沈展鵬, 臧朝平, 陳學前, 劉信恩, 郝志明

(1. 南京航空航天大學能源與動力學院, 江蘇 南京 210016; 2. 中國工程物理研究院總體工程研究所, 四川 綿陽 621999)

1 引 言

高聚物粘結炸藥(Polymer Bonder Explosive, PBX)是一類由高能炸藥晶體、高聚物粘接劑和降感劑等多種成分組成的混合炸藥。與 TNT 炸藥相比,PBX 具有能量高、感度低、強度高等優(yōu)點,所以在各相關領域中應用更為廣泛[1]。

由PBX澆注或壓制的炸藥件存在隨機和認知兩類不確定性。一方面,由于制作工藝、加工精度、以及顆粒物實際分布情況的影響,炸藥件客觀地存在不可縮減的不確定性,稱之為隨機(或固有)不確定性。另一方面,在對其進行建模計算時,由于其本身特性和真實工作環(huán)境的復雜性,往往需要引入一定的假設以便于簡化處理,或者由于認識不足、觀測樣本太少等原因造成某些參數(shù)不能夠被準確估計。這些假設簡化或不準確估計造成的不確定性將隨著建模的精細化和有效信息(試驗更新、理論完善等)的補充,而不斷減少,將其稱之為認知不確定性[2]。這兩類不確定性由于其本質的不同,對炸藥件響應量的影響也不同。若對兩者分離地量化、傳播,進而獲得關心響應量的隨機和認知不確定性,則不僅掌握了響應量的不確定性范圍,還可以清晰地看出模型是否具有改進空間以及多大的改進空間,指導模型改進方向。

在對PBX構件進行強度可靠度分析時,傳統(tǒng)的確定性方法將一次確定性的有限元計算結果乘以安全系數(shù),根據(jù)強度理論獲得二元(成敗型)可靠性分析結果[3]。這種方法曾在工程應用中起到至關重要的作用,但隨著技術的進步和工程需求的發(fā)展,已經(jīng)難以滿足工程設計需求。20世紀50年代,基于概率論和數(shù)理統(tǒng)計理論的概率可靠性方法開始發(fā)展并迅速成熟起來,并從最初的軍工、電子產(chǎn)品擴展到許多其他技術領域,得到了越來越廣泛的應用[4]。在結構的概率可靠性方法中,應力和強度被視為隨機變量,并受載荷、環(huán)境溫度、邊界約束、結構尺寸、材料特性等不確定性參數(shù)的影響,最終由應力-強度干涉模型給出結構的可靠度或失效概率。相比于傳統(tǒng)確定性方法,概率可靠性方法考慮了結構的固有不確定性,為工程決策提供了有力支撐。但是當試驗數(shù)據(jù)并不充分,參數(shù)不確定性難以準確表征時,或者模型本身的精確程度不夠時,認知不確定性對結果影響較大,不能輕易忽略,此時概率方法給出的可靠度僅是真實可靠度的一個估計,并不能保證與真實可靠度足夠接近。2001年,美國能源部三大實驗室提出了裕量與不確定性量化(Quantification of Margins and Uncertainties, QMU)方法[5],致力于解決在數(shù)據(jù)不足、知識缺乏情況下的結構可靠性評估問題,其關鍵思想即在于不確定性的嚴格量化。目前,以Helton等為代表的諸多學者[5-8]基于經(jīng)典概率論、證據(jù)理論、貝葉斯估計、凸集模型或概率盒等不確定性表征方式,研究工程結構的可靠性分析方法,豐富了不確定性量化和QMU的理論。國內學者中,姜潮等[9-10]關注了不確定性參數(shù)的相關性對可靠性分析的影響,吳丹青等[11]則重點研究了認知不確定性對可靠性分析的影響,并強調了兩類不確定性的分離。這些學者們采用各種方式對參數(shù)的不確定性進行了量化,但是沒有詳細地量化數(shù)值不確定性和模型形式不確定性并考慮三者疊加,且僅有少數(shù)學者強調并嚴格執(zhí)行了隨機和認知不確定性的分離。

