張 玲，劉 靜

（西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715）

解代數(shù)應(yīng)用題的認(rèn)知模型建構(gòu)

張 玲，劉 靜

（西南大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715）

問(wèn)題解決的認(rèn)知研