范文貴，郝翡翠

（1．天津師范大學(xué) 初等教育學(xué)院，天津 300387；2．天津?yàn)I海新區(qū)塘沽三中心小學(xué)，天津 300451）

五年級(jí)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解

范文貴1，郝翡翠2

（1．天津師范大學(xué) 初等教育學(xué)院，天津 300387；2．天津?yàn)I海新區(qū)塘沽三中心小學(xué)，天津 300451）

在Marilena Pantziara提出學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)概念的6個(gè)水平的基礎(chǔ)上，給出“分?jǐn)?shù)概念理解的3個(gè)水平”的思想框架．利用該框架編制測(cè)試卷，對(duì)天津市564名五年級(jí)小學(xué)生進(jìn)行測(cè)試，發(fā)現(xiàn)：學(xué)生在“分?jǐn)?shù)意義”的第三個(gè)理解水平較低；學(xué)生在“分?jǐn)?shù)意義”各個(gè)知識(shí)點(diǎn)上表現(xiàn)不同的理解水平；測(cè)試總分與5個(gè)知識(shí)點(diǎn)得分在p<0.01水平上都呈顯著正相關(guān)，特別是分?jǐn)?shù)的表征（離散量）對(duì)總分變量即分?jǐn)?shù)意義的解釋程度最高．五年級(jí)學(xué)生關(guān)于“分?jǐn)?shù)意義”水平與總分之間在地區(qū)學(xué)校方面存在差異性．

分?jǐn)?shù)的意義；小學(xué)生；理解水平

1 研究背景

小學(xué)分?jǐn)?shù)知識(shí)是整數(shù)概念的拓展，深層次理解分?jǐn)?shù)概念能夠增強(qiáng)學(xué)生解決現(xiàn)實(shí)世界問(wèn)題的能力；掌握分?jǐn)?shù)知識(shí)結(jié)構(gòu)是學(xué)生以后學(xué)習(xí)小數(shù)、比、統(tǒng)計(jì)與概率及基本代數(shù)運(yùn)算等的基礎(chǔ)．分?jǐn)?shù)的含義可以概括為6個(gè)方面：（1）部分與整體；（2）商：（3）子集和集合；（4）數(shù)線(xiàn)（number line）上的一個(gè)數(shù)值或點(diǎn)；（5）比值；（6）公理化定義：有序的整數(shù)對(duì)：

(p,q)，其中p10[1]．分?jǐn)?shù)概念還包含許多子概念，如平均分、單位“1”、分?jǐn)?shù)單位等，而這些子概念又會(huì)出現(xiàn)在不同的情境當(dāng)中，包括離散量情境與連續(xù)量情境．

分?jǐn)?shù)概念是小學(xué)階段最難掌握的內(nèi)容之一．在國(guó)際上，分?jǐn)?shù)概念被認(rèn)為是小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)階段中最復(fù)雜、最容易出現(xiàn)問(wèn)題、也是最抽象的數(shù)學(xué)概念[2]．學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的效果不盡理想，有的學(xué)生不理解分?jǐn)?shù)概念的意義，而以機(jī)械性的記憶運(yùn)算法則完成計(jì)算．理解分?jǐn)?shù)可以幫助兒童解決更復(fù)雜的問(wèn)題，有助于兒童認(rèn)知結(jié)構(gòu)達(dá)到形式運(yùn)算水平，并且是兒童日后學(xué)習(xí)初等代數(shù)的基礎(chǔ)[3]．