基于此,本研究針對拱形PBX構件,采用經(jīng)典概率或概率盒方式表征材料特性、幾何尺寸、所受載荷等參數(shù)不確定性,由理查森外推法[12-14]量化炸藥件關心響應量數(shù)值不確定性,并由面積度量法[15]獲得模型形式不確定性,并將三者疊加,以分析炸藥件的可靠性。在整個過程中,通過概率盒和嵌套抽樣法嚴格分離量化隨機、認知兩類不確定性,獲得了可靠度區(qū)間,以期給出更多有效的信息,為風險決策者提供依據(jù)和支持。

2 有限元模型建立

2.1 炸藥件結構

拱形的PBX構件模型放置在剛性水平平面上,拱兩側的位移不限制約束,頂部受到豎直向下的集中力作用,如圖1所示,其幾何尺寸、材料屬性以及所受載荷等模型參數(shù)的名義值如表1所示。

PBX炸藥屬于拉壓不對稱材料,其強度準則有很多,本研究為展示兩類不確定性分離的強度分析方法,采用簡單的最大應力強度準則評估炸藥件的靜力可靠性,同時為保證結構件的特殊功能,假設要求炸藥件豎向位移不超過0.0406 mm。因此,研究中炸藥件的關心響應量為最大拉、壓應力和最大豎向位移。

圖1 拱形PBX構件的結構示意圖

Fig.1 Sketch of arched polymer bonder explosive

表1 模型參數(shù)的名義值

Table 1 Nominal values of the model parameters

parameterW/mmD1/mmD2/mmelasticmodulus/GPaPossion'sratiodensity/g·cm-3F/Nnominalvalue12.738.176.270.3651.89700

2.2 有限元模型

在有限元軟件ANSYS中,選取線性各項同性材料,并取20節(jié)點六面體實體單元solid186進行模型離散,如圖2所示。為減少計算量,根據(jù)左右和前后方向的對稱性建立了1/4模型,模型的左端面和后端面均施加對稱約束,底部所有節(jié)點的豎直方向位移約束為零。為近似試驗加載情況,將集中力等效為頂部小部分位置上(圖2中紅色區(qū)域)的均勻壓力載荷。由于需要估計離散數(shù)值誤差,在基準網(wǎng)格(特征尺寸記為h0=3.35 mm,圖2a所示)上進行均勻一致加密,獲得了特征尺寸分別為h0/2,h0/4和h0/8的離散網(wǎng)格。

采用特征尺寸為h0/2的離散網(wǎng)格(圖2b),在各參數(shù)取表1所示的名義值(1/4模型中厚度僅取一半,集中力僅取1/4)下進行有限元計算,獲得炸藥件拉應力(第一主應力)、壓應力(第三主應力)以及豎直方向位移的云圖如圖3所示。從圖3中可看出,炸藥件最大拉應力(9.75 MPa)發(fā)生在圓拱頂部的內環(huán)表面,最大壓應力(8.84 MPa)發(fā)生在圓拱底部的內環(huán)表面,最大豎直位移(0.0382 mm)發(fā)生在圓拱最頂端。

a. max mesh size:h0=3.35 mm b. max mesh size:h0/2 c. max mesh size:h0/8

圖2 炸藥件的1/4有限元離散模型

Fig.2 Quarter finite element model of the explosive

c. tensile stress b. crushing stress c. vertical displacement

圖3 參數(shù)取名義值時炸藥件的響應云圖

Fig.3 Response cloud diagram of explosive with the parameters valued in their nominal values

3 不確定性量化與傳播

3.1 數(shù)值不確定性

采用成熟的商業(yè)有限元軟件計算線性靜力學問題,保證了迭代誤差、舍入誤差、統(tǒng)計誤差等數(shù)值誤差遠遠小于離散誤差,即離散誤差是最主要的數(shù)值誤差。采用理查森外推(Richardson Extrapolation)法[12],可直接估計關心響應量的離散數(shù)值誤差。

