīng)的信噪比為?24 dB，而文中模型約為?27 dB，其信噪比增益為3 dB。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，當(dāng)兩者的檢測(cè)差錯(cuò)概率均位于10?4～10?2之間時(shí)，本文模型可獲得至少約3 dB的信噪比增益。

隨著輸入信噪比的增加，新模型的可靠性提升程度相比傳統(tǒng)Duffing模型更加顯著，當(dāng)輸入信噪比為?15 dB時(shí)，Duffing模型的檢測(cè)差錯(cuò)概率為2.3×10?4，而新模型的檢測(cè)差錯(cuò)概率為2.1× 10?5，新模型的應(yīng)用使混沌檢測(cè)算法的檢測(cè)差錯(cuò)概率降低了一個(gè)數(shù)量級(jí)。

綜合上述分析可知，新模型的應(yīng)用可以有效降低噪聲對(duì)系統(tǒng)相態(tài)躍遷的影響，在算法復(fù)雜度并未明顯增加的前提下，提高了混沌檢測(cè)算法的可靠性，對(duì)混沌理論的實(shí)際工程應(yīng)用具有較好的實(shí)用價(jià)值。

4 結(jié) 束 語(yǔ)

本文提出了一種基于廣義Van der Pol振子的混沌檢測(cè)模型，并從理論上證明了新模型存在一個(gè)穩(wěn)定的極限環(huán)，可用于弱信號(hào)檢測(cè)，通過(guò)實(shí)驗(yàn)分析可知新模型可用于深空探測(cè)、遙感控制等領(lǐng)域的微弱信號(hào)檢測(cè)。實(shí)驗(yàn)表明，該模型可實(shí)現(xiàn)隨機(jī)幅值的諧波信號(hào)檢測(cè)，相對(duì)于傳統(tǒng)Duffing檢測(cè)模型，可以有效降低噪聲對(duì)相態(tài)躍遷的影響，提高信號(hào)檢測(cè)的可靠性。

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編 輯 稅 紅

Analysis on Noise Immunity of Chaotic Detection System and Robustness Modeling Approach

SUN Wen-jun, RUI Guo-sheng, ZHANG Chi, and WANG Rui

(Department of Electronic Information Engineering, Naval Aeronautical and Astronautical University Yantai Shandong 264001)

Recent studies suggest that noise could cause the occurrence of Duffing oscillator’s phase-state transition, which is one of the most important reasons for the low system detection reliability and has been restricting the application of chaos theory in practical engineering. And hence one novel detection model containing nonlinear damping term is proposed in the paper based on generalized Van der Pol oscillator. And then it is proved feasible for weak signal detection by theoretical analyses. Compared to classical chaotic oscillators, the new model has stronger state robustness and noise immunity with equal complexity. Finally, Simulation results show that the application of the new model can reduce the impacts of noise on the phase-state transition and improve the detection reliability of weak signals.

generalized Van der Pol oscillator; nonlinear damping term; phase-state transition; weak signal detection

TP302.7

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2017.03.003

2015 ? 10 ? 09；

2015 ? 12 ? 16

國(guó)家自然科學(xué)基金(41476089, 61372027)

孫文軍(1987 ? )，男，博士生，主要從事非線性動(dòng)力學(xué)及弱信號(hào)檢測(cè)方面的研究.