2 研究框架與方法

2.1 研究框架

學(xué)生在具體的情景、程序和過(guò)程中完成概念建構(gòu)，再逐漸將它發(fā)展為抽象的數(shù)學(xué)概念，進(jìn)一步理解符號(hào)和概念的本質(zhì)．Mack推斷：學(xué)生有豐富的分?jǐn)?shù)直觀感覺(jué)知識(shí)，但是他們難于掌握學(xué)校中學(xué)習(xí)的分?jǐn)?shù)概念及其運(yùn)算，這是因?yàn)樗麄儗W(xué)習(xí)的符號(hào)及程序與他們的非正式的知識(shí)沒(méi)有建立聯(lián)系[4]．在理解分?jǐn)?shù)概念過(guò)程中，學(xué)生必須能將它放入各種不同的表征系統(tǒng)間；在給定的表征系統(tǒng)內(nèi)，能很有彈性地處理分?jǐn)?shù)概念；能夠很精確地將分?jǐn)?shù)從一個(gè)表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)表征系統(tǒng)[5]．Aristoklis A提出學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的7個(gè)層級(jí)水平：（1）認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)；（2）分?jǐn)?shù)的定義及其數(shù)學(xué)方面的解釋?zhuān)唬?）有關(guān)分?jǐn)?shù)的論證和說(shuō)明；（4）分?jǐn)?shù)的相對(duì)大?。唬?）分?jǐn)?shù)的表征；（6）分?jǐn)?shù)與小數(shù)、百分?jǐn)?shù)及除法的關(guān)聯(lián)；（7）分?jǐn)?shù)問(wèn)題解決過(guò)程中的反思[6]．A. Sfard提出概念形成的3階段：（1）內(nèi)化，學(xué)生習(xí)慣于操作低水平的數(shù)學(xué)對(duì)象的程序，逐漸發(fā)展操作這些過(guò)程的能力．（2）壓縮（或凝聚），在壓縮階段，學(xué)生不再關(guān)注細(xì)節(jié)，而是開(kāi)始能夠從整體的角度思考一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程．（3）對(duì)象的實(shí)體化或?qū)ο蠡?，即在本質(zhì)上把握概念．學(xué)生能夠?qū)⑿纬傻木唧w化的結(jié)構(gòu)與概念的不同形式建立聯(lián)系，學(xué)生構(gòu)造概念不再依賴(lài)于任何過(guò)程[7]．與A. Sfard提出的概念發(fā)展的3個(gè)階段相關(guān)，Marilena Pantziara提出學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)概念的6個(gè)水平[8]：（1）具有程序性理解的特征．在這個(gè)水平的學(xué)生能夠運(yùn)用簡(jiǎn)單的一步一步的程序（規(guī)則）來(lái)計(jì)算同分母分?jǐn)?shù)的和．（2）與水平1有著共同的特征，學(xué)生也能夠運(yùn)用一步一步的程序來(lái)填寫(xiě)兩個(gè)等值分?jǐn)?shù)中缺失的分子，以及找到兩個(gè)同分母分?jǐn)?shù)中最大的分?jǐn)?shù)．（3）學(xué)生從內(nèi)化階段過(guò)渡到濃縮階段認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)概念．它既需要學(xué)生深度的程序性理解，又需要一般化的概念性的理解．例如，在這個(gè)水平的學(xué)生能夠找到一組離散物體中的分?jǐn)?shù)；正確地選出等分割整體中的一個(gè)分?jǐn)?shù)．（4）完全具有濃縮階段的特征．學(xué)生能夠?qū)⒁粋€(gè)過(guò)程看做一個(gè)整體，能夠結(jié)合不同的過(guò)程，能夠做出比較以及在不同的分?jǐn)?shù)表征形式間轉(zhuǎn)換．處于這個(gè)水平的學(xué)生能夠結(jié)合不同的過(guò)程，從給定的數(shù)量中重建整體．例如：2/3代表4個(gè)物體，找到1/3表示的個(gè)數(shù)，然后找到3/3代表的個(gè)數(shù)．（5）從濃縮階段過(guò)渡到物化階段，學(xué)生將分?jǐn)?shù)作為一個(gè)抽象的概念．例如：學(xué)生能夠用多種形式比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)的大?。?）完全具備物化階段的特征．學(xué)生能夠明確分?jǐn)?shù)的一般屬性以及各種形式之間的關(guān)系，能夠在一個(gè)對(duì)象和一個(gè)過(guò)程之間轉(zhuǎn)換，能從概念和程序的角度理解分?jǐn)?shù)思想．

在以上研究基礎(chǔ)上，結(jié)合中國(guó)小學(xué)分?jǐn)?shù)概念教學(xué)實(shí)際，給出“分?jǐn)?shù)概念理解的3個(gè)水平”的思想框架：（1）學(xué)生會(huì)運(yùn)用簡(jiǎn)單的程序步驟來(lái)表示分?jǐn)?shù)概念（如，平均分、確定單位“1”）、把握分?jǐn)?shù)之間可逆關(guān)系（如，分?jǐn)?shù)的分解與組合）．（2）辨識(shí)不同背景分?jǐn)?shù)的特征；會(huì)處理分?jǐn)?shù)的多種表征形式；根據(jù)問(wèn)題需要轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)的率與量．（3）學(xué)生能夠結(jié)合問(wèn)題變式條件表征分?jǐn)?shù)；對(duì)單位量“1”具有彈性的思考．

2.2 研究方法

（1）文獻(xiàn)法：通過(guò)分析國(guó)內(nèi)外相關(guān)文獻(xiàn)，了解分?jǐn)?shù)的不同含義、學(xué)生理解分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展歷程、學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念可能存在的錯(cuò)誤類(lèi)型及其原因．在此基礎(chǔ)上確定研究的問(wèn)題，明確研究的方向．

（2）測(cè)驗(yàn)法：根據(jù)教材中分?jǐn)?shù)的意義這節(jié)課的內(nèi)容要求，測(cè)試卷包括以下5個(gè)方面的內(nèi)容：平均分、單位“1”、分?jǐn)?shù)的表征（連續(xù)量）、分?jǐn)?shù)的表征（離散量）和分?jǐn)?shù)單位．在測(cè)試卷設(shè)計(jì)完成之后，對(duì)相應(yīng)學(xué)段的學(xué)生進(jìn)行了預(yù)測(cè)試，檢驗(yàn)其是否合理．