假設均勻、系統(tǒng)、一致加密的三重網(wǎng)格(特征尺寸為h1

yRE=y1-εh

(1)

(2)

(3)

表2 安全因子和收斂精度階的確定[14]

Table 2 Determination of the safety factor and the order of accuracy[14]

p^-pf()/pfFsp≤0.11.25pf>0.13.0minmax0.5,p^(),1()

根據(jù)理查森外推的應用要求劃分四重網(wǎng)格,炸藥件的最大拉應力、最大壓應力及最大豎向位移隨網(wǎng)格特征尺寸的變化情況如圖4所示,基于特征尺寸分別為h0/2,h0/4和h0/8的三重網(wǎng)格計算關心響應量的數(shù)值不確定性如表3所示,表3中相對數(shù)值不確定性等于數(shù)值不確定性和精細網(wǎng)格計算解絕對值的比值。另外,由于有限元計算選取20節(jié)點的六面體實體單元,其形函數(shù)為二階多項式,因此位移的理論精度階2,應力的理論精度階為1。

表3 關心響應量在精細網(wǎng)格h0/8下的數(shù)值不確定性估計結果

Table 3 Numerical uncertainty estimation of the response when the mesh size valued inh0/8

responseofinterestformalorderofaccuracyobservedorderofaccuracyrelativenumericaluncertainty/%maximumtensilestress10.046314.1maximumcrushingstress10.519412.5maximumverticaldisplacement21.97110.03

c. maximum tensile stress b. maximum crushing stress c. maximum vertical displacement

圖4 不同網(wǎng)格特征尺寸下的關心響應量數(shù)值解

Fig.4 Numerical solution of responses of interest based on the FE model with different mesh sizes

圖4和表3表明: 最大拉應力在特征尺寸h0網(wǎng)格下的計算解并沒有進入收斂域; 位移的收斂速度比應力響應快得多; 位移的觀測精度階與理論精度階相差很小,安全因子取為1.25,對應力而言兩者差距較大,安全因子取為3; 精細網(wǎng)格h0/8下豎向位移的數(shù)值誤差非常小,可忽略,而最大拉應力和最大壓應力的數(shù)值誤差不可忽略。應力的數(shù)值誤差雖然較大,但是隨網(wǎng)格加密收斂于絕對值較小的方向,即當前計算的應力結果偏保守。后續(xù)分析中,除了靈敏度分析基于尺寸為h0/2的網(wǎng)格模型計算,代理模型建立、參數(shù)不確定性傳播、可靠性分析等過程均基于尺寸h0/8的精細網(wǎng)格模型完成。

3.2 參數(shù)不確定性

在參數(shù)不確定性傳播分析之前,需要進行靈敏度分析以剔除對響應不敏感的參數(shù),減少計算量。初步考慮炸藥件加工尺寸誤差為±0.05 mm,彈性模量E、泊松比ν和密度ρ的變化范圍分別為[6.5, 7.5] GPa、[0.36, 0.37]和[1.78, 2] g·cm-3,集中力F的誤差為名義值的0.5%,采用基于抽樣的秩相關靈敏度分析[16]可獲得如圖5所示的參數(shù)靈敏度餅圖。由圖5可知,彈性模量和密度對最大拉、壓應力影響很小,可以忽略; 但彈性模量對豎向位移影響占絕大部分。值得注意的是,參數(shù)不確定性變化時,最大拉、壓應力,最大豎向位移的變化相對其名義值的百分比分別為2.75%,2.42%和15.9%。

采用概率盒表征具有隨機、認知兩類混合的輸入?yún)?shù)不確定性,并結合嵌套抽樣法進行不確定性傳播,可保證響應不確定性中隨機不確定性和認知不確定性的分離,有利于可靠性評估。概率盒是一種非精確概率方法[2,8,17],可以清晰地表征兩類混合不確定性,且形式上保留兩類不確定性可分離,如圖6所示。當認知不確定性縮減時,概率盒收窄,直至退化為單條概率曲線,即隨機變量服從的真實概率分布。

