構(gòu)造雙函數(shù)妙解導(dǎo)數(shù)綜合題

■廣東省興寧市第一中學(xué) 藍(lán)云波

翻閱近十年各省市的高考題,就會(huì)發(fā)現(xiàn)大都以導(dǎo)數(shù)綜合解答題作為壓軸之作。這類(lèi)題由于其解答的方法靈活,沒(méi)有固定的解題套路,對(duì)同學(xué)們的綜合能力要求較高,因此難度往往很大,得分率極低,在考試過(guò)程中導(dǎo)致不少同學(xué)對(duì)其“戰(zhàn)略放棄”。因此,如何突破這一難點(diǎn)是同學(xué)們面臨的一大難題。同學(xué)們平時(shí)若能多總結(jié)和反思,把解題的過(guò)程提升到一定的理論高度,自己的解題效率和能力將大大提升。通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)解答題的歸納分析,可以發(fā)現(xiàn)構(gòu)造雙函數(shù)是解答導(dǎo)數(shù)綜合題的一大利器。

所謂構(gòu)造雙函數(shù),即在解題過(guò)程中,只構(gòu)造一個(gè)函數(shù)難以解決問(wèn)題,甚至無(wú)法解決問(wèn)題時(shí),若能對(duì)問(wèn)題進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化,然后再構(gòu)造兩個(gè)函數(shù),通過(guò)各個(gè)擊破,可使問(wèn)題得到最終解決。

下面以近幾年的高考題和模考題為例,談?wù)剺?gòu)造雙函數(shù)在解答導(dǎo)數(shù)綜合題中的應(yīng)用。

一、求參數(shù)的取值范圍

(2 0 1 5年河南省鄭州市二模理科)已知函數(shù)f(x)=a x+l n(x-1),其中a為常數(shù)。

(1)試討論f(x)的單調(diào)區(qū)間;

當(dāng)a≥0時(shí),f'(x)＞0在定義域內(nèi)恒成立,f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)。

當(dāng)x∈(1,e)時(shí),g'(x)＞0,g(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(e,+∞)時(shí),g'(x)＜0,g(x)單調(diào)遞減。

點(diǎn)評(píng)：求解此題的關(guān)鍵是通過(guò)對(duì)f(x)的最值的分析,拆去絕對(duì)值符號(hào),然后再構(gòu)造另外一個(gè)函數(shù),對(duì)題意進(jìn)行分析后,轉(zhuǎn)化為最值大小關(guān)系的比較。問(wèn)題的指向相對(duì)較為清晰,無(wú)需作過(guò)多的變形和等價(jià)轉(zhuǎn)化。

二、研究方程的根的個(gè)數(shù)

已知函數(shù)f(x)=n+l nx的圖像在點(diǎn)P(m,f(m))處的切線(xiàn)方程為y=x,設(shè)

(1)求m,n的值;

(2)求證：當(dāng)x≥1時(shí),g(x)≥0恒成立;

設(shè)φ(x)=x2-2 ex+t,x∈(0,+∞),則φ(x)=(x-e)2+t-e2。

圖1

所以函數(shù)h(x),φ(x)在同一直角坐標(biāo)系的大致圖像如圖1所示。

點(diǎn)評(píng)：本題若直接構(gòu)造一個(gè)函數(shù),轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題,顯然難度較大,因?yàn)樗獦?gòu)造的函數(shù)極為復(fù)雜,難以使用導(dǎo)數(shù)這一工具,但在化為方程的根的個(gè)數(shù)的問(wèn)題后,所需構(gòu)造的兩個(gè)函數(shù)便呼之欲出。

三、研究函數(shù)的圖像的位置關(guān)系

解析：(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽。

(1)若m∈(-2,2),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間。

(2)若

①當(dāng)m+1=1,即m=0時(shí),f'(x)≥0,此時(shí)f(x)在R上單調(diào)遞增。

②當(dāng)m+1＞1,即0＜m＜2時(shí),當(dāng)x∈(-∞,1)時(shí),f'(x)＞0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,m+1)時(shí),f'(x)＜0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(m+1,+∞)時(shí),f'(x)＞0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增。

③當(dāng)m+1＜1,即-2＜m＜0時(shí),當(dāng)x∈(-∞,m+1)時(shí),f'(x)＞0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(m+1,1)時(shí),f'(x)＜0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)＞0,此時(shí)f(x)單調(diào)遞增。

綜上所述,m=0時(shí),f(x)在R上單調(diào)遞增;當(dāng)0＜m＜2時(shí),f(x)在(-∞,1)和(m+ 1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)在(1,m+1)上單調(diào)遞減;當(dāng)-2＜m＜0時(shí),f(x)在(-∞, m+1)和(1,+∞)上單調(diào)遞增,f(x)在(m+ 1,1)上單調(diào)遞減。

(2)要證明函數(shù)y=f(x)的圖像總在直線(xiàn)y=x上方,即證只需證。設(shè)g(x∈[0,m+1],則g(x)設(shè)令h'(x)=0,得x=1。

當(dāng)x∈[0,1)時(shí),h'(x)＞0,h(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(1,m+1]時(shí)h'(x)＜0,h(x)單調(diào)遞減。所以當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)h(x)取得最大值

點(diǎn)評(píng)：本題給出的參考答案極為復(fù)雜,使用的是極為復(fù)雜的分類(lèi)討論思想,在考場(chǎng)中要想順利解答不是易事,但使用構(gòu)造雙函數(shù)的策略,則能化繁為簡(jiǎn)。

四、證明不等式

(1)求a,b;

(2)證明：f(x)＞1。

解析：(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞)。

設(shè)函數(shù)g(x)=xl nx,則g'(x)=l nx+

1

綜上,當(dāng)x＞0時(shí),g(x)＞h(x),即f(x)＞1。

點(diǎn)評(píng)：求解此題的困難之處在于同時(shí)含有指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù),只構(gòu)造一個(gè)函數(shù),最值難以求解。此時(shí)可考慮把式子分兩端,構(gòu)造雙函數(shù)。除給出的解答之外,還可以變形為然后再構(gòu)造雙函數(shù)。需要特別指出的是,此題若不能證明[g(x)]min＞[h(x)]max,不能說(shuō)明f(x)＞1不成立,因?yàn)樗枳C明的變量是同時(shí)取值,而雙函數(shù)的最值未必在同一個(gè)x中取得。

(責(zé)任編輯 徐利杰)