（3）訪談法：根據(jù)需要對(duì)學(xué)生和教師進(jìn)行開(kāi)放性訪談，以便作為分析的依據(jù)．

除了上述3種方法外，在整個(gè)研究中，收集整理問(wèn)卷測(cè)試數(shù)據(jù)，通過(guò)去粗取精、化繁為簡(jiǎn)以及必要的概括，并且以恰當(dāng)?shù)男问匠尸F(xiàn)出來(lái)，解釋數(shù)據(jù)蘊(yùn)含的規(guī)律．用平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差、百分比等描述性統(tǒng)計(jì)量表達(dá)學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)的意義”3個(gè)理解水平．用積差相關(guān)分析表達(dá)測(cè)驗(yàn)總分與5個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的相關(guān)性．用單因素方差分析表達(dá)學(xué)生對(duì)“分?jǐn)?shù)的意義”的理解是否存在區(qū)域上的差異．

3 研究問(wèn)題

研究目的——調(diào)查天津五年級(jí)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解水平，具體研究問(wèn)題：（1）小學(xué)生在“分?jǐn)?shù)的意義”3個(gè)理解水平上的表現(xiàn)；（2）小學(xué)生在“分?jǐn)?shù)的意義”各個(gè)知識(shí)點(diǎn)上的表現(xiàn)；（3）測(cè)驗(yàn)總分與5個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的相關(guān)性分析；（4）小學(xué)生關(guān)于“分?jǐn)?shù)的意義”在水平數(shù)值與總分之間在3個(gè)區(qū)（縣）方面的差異性分析．

4 研究設(shè)計(jì)與實(shí)施

4.1 研究對(duì)象

五年級(jí)學(xué)生：A學(xué)校（天津市內(nèi)）144人（男：90；女：54）、B學(xué)校（天津郊區(qū)）259人（男：148；女：111）、C學(xué)校（天津縣城）161人（男：90；女：71），總計(jì)564人．

4.2 測(cè)試卷的設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)編碼及評(píng)分方案

測(cè)試卷共有16道大題（共20道小題）．題型有填空題、選擇題、畫(huà)圖分析題和說(shuō)明題．對(duì)試卷包含的試題進(jìn)行編碼，從第一大題按順序編碼到16大題，分別用1、2、3、…、16來(lái)表示．其中第一題包含4個(gè)小題，分別用1（1）、1（2），1（3）、1（4）來(lái)表示，第八題包含兩個(gè)小題，分別用8（1）、8（2）來(lái)表示，共計(jì)20個(gè)小題．

在編碼方案的基礎(chǔ)上制定評(píng)分方案，這20道小題每題滿(mǎn)分為3分．除3、7、12題之外的填空題和選擇題，答對(duì)給3分，答錯(cuò)和未作答的給0分．3題第一個(gè)空答對(duì)1分，答錯(cuò)或未作答0分，第二個(gè)空答對(duì)2分，答錯(cuò)或未作答給0分；7題第一空答對(duì)2分，答錯(cuò)或未作答0分，第二個(gè)空答對(duì)1分，答錯(cuò)或未作答0分；12題每答對(duì)題中的一個(gè)要求給1分，共計(jì)3分．對(duì)于畫(huà)圖分析的題型，13題將圖形平均分成3份給1分，畫(huà)出全部圖形的給2分；14題圈出涂黑的圓形的，給1分，填空正確給2分；15題答對(duì)給3分，答錯(cuò)和未作答的給0分．對(duì)于解釋類(lèi)型的回答，完全正確的解釋給3分，不完全正確但講到關(guān)鍵點(diǎn)的解釋給2分，有點(diǎn)正確沒(méi)講到關(guān)鍵點(diǎn)的解釋給1分，錯(cuò)誤的和未作答的給0分．

4.3 測(cè)試卷內(nèi)容和水平的雙向細(xì)目表及信度分析

測(cè)試卷內(nèi)容和水平的雙向細(xì)目表和可靠性如表1所示．

表1 測(cè)試卷內(nèi)容和水平的雙向細(xì)目表

信度分析：測(cè)試卷的信度指標(biāo) Cronbach’s Alpha為0.791，信度較高，說(shuō)明這份測(cè)試卷有比較好的內(nèi)在一致性（具體如表2所示）．

表2 可靠性統(tǒng)計(jì)量

5 研究結(jié)果

5.1 學(xué)生在“分?jǐn)?shù)的意義”3個(gè)理解水平上的表現(xiàn)