圖5 關心響應量的靈敏度分析結果

Fig.5 Sensitivity analysis of the response of interest

圖6 概率盒示意

Fig.6 Schematic diagram of probability box

為了細致地考察輸入?yún)?shù)的不確定性并將其傳播到關心響應量,根據(jù)工程經(jīng)驗對各參數(shù)的不確定性做出合理假設如下。集中力服從均值為名義值、標準差1N的正態(tài)分布,三個幾何尺寸(W,D1,D2)服從中值為名義值、半寬度為加工誤差0.05 mm的均勻分布,它們均為隨機變量,由概率分布曲線量化其不確定性。由于PBX的材料屬性復雜,彈性模量和泊松比具有混合不確定性,假設它們分別服從區(qū)間參數(shù)的正態(tài)分布和均勻分布,即彈性模量的均值在區(qū)間[6.9, 7.1] GPa內變化,標準差在區(qū)間[0.09, 0.11] GPa內變化; 泊松比的上界在[0.368, 0.37]內,下界在[0.36, 0.362]內。需要說明,在解決工程實際問題時,輸入?yún)?shù)不確定性的分布形式和分布超參數(shù)(指均值、方差、區(qū)間上界等)往往需要結合工程經(jīng)驗和一定實驗數(shù)據(jù),并根據(jù)核密度估計等方法獲得,而本文研究重點并不在此,因此根據(jù)工程經(jīng)驗直接進行了假設。

基于雙層嵌套抽樣將輸入?yún)?shù)的不確定性傳播至響應,可獲得由概率盒表征的響應量不確定性。外層由拉丁超立方抽樣(Latin Hypercubes Sampling)獲得認知不確定性變量(泊松比的上界和下界、彈性模量的均值及方差)的樣本M組; 在每一組外層樣本下,由蒙特卡洛法抽樣獲得N組隨機變量樣本。將M×N組參數(shù)樣本代入有限元模型中計算,可獲得對應的關心響應量樣本。對于每一組外層樣本,都可由內層樣本繪制響應量的一條經(jīng)驗概率分布曲線; 當繪制出所有外層樣本對應的概率分布曲線后,即獲得了關心響應量的概率盒,如圖7所示。

c. maximum tensile stress b. maximum crushing stress c. maximum vertical displacement

圖7 概率盒表征參數(shù)不確定性引起的響應量不確定性

Fig.7 Response uncertainty caused by model input uncertainty represented with p-box

為保證樣本的收斂性,M和N往往比較大(本研究分別取100和10000),有限元計算耗時太長,工程上不能接受。為減少計算量,本文基于少量有限元計算建立了三個關心響應量的Kriging代理模型。它們在另外10個測試樣本上的相對均方根誤差分別為1.3E-6,1.1E-6以及1.8E-6,證明代理模型精度很高,其誤差可忽略。

3.2 模型形式不確定性

除了計算模型的參數(shù)具有不確定性外,由于假設簡化或樣本不足造成的模型形式不確定性(或稱為模型形式誤差)也應該被量化,它通常需要通過與實驗的比較間接獲得。面積度量(Area metric)方法通過響應量實驗觀測和仿真計算的概率分布曲線之間圍城的面積定量地表征兩者不一致性,其表達式如式(4)所示[17]。當仿真計算結果的不確定性由概率盒表征時,則采用概率盒和實驗觀測分布之間所圍成的最小面積作為度量,如圖8陰影面積所示。

(4)

