趙珊

摘 要：石墨烯作為目前發(fā)現(xiàn)的最薄、導(dǎo)電導(dǎo)熱性能最強(qiáng)、結(jié)構(gòu)強(qiáng)度最大的新型納米材料已經(jīng)廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域，其中，最有潛力的應(yīng)用則是成為硅的替代品。所以，對石墨烯中量子輸運(yùn)性能分析與建模已經(jīng)成為當(dāng)今的研究熱點。文章采用從相對論流體磁動流體力學(xué)出發(fā)，結(jié)合Boltzmann方程（BTE）推出石墨烯的流體力學(xué)方程，引入剪切粘度與雷諾數(shù)（Reynolds number）作為石墨烯輸運(yùn)性能分析指標(biāo)，表明了石墨烯作為納米材料的優(yōu)異性能。

關(guān)鍵詞：石墨烯；量子輸運(yùn)；流體力學(xué)方程；剪切粘

石墨烯由于其準(zhǔn)粒子的無質(zhì)量相對分散特性和高遷移率吸引了各界關(guān)注，并且它還顯示出了一系列優(yōu)異的性質(zhì)，如：超高的導(dǎo)電率[1]；剪切粘度與熵之比超低[2]；不僅有特殊的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，而且結(jié)合了力學(xué)靈活性[3]和光透明度[4]。最近的研究顯示石墨烯提供了一種特有方式，去觀察在適度的高溫下，極端相對論粒子的等離子體輸運(yùn)特性[5]。如將純石墨烯設(shè)在一個特定的參數(shù)空間，則其費米表面收縮至兩點，且在許多其他方面的表現(xiàn)，也與接近更復(fù)雜量子臨界點的系統(tǒng)非常相似[6]。由于石墨烯的無質(zhì)量狄拉克（Dirac）粒子，其相對極端夸克-膠子等離子體性質(zhì)也很特別。通過對這些性質(zhì)的分析和計算可以推導(dǎo)出其流體力學(xué)方程。

1 性能介紹

剪切粘度η用來測量流體阻值，從而建立橫向速度梯度，見圖1，粘度越小則其流體力學(xué)越趨于復(fù)雜。類似于導(dǎo)體的電阻率，粘度通過降低速度場中的多相性而引出熵增率。雖然η=0的理想流體不存在，但能找到非常接近于理想流體的完美的流體。

（b）在一個分源點和漏極點保持在±V/2的四點幾何形中，不均勻電流的預(yù)期分布。當(dāng)沒有粘性和其他非局域效應(yīng)時，電流將與外加電壓V成比例，與兩點之間的距離L無關(guān)，而粘性效應(yīng)隨著L減小而減小。

粘度的單位為？捩n，其中，n表示密度。為了量化剪切密度的大小，通常將η/？捩與熱激勵nth比較，nth可以通過熵密度計算，s～kBnth。受石墨烯在RHIC實驗[7]中優(yōu)異性能的啟發(fā)，Kovtun等人提出廣泛系統(tǒng)中η與s之比的下限[8]：

由于在無碰撞的光學(xué)區(qū)間？捩ω>>kBT[12]內(nèi)，電子間相互作用對導(dǎo)電性σ（ω，Τ）的影響非常小，而在相反區(qū)間？捩ω<

石墨烯中，當(dāng)能量低于幾個電子伏，其電子特性則如Hamiltonian所示：

其中，費米速度υF≈108cm/s， 為動量算子，l=1，…，N為N=4自旋和谷自由度的下標(biāo)，σ（σx，σy）為Pauli矩陣在蜂巢晶格結(jié)構(gòu)兩個底晶格空間的表示。如果沒有庫倫相互作用，公式（2）則變成自由無質(zhì)量狄拉克粒子的N類Hamiltonian[14]。

2 流體力學(xué)方程推導(dǎo)

接下來討論在存在庫倫相互作用的相對論流體磁動流體力學(xué)，在流體力學(xué)模型中的響應(yīng)函數(shù)適用于在狄拉克點附近的石墨烯[17]。特征速度υF≠c決定了相對分散，在流體中的（反）粒子的電荷為±e。下面采用υF=e=？捩=1為單位。

由于庫倫作用傳播速度約為光速c>>υF，所以可認(rèn)為它是瞬時的，則很顯然通過將實驗框架設(shè)為一個特定的參照系，打破了流體的相對不變性。

上述表達(dá)式包含了耗散項νμ，？子μν用來計算熱電流和粘性力，P代表壓強(qiáng)，ρ代表電荷密度。若無粘性項，則在流體元在類空間入口的壓力以及在類時間入口的能量密度這樣的靜止參考系中，應(yīng)力能量張量為一個對角矩陣。坐標(biāo)系中各分量為：