運(yùn)用SPSS19.0對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)處理，得到總分、平均分、標(biāo)準(zhǔn)差、得分率，結(jié)果顯示（見(jiàn)表 3）：學(xué)生在“分?jǐn)?shù)的意義”總的情況平均分為42.48（得分率70.80%），參加測(cè)試學(xué)生總體成績(jī)不錯(cuò)．學(xué)生在3個(gè)理解水平上平均分為18.40（得分率87.62%）、12.82（得分率71.22%）、11.26（得分率53.62%）．參加測(cè)試學(xué)生在“分?jǐn)?shù)的意義”理解水平 1、水平2表現(xiàn)較好，說(shuō)明學(xué)生在理解分?jǐn)?shù)概念過(guò)程中，能將它放入各種不同的表征系統(tǒng)間，會(huì)運(yùn)用簡(jiǎn)單的程序步驟來(lái)計(jì)算、操作，能夠從整體的角度思考一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程；而在水平3處于較低水平，說(shuō)明學(xué)生理解分?jǐn)?shù)概念還依賴(lài)于具體操作過(guò)

程，將分?jǐn)?shù)從一個(gè)表征系統(tǒng)轉(zhuǎn)換到另一個(gè)表征系統(tǒng)的能力稍差．這與一些研究結(jié)果“學(xué)生可以機(jī)械地比較分?jǐn)?shù)的大小，但要求學(xué)生有意義的解釋如何比較分?jǐn)?shù)大小卻是很困難的”[9]相吻合．

表3 學(xué)生在“分?jǐn)?shù)的意義”3個(gè)理解水平上的表現(xiàn)（N=564）

5.2 學(xué)生在“分?jǐn)?shù)的意義”各個(gè)知識(shí)點(diǎn)上的表現(xiàn)

從表 4可以看出，學(xué)生在“分?jǐn)?shù)的意義”得分率為70.80%，說(shuō)明學(xué)生分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展是漸進(jìn)性的，學(xué)生可以按程序比較分?jǐn)?shù)的大小，但要求學(xué)生有意義地解釋比較分?jǐn)?shù)大小的意義是很困難的．學(xué)生在“分?jǐn)?shù)的意義”的每一個(gè)方面具備相應(yīng)的特點(diǎn)，其中分?jǐn)?shù)的連續(xù)量表征得分率（71.56%）高于分?jǐn)?shù)的離散量表征（64.00%），說(shuō)明學(xué)生解決離散量情境的分?jǐn)?shù)概念問(wèn)題要比解決連續(xù)量情境中的問(wèn)題更困難，特別是，有的學(xué)生不理解分母及分子數(shù)字所代表“份數(shù)”的意義，對(duì)于初學(xué)分?jǐn)?shù)概念的小學(xué)生來(lái)說(shuō)，要求他們主動(dòng)想到將兩個(gè)物體視為一份不是一件容易做到的事情．學(xué)生在平均分得分率為 67.00%，學(xué)生能夠平均分割一般連續(xù)量或離散量物體，但是分割后各部分的形狀和面積會(huì)影響學(xué)生建立平均分概念，特別是學(xué)生不能對(duì)給定的“平均分”圖形進(jìn)行有機(jī)整合來(lái)正確地表示分?jǐn)?shù)．

表4 學(xué)生在“分?jǐn)?shù)的意義”各個(gè)知識(shí)點(diǎn)上的表現(xiàn)（N=564）

5.3 學(xué)生在“分?jǐn)?shù)的意義”各個(gè)知識(shí)點(diǎn)上的理解水平表現(xiàn)

5.3.1 學(xué)生關(guān)于“平均分”在3個(gè)水平的表現(xiàn)

學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生首先要學(xué)會(huì)將整體等分割，建立等分的觀念是學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的基礎(chǔ)．從表5看到，學(xué)生對(duì)平均分的概念的認(rèn)識(shí)是不全面的．在處理水平1分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生得分率比較高．解決水平2分?jǐn)?shù)問(wèn)題時(shí)，學(xué)生的平分概念不穩(wěn)固，來(lái)自于圖示的判斷受單一因素影響，缺乏整體的考慮；有的學(xué)生只是將具體情境中的整體進(jìn)行分割而忽略對(duì)其平均分割；或者有的學(xué)生不按照正確分割標(biāo)準(zhǔn)將整體進(jìn)行等分割，而只是從視覺(jué)上估計(jì)是否平均分．在水平3問(wèn)題，學(xué)生得分率較低，顯示有的學(xué)生會(huì)誤認(rèn)為平均分就必須是分割后的每一部分的形狀、面積都相同，學(xué)生缺乏將給定的圖形進(jìn)行整合重組的能力，以至于無(wú)法正確地表示分?jǐn)?shù)．

表5 學(xué)生關(guān)于“平均分”在3個(gè)水平的表現(xiàn)

5.3.2 學(xué)生關(guān)于“單位‘1’”在3個(gè)水平的表現(xiàn)

通過(guò)訪談幾位教師，看到他們能夠明確教學(xué)目標(biāo)：理解單位“1”的意義；能夠準(zhǔn)確把握教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)：建立單位“1”的概念．總得分率較好．