式中,y為關心的不確定性響應量,函數(shù)F為累積概率分布函數(shù),上標e表示實驗觀測,上標m表示仿真預測,下標xi為由輸入變量表示的位置點,面積度量值d與關心響應量y的單位相同。d越小表示模型越準確,d越大表示模型和實驗之間的差異越大。需要注意的是,面積度量還包含由于實驗樣本不足(概率分布函數(shù)呈階梯狀)而帶來的不確定性,這將會增大模型形式不確定性,使可靠性評估結果趨于保守。

a. simulation uncertainty represented with probability distribution curve

b. simulation uncertainty represented with probability-box

圖8 響應量的面積度量示意

Fig.8 Schematic diagram of the area metric for the response

由于缺乏真實的實驗數(shù)據(jù),以高精度數(shù)值計算結果疊加人工試驗誤差構造虛擬實驗數(shù)據(jù),采用面積度量量化關心響應量的模型形式不確定性。虛擬實驗的樣本量取為10,人工試驗誤差假設為零均值的正態(tài)分布,如式(5)所示,最終面積度量結果如圖9所示。

(5)

式中,下標e表示虛擬實驗觀測,下標m表示仿真預測,虛擬實驗誤差ε、誤差標準差σε與關心響應量y的單位相同,當響應量y為應力和位移時單位分別為MPa和mm。

a. maximum tensile stress b. maximum crushing stress c. maximum vertical displacement

圖9 關心響應量的面積度量

Fig.9 The area metric for the response of interest

4 可靠性評估

為了分離表征響應量的隨機和認知不確定性,前文采用嵌套抽樣法進行參數(shù)不確定性傳播分析,獲得了關心響應量的概率盒,如圖7所示。但這僅為參數(shù)不確定性引起的響應不確定性,還應該疊加數(shù)值不確定性和模型形式不確定性。而由于它們兩者都屬于認知不確定性,因此可對圖7所示的概率盒進行兩側拓寬。當然,如果認知不確定性有明確的方向性,則僅需向一側拓寬即可,例如由圖4中的曲線即表明了數(shù)值解的收斂方向。將三種不確定性通過概率盒疊加后,可獲得炸藥件最大應力和最大豎向位移的總不確定性如圖10所示。從圖10中還可清晰地看出三種不確定性對總不確定性的貢獻。

假設選取的PBX炸藥材料的拉伸強度為9.5 MPa,壓縮強度為25 MPa。根據(jù)最大應力準則,結構內的最大應力超過相應的強度值視為失效,同時為保證結構件的特殊功能,要求豎向位移不超過0.0406 mm。圖10表明最大壓應力遠遠小于壓縮強度,而最大拉應力接近于拉伸強度值,更危險。因此通過概率盒截斷可知,強度可靠度R1在區(qū)間[0.974, 1]內,功能可靠度R2在[0.284, 0.939]內。也就是說,如果僅考慮結構件不破壞,現(xiàn)有設計的可靠度超過97.4%; 但是如果同時考慮結構的功能性要求,可靠度會高于0.284且低于0.939。

c. maximum tensile stress b. maximum crushing stress c. maximum vertical displacement

圖10 炸藥件最大拉、壓應力和最大豎向位移的總不確定性

Fig.10 Total uncertainty of the maximum tensile stress, crushing stress and vertical displacement of the explosive

如果僅在各參數(shù)取名義值時由精細網(wǎng)格進行一次確定性計算,可知最大拉應力為9.3747 MPa(小于拉伸強度),最大豎向位移為0.037277 mm(小于功能性要求閾值),可靠性校核結果為二元邏輯值(是或否)[3]。通常出于保守性需要給出安全因子,但安全因子的取值大小往往依賴于工程經(jīng)驗,且主觀成分極大。因此,這種確定性方法難以成為產(chǎn)品可靠性設計的有力支撐。

如果僅考慮模型參數(shù)的隨機不確定性,根據(jù)經(jīng)典概率方法和蒙特卡洛抽樣,可以獲得概率形式表征的炸藥件可靠性[4],如圖11所示。當計算模型與工程實際足夠接近,實驗數(shù)據(jù)也比較充足時,模型參數(shù)的固有不確定性可以準確地表征,該方法非常有效且實用,是經(jīng)常采用的可靠性設計方法。但是還有很多情況下,數(shù)據(jù)并不充分,參數(shù)不確定性難以準確表征,或者模型本身的精確程度不夠,總之認知不確定性對結果影響較大,難以輕易忽略。此時概率方法給出的可靠度僅是真實可靠度的一個估計,并不能保證與真實可靠度足夠接近。

a. strength requirement

b. performance requirement

圖11 概率方法獲得炸藥的可靠度[4]