T00=ε，（5）

其中，ε，P，ρ為局域化學(xué)勢μ（r）的函數(shù)，ε表示能量密度，局域溫度T（r），磁場為B，μ（r）包含了由不均勻的電荷分布而引起的庫倫勢。

電荷、能量及動量守恒如下：

其中，電磁場張量，

包含一個由于系統(tǒng)本身的不均衡電荷密度而自發(fā)產(chǎn)生的空間變化場：

其中，式（14）中已將統(tǒng)一的本底電荷密度減去。

在坐標(biāo)系中線性守恒定律則明確表示為：

此外，包含了一個由于微弱雜質(zhì)散射而產(chǎn)生的弛豫時間τ。電流的本構(gòu)方程如下：

基于上述推導(dǎo)出的流體力學(xué)方程以及石墨烯中電子的量子BTE，分析出了傳輸系數(shù)——流體剪切粘度[18]，也即下述模型中的輸入?yún)?shù)。當(dāng)電子-電子間相互作用主導(dǎo)無彈性散射率時，即低雜質(zhì)、高溫且穩(wěn)定場情況下，流體力學(xué)方法就能有效應(yīng)用于石墨烯[19]。為了忽略電子-聲子間作用，選擇在100K左右的合適高溫區(qū)間[20]。無磁場時，即B=0，準(zhǔn)粒子分布函數(shù)為f，由BTE，則：

其中，-Ω[f]表示考慮電子-電子間相互作用的碰撞項，

則式（17）、（18）、（19）、（20）可推導(dǎo)為：

其中，式（23）為電荷守恒，式（24）為能量密度守恒，式（25）為動量守恒，ρr≡（ε+P）/υF2。

3 性能分析

對于純石墨烯（μ=0），電荷密度由于熱能而存在，則可寫成，

然而，當(dāng)石墨烯摻雜時，雜質(zhì)會使石墨烯樣品產(chǎn)生電位，此時，則必須要考慮由于化學(xué)勢產(chǎn)生的修正，

其中，Φρ為無量綱遞增函數(shù)。

式（25）中的剪切密度η可由下述方程計算：

其中，Cη～Ο（1）為一個數(shù)值系數(shù)。熵密度可由Gibbs-Duhem關(guān)系ε+P=Ts計算，此等式是在|■|<υF的假設(shè)下推導(dǎo)出來的，因此相對修正項∝？墜P/？墜t可忽略，而恢復(fù)為經(jīng)典的Navier-Stokes方程。所以，盡管電子速度很快，|■|～0.1υF，但由于樣品的納米級尺寸和石墨烯中電子流的高剪切密度，雷諾數(shù)依然穩(wěn)定。

基于式（25），線性尺寸為L0的石墨烯樣品其動態(tài)粘度由式（28）給出，此等式可寫成以下形式：

其中，引入特征頻率ωf=υF/L0，通過解合適的量子BTE，得Cη？勰0.45[21]。式（29）也可以寫成η=Cηqf-2 ？捩/L02，qf≡？捩ωf/（kBT）。由此，為了應(yīng)用經(jīng)典電子流體力學(xué)描述，激勵能量必須遠(yuǎn)低于熱能，即qf<<1，也是所謂的碰撞主導(dǎo)模式。拿一組特定參數(shù)，υF=106，L0=10-6，T=100K，η/s～0.2？捩/kB，則得到η～10-20。因雷諾數(shù)由流體的動力粘度，而非動態(tài)粘度所決定，則就不涉及質(zhì)量密度，這有利于估算石墨烯中電子流體的動力粘度。

為了達(dá)到這個目的，鑒于式（25），定義雷諾數(shù)為：

其中，ν0=υFL0。通過將雷諾數(shù)寫成Re=υ0L0/ν，與上述方法類似，可得到：

利用η/s=0.2？捩/kB3，qf？勰0.07，則得到ν？勰10-2。盡管石墨烯動態(tài)粘度極低，但石墨烯的動力粘度依然大約比水的動力粘度大四個數(shù)量級。這四個數(shù)量級的差距是由于電子的高速而產(chǎn)生的，也即電子的高速是雷諾數(shù)產(chǎn)生高值的最終決定因素。

4 結(jié)束語

在本文中，忽略了電子-雜質(zhì)及電子-聲子的相互作用，僅基于對石墨烯中的電子流體力學(xué)方程描述，對其剪切粘度、動力粘度、動態(tài)粘度及雷諾數(shù)進(jìn)行了探討，表明石墨烯具有低剪切粘度與熵密度之比、高動力粘度以及低動態(tài)粘度。而通過對石墨烯動力粘度的分析，可以看出，在微米級的比例下，雷諾數(shù)可以在石墨烯樣品中實現(xiàn)高值。在后續(xù)的研究工作中，還將對電子-聲子、電子-雜質(zhì)和聲子-聲子建模及量子輸運(yùn)性能分析。

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