由具體到抽象，由個(gè)別到一般，需要學(xué)生在對(duì)具體事物感知的基礎(chǔ)上讓學(xué)生認(rèn)識(shí)多個(gè)物體可以看成單位“1”．在解決水平2問(wèn)題：“水果籃中有7個(gè)紅蘋(píng)果和5個(gè)青蘋(píng)果，青蘋(píng)果是全部蘋(píng)果的（ ）”，需要學(xué)生將“7個(gè)紅蘋(píng)果和5個(gè)青蘋(píng)果”合在一起，形成12個(gè)蘋(píng)果，構(gòu)成“單位‘1’”，學(xué)生尋找這個(gè)隱含的單位“1”有點(diǎn)困難．在解決水平3問(wèn)題，有的學(xué)生傾向于自我假設(shè)在同一情境中出現(xiàn)的各個(gè)分?jǐn)?shù)具有一樣的“單位1”；有的學(xué)生自己給出“單位1”，或分解“單位1”．具體見(jiàn)表6．

表6 學(xué)生關(guān)于“單位‘1’”在3個(gè)水平的表現(xiàn)

5.3.3 學(xué)生關(guān)于“分?jǐn)?shù)的表征（連續(xù)量）”在3個(gè)水平的表現(xiàn)

在“分?jǐn)?shù)的表征（連續(xù)量）”部分，水平1問(wèn)題是比較常見(jiàn)的線(xiàn)段被分割成4份，陰影部分有1份，表示為1 4，問(wèn)題簡(jiǎn)單，學(xué)生得分率非常高（98.33%）．水平2問(wèn)題需要學(xué)生用語(yǔ)言描述圖中分?jǐn)?shù)，有的學(xué)生不能用完整的語(yǔ)言表述一個(gè)分?jǐn)?shù)代表的實(shí)際意義．水平3問(wèn)題：“下列兩個(gè)相同的長(zhǎng)方形，哪一個(gè)的黑色部分面積比較多？（如圖）”該題得分率較低（40.67%）．有學(xué)生認(rèn)為：“因?yàn)閳D的形狀不一樣，陰影部分不一樣，所以無(wú)法比較”；“因?yàn)榈谝环鶊D黑色部分是3個(gè)三角形，第二幅圖黑色部分是3個(gè)長(zhǎng)方形，所以一樣多”．說(shuō)明學(xué)生在比較圖形面積的時(shí)候，不能與分?jǐn)?shù)的意義建立聯(lián)系，得不出正確的分?jǐn)?shù)，因此無(wú)法比較．

學(xué)生關(guān)于“分?jǐn)?shù)的表征（連續(xù)量）”在3個(gè)水平的表現(xiàn)，具體見(jiàn)表7．

表7 學(xué)生關(guān)于“分?jǐn)?shù)的表征（連續(xù)量）”在3個(gè)水平的表現(xiàn)

5.3.4 學(xué)生關(guān)于“分?jǐn)?shù)的表征（離散量）”在3個(gè)水平的表現(xiàn)

在“分?jǐn)?shù)的表征（離散量）”部分，水平1問(wèn)題“將10個(gè)圓片裝成一袋，要圈出袋．請(qǐng)問(wèn)下面哪一幅圖是正確的”，大多數(shù)學(xué)生能夠選對(duì)答案，學(xué)生得分率為79.33%；答錯(cuò)的學(xué)生的主要表現(xiàn)：“當(dāng)離散量的分?jǐn)?shù)問(wèn)題的分子不是 1時(shí)，學(xué)生受分子的影響較大”．面對(duì)水平2的問(wèn)題4，學(xué)生沒(méi)有按照題目要求作答，忽略題目中給定的單位1；面對(duì)水平2問(wèn)題14：“圈出下面涂黑的圓形的，那么圈出的黑色圓形是下面全部圓形的幾分之幾？（如圖）”學(xué)生得分率為71.17%．有的學(xué)生不能正確理解整個(gè)分?jǐn)?shù)的含義，把分子看做一組，而并未將分母分組，導(dǎo)致分?jǐn)?shù)表示錯(cuò)誤；還有學(xué)生將題目中第二問(wèn)的單位“1”誤認(rèn)為是“4個(gè)黑色的圓形”，因此寫(xiě)了．說(shuō)明學(xué)生面對(duì)離散量情境不能根據(jù)題目中的要求正確確定單位“1”，而是自己確定一個(gè)錯(cuò)誤的單位“1”來(lái)表示分?jǐn)?shù)．學(xué)生解決水平3的問(wèn)題（問(wèn)題7和13）得分率為49.17%．反映出學(xué)生不能理解題目中的信息，不能用分?jǐn)?shù)意義的整體含義來(lái)解決問(wèn)題，特別是學(xué)生不能根據(jù)題目背景確定單位“1”．學(xué)生關(guān)于“分?jǐn)?shù)的表征（離散量）”在3個(gè)水平的表現(xiàn)見(jiàn)表8．