Fig.11 Reliability obtained by probabilistic method[4]

本文的概率盒方法分離地表征、量化認知和隨機兩類不確定性,相比于前兩種方法[3-4],至少有三個優(yōu)點。

(1)當認知不確定性影響嚴重時,經(jīng)典概率方法給出的可靠度可能誤差較大,本方法給出了結構的可靠度區(qū)間,該區(qū)間覆蓋了真實可靠度和經(jīng)典概率方法給出的可靠度(如表4所示)。

表4 三種方法對炸藥件可靠度的表征對比

Table 4 Comparison of the explosive reliability representation with the three methods

methodR1R2representationofreliabilitydeterminatecheckingmethodreliablereliablelogicvalueprobabilisticmethod0.9960.351probabilityp-boxmethod[0.974,1][0.284,0.939]interval-valuedprobability

(2)隨著有效信息的增加(例如更多的PBX材料實驗數(shù)據(jù)可獲得其力學參數(shù)更準確的概率分布,更精細的材料本構關系將會使計算結果更逼近于實驗),該區(qū)間逐漸變窄,收斂于真實可靠度。

(3)區(qū)間值的可靠度還可以在某種程度上指導設計改進方向。當計算獲得的可靠度區(qū)間下界大于可靠度設計期望值時,產(chǎn)品肯定可靠; 當可靠度區(qū)間包含了設計期望值時,說明產(chǎn)品可能可靠、也可能不可靠,需要減少認知不確定性的范圍重新評估其可靠性; 當可靠性區(qū)間上界小于設計期望值時,說明產(chǎn)品一定不可靠,需要更改方案、重新設計。例如,如果要求炸藥件的可靠度不低于0.95時,由于位移給出的可靠度R2為[0.284, 0.939],說明該炸藥件肯定不滿足可靠性設計要求,需要重新更改設計。

本方法還適用于拉伸強度也具有不確定性的情形。在可靠性分析前定義新變量R,它是結構應力σ和材料強度S的函數(shù),當其大于零時結構可靠。當選取最大應力準則作為強度判據(jù)時,R的表達式如式(6)所示。由于R與零的大小關系直接表征可靠性,因此可將R作為關心響應量,采用文中方法由概率盒量化、疊加各種不確定性,并進行可靠性分析。實際上,這樣可以更靈活地選取強度準則,并可考慮應力和強度的相關性。

Rσ,S=S-maxσ

(6)

式中,結構應力σ、材料強度S,以及新變量R的單位均為MPa。

5 結 論

(1) 參數(shù)不確定性、數(shù)值誤差以及模型形式不確定性都會影響PBX構件位移、應力等響應量的預測值,并且影響程度與感興趣響應量有關(例如數(shù)值誤差對位移的影響很小,但是對應力影響較大),相比于確定性強度校核法,考慮不確定性的可靠性評估會降低工程應用的風險。

(2) 采用概率盒方法量化響應的不確定性,可直觀地展示參數(shù)不確定性、數(shù)值不確定性以及模型形式不確定性對響應不確定性的貢獻比例。

(3) 基于本文方法,保持隨機和認知不確定性分離,可獲得PBX構件的可靠度區(qū)間,該區(qū)間覆蓋了真實可靠度,并隨著認知不確定性的減少逐漸收斂于真實可靠度。

(4) 認知不確定性影響嚴重時,經(jīng)典概率方法計算的可靠度可能誤差較大,而本方法仍可給出可靠度區(qū)間(該區(qū)間覆蓋了經(jīng)典概率法的可靠度和真實可靠度),補充了經(jīng)典概率方法的不足。

(5) 本方法并不局限于文中的炸藥件結構,也適用于其他結構的可靠性分析。

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