表8 學(xué)生關(guān)于“分?jǐn)?shù)的表征（離散量）”在3個(gè)水平的表現(xiàn)

5.3.5 學(xué)生關(guān)于“分?jǐn)?shù)單位”在3個(gè)水平的表現(xiàn)

在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生必須掌握的要素之一就是建立分?jǐn)?shù)單位．分?jǐn)?shù)單位是造成分?jǐn)?shù)加減能由整數(shù)加減來(lái)解釋、來(lái)理解的最重要理由．以分?jǐn)?shù)單位來(lái)處理同分母分?jǐn)?shù)的加減法問(wèn)題，就類(lèi)似于整數(shù)的加減法問(wèn)題．能理解同分母分?jǐn)?shù)單位加減的概念，就自然而然能夠理解異分母分?jǐn)?shù)的加減概念了．

5題和6題考查學(xué)生認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)單位的含義，理解“分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)單位累加”，認(rèn)識(shí)到分?jǐn)?shù)也是由“一個(gè)個(gè)小單位累積”的．這兩個(gè)題屬于水平 1問(wèn)題，學(xué)生得分率比較高（92.00%）．透過(guò)分?jǐn)?shù)單位的累加認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，為下一步引導(dǎo)學(xué)生以整數(shù)加減的概念處理分?jǐn)?shù)加減做好鋪墊．學(xué)生解決水平2問(wèn)題得分率為72.33%．有的學(xué)生不能把分?jǐn)?shù)單位與分?jǐn)?shù)意義建立聯(lián)系．從整數(shù)“自然單位”到“新的分?jǐn)?shù)單位”，這個(gè)單位建立的過(guò)程是復(fù)雜的，有的學(xué)生停留在過(guò)去處理“自然單位”的學(xué)習(xí)方法，無(wú)法用舊經(jīng)驗(yàn)來(lái)同化處理這個(gè)新單位，這是造成學(xué)生解決水平3問(wèn)題得分率較低（48.67%）的原因之一．學(xué)生關(guān)于“分?jǐn)?shù)單位”在3個(gè)水平的表現(xiàn)見(jiàn)表9．

表9 學(xué)生關(guān)于“分?jǐn)?shù)單位”在3個(gè)水平的表現(xiàn)

5.4 測(cè)驗(yàn)學(xué)生在總分與5個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的相關(guān)性分析

從表10中可以看出，問(wèn)卷的測(cè)驗(yàn)總分與5個(gè)知識(shí)點(diǎn)以及5個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間在p<0.01水平上都呈顯著正相關(guān)．其中平均分與單位“1”、分?jǐn)?shù)的表征（連續(xù)量）、分?jǐn)?shù)單位之間都呈低度相關(guān)關(guān)系；分?jǐn)?shù)的表征（連續(xù)量）與分?jǐn)?shù)的表征（離散量）、單位“1”、分?jǐn)?shù)單位之間也呈低度相關(guān)．分?jǐn)?shù)的表征（離散量）與平均分、單位“1”、分?jǐn)?shù)單位之間都呈中度相關(guān)關(guān)系；分?jǐn)?shù)單位與單位“1”之間呈中度相關(guān)．平均分、分?jǐn)?shù)的表征（連續(xù)量）與總分之間呈中度相關(guān)關(guān)系，單位“1”、分?jǐn)?shù)的表征（離散量）、分?jǐn)?shù)單位3者與總分均呈高度相關(guān)關(guān)系．上述決定系數(shù)2R是積差相關(guān)系數(shù)的平方，平均分與總分之間的決定系數(shù)是0.448，表示平均分變量可以解釋總分變量總變異的 44.8%；單位“1”與總分之間的決定系數(shù)是 0.585，表示單位“1”變量可以解釋總分變量總變異的58.5%；分?jǐn)?shù)的表征（連續(xù)量）與總分之間的決定系數(shù)是0.340，表示分?jǐn)?shù)的表征（連續(xù)量）可以解釋總分變量總變異的34.0%；分?jǐn)?shù)的表征（離散量）與總分之間的決定系數(shù)是0.637，表示分?jǐn)?shù)的表征（離散量）可以解釋總分變量總變異的63.7%；分?jǐn)?shù)單位與總分之間的決定系數(shù)是0.533，表示分?jǐn)?shù)單位可以解釋總分變量總變異的53.3%．這表明，分?jǐn)?shù)的表征（離散量）對(duì)總分變量即分?jǐn)?shù)意義的解釋程度最高，其次是單位“1”變量．

表10 測(cè)驗(yàn)總分與5個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間的相關(guān)矩陣

5.5 五年級(jí)學(xué)生關(guān)于“分?jǐn)?shù)的意義”在水平分?jǐn)?shù)與總分之間在地區(qū)方面的差異性分析

對(duì)五年級(jí)學(xué)生關(guān)于“分?jǐn)?shù)的意義”在水平分?jǐn)?shù)與總分進(jìn)行單因素方差分析，并進(jìn)行進(jìn)一步比較，結(jié)果見(jiàn)表11．

表11為不同地區(qū)的五年級(jí)學(xué)生在“分?jǐn)?shù)的意義”3水平上的差異比較的方差分析摘要表，從表中可以發(fā)現(xiàn)：不同地區(qū)的五年級(jí)學(xué)生在1水平、2水平、3水平和總分之間均有顯著性差異，p值均小于0.05．在此基礎(chǔ)上進(jìn)行事后檢驗(yàn)可以發(fā)現(xiàn)：在1水平、總分方面，天津市內(nèi)A學(xué)校學(xué)生和郊區(qū)B學(xué)校學(xué)生的成績(jī)均顯著高于縣城C學(xué)校學(xué)生成績(jī)，而A學(xué)校和B學(xué)校之間無(wú)顯著性差異．在2水平上，不僅A學(xué)校學(xué)生和B學(xué)校學(xué)生的表現(xiàn)均顯著高于C學(xué)校學(xué)生，而且A學(xué)校和B學(xué)校之間也存在顯著性差異，且B學(xué)校學(xué)生顯著高于A學(xué)校學(xué)生的水平．在3水平方面，采用Scheeffe法事后檢驗(yàn)可知，A學(xué)校學(xué)生和B學(xué)校學(xué)生的成績(jī)均顯著高于C學(xué)校學(xué)生，A學(xué)校和B學(xué)校之間無(wú)顯著性差異．而采用LSD和HSD方法檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，不僅A學(xué)校學(xué)生和B學(xué)校學(xué)生的成績(jī)均顯著高于C學(xué)校學(xué)生的，而且A學(xué)校和B學(xué)校學(xué)生之間也有顯著性差異，且A學(xué)校學(xué)生顯著高于B學(xué)校學(xué)生的水平．

表11 不同地區(qū)的五年級(jí)學(xué)生在“分?jǐn)?shù)的意義”3水平上的差異比較的方差分析摘要

6 教學(xué)建議

6.1 強(qiáng)調(diào)平均分的概念

教師引導(dǎo)學(xué)生在描述分?jǐn)?shù)形成過(guò)程，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)表示分?jǐn)?shù)的前提就是將整體“平均分”．面對(duì)學(xué)生解決動(dòng)態(tài)變形背景、不規(guī)則圖形（第三個(gè)理解水平）的平均分問(wèn)題能力偏低現(xiàn)狀，在“3次備課兩次反思”的框架下，教師有針對(duì)性地設(shè)計(jì)多樣平均分問(wèn)題，一方面，學(xué)生按照規(guī)則平均分規(guī)則的圖形；另一方面，學(xué)生學(xué)會(huì)利用平移、旋轉(zhuǎn)方式重新組合圖形，有效解決了學(xué)生片面理解平均分意義的困難．

6.2 深度理解分母和分子的意義

教師引導(dǎo)學(xué)生將整數(shù)的觀念過(guò)度類(lèi)推至分?jǐn)?shù)的概念上，將分子與分母做有意義的連結(jié)．結(jié)合具體案例，幫助學(xué)生理解分母表示的是將整體平均分割的份數(shù)；利用操作實(shí)物或者電腦動(dòng)畫(huà)特殊強(qiáng)調(diào)：在分?jǐn)?shù)單位內(nèi)容物是多個(gè)的問(wèn)題背景下，分子表示的是取得其中“一份或幾份”（一份可以是一個(gè)，也可以是多個(gè)）．例如，教師通過(guò)比較不同情景中1 4的相同點(diǎn)與不同點(diǎn)，不僅能夠發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)的本質(zhì)，還能夠認(rèn)識(shí)到整體不同會(huì)導(dǎo)致分子“1”所代表的物體的個(gè)數(shù)（或形狀大小）不同．分子的“1”表示的是“一份”，而不是“一個(gè)”．學(xué)生要理解份數(shù)與個(gè)數(shù)之間的關(guān)系，以便成功解決問(wèn)題．

6.3 融入多種表征形式（連續(xù)量及離散量）并理解分?jǐn)?shù)概念的本質(zhì)

從表4可以看出，學(xué)生解決分?jǐn)?shù)概念（特別是離散量）問(wèn)題面臨更多困難，有的學(xué)生即使能夠在課堂上用語(yǔ)言概括分?jǐn)?shù)的意義，但是面對(duì)不同的問(wèn)題情境時(shí)，他們?nèi)圆荒芎芎玫乩斫夥謹(jǐn)?shù)的意義．教師在教學(xué)時(shí)注重融入多種表征形式（連續(xù)量、離散量），讓學(xué)生操作具體物，表示各種圖形、線(xiàn)段中的分?jǐn)?shù)，用語(yǔ)言概括分?jǐn)?shù)，用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表征等，通過(guò)將多種表征形式相結(jié)合，從直觀到抽象，逐漸讓學(xué)生在頭腦中建立抽象的分?jǐn)?shù)概念．通過(guò)實(shí)踐活動(dòng)，學(xué)生理解連續(xù)量與離散量的關(guān)聯(lián)，避免了隨意改變單位“1”而導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤．

6.4 深刻認(rèn)識(shí)單位“1”及分?jǐn)?shù)單位

學(xué)生掌握離散情景中（整體是多個(gè)物體）的分?jǐn)?shù)的含義，而整體由“一個(gè)”過(guò)渡到“多個(gè)”，需要學(xué)生調(diào)動(dòng)高水平的認(rèn)知過(guò)程進(jìn)行理解．通過(guò)多種途徑讓學(xué)生學(xué)會(huì)找到情景中的單位“1”，逐漸引導(dǎo)學(xué)生理解單位“1”既可以表示一個(gè)物體也可以表示多個(gè)物體．學(xué)生理解分子的本質(zhì)，認(rèn)識(shí)到單位“1”不同會(huì)導(dǎo)致分子“1”所代表的物體的個(gè)數(shù)不同．

不管是整數(shù)或是分?jǐn)?shù)的乘除法，都涉及了單位量轉(zhuǎn)化問(wèn)題，是一種逐漸復(fù)雜的單位結(jié)構(gòu)歷程，而單位量的轉(zhuǎn)化過(guò)程亦可視為以新的參考單位來(lái)重新詮釋新的數(shù)量情境，因此是發(fā)展學(xué)生基準(zhǔn)化能力的關(guān)鍵．

[1]范文貴．分?jǐn)?shù)的內(nèi)涵有多大[J]．人民教育，2011，（7）：43-47．

[2]Taylor E V, McIntosh C, Gearhart M. Representing Fractions with Standard Notation: A Developmental Analysis [J].Journal for Research in Mathematics Education, 2005, (36): 137-157.

[3]辛自強(qiáng)，張睆．兒童的分?jǐn)?shù)概念理解的結(jié)構(gòu)及其測(cè)量[J]．心理研究，2012，（1）：13-20．

[4]Mack, N K. Earning Fractions with Understanding: Building on Informal Knowledge [J].Journal for Research in Mathematics Education, 1990, (21): 16-32.

[5]Charalambos C Y, Pitta-Pantazi D. Drawing on a Theoretical Model to Study Students’ Understandings of Fractions [J].Educational Studies in Mathematics, 2007, 64(3): 293–316.

[6]Aristoklis A Nicolaou. Hierarchical Levels of Abilities that Constitute Fraction Understanding at Elementary School [J].International Journal of Science and Mathematics Education, 2016, 14(4): 757-776.

[7]Sfard A. On the Dual Nature of Mathematical Conception, Reflections on Processes and Objects as Different Sides of the Same Coin [J].Educational Studies in Mathematics, 1991, 22(1): 1-36.

[8]Marilena Pantziara, George Philippou. Levels of students’ “conception” of fractions [J].Educational Studies in Mathematics, 2012, (79): 61–83.

[9]Cramer K A, Post T R, del Mas R C. Initial Fraction Learning by Fourth and Fifth-Grade Students: A Comparison of the Effects of Using Commercial Curricula with the Effects of Using the Rational Number Project Curriculum [J].Journal for Research in Mathematics Education, 2002, 33(2): 111-144.

Understanding the Meaning of the Fraction of Fifth Grade Students

FAN Wen-gui1, HAO Fei-cui2
(1. Primary Education College, Tianjin Normal University, Tianjin 300387, China; 2. Tanggu Third Central Primary School, Tianjin Binhai New Area, Tianjin 300451, China)

Based on the six levels that students grasp concept of fraction proposed by Marilena Pantziara, we give the thinking framework about “three levels of understanding fraction concept”. Using this conceptual framework to devise a test, We have 564 Tianjin Grade five students tested, found: Students’ third understanding level in the “fraction of meaning” is low; Students’ the performance is on the different levels of understanding in the each knowledge point of “fraction of meaning”. The total score of the test was significantly positive correlated with the score of 5 knowledge points onp<0.01 level. In particular, the fractional representation (discrete quantity) is to the highest score meaning interpretation degree. There are differences between the scores level of fifth grade students in schools about “the meaning of fraction”.

the meaning of fraction; pupils; levels of understanding

G622

A

1004–9894（2017）01–0070–06

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2016–09–20

人民教育出版社課程教材研究所“十三五”課題——小學(xué)數(shù)學(xué)教材國(guó)際比較研究（KC2016-006）

范文貴（1965—），男，遼寧錦州人，教授，博士，碩士研究生導(dǎo)師，主要從事小學(xué)數(shù)學(xué)教材比較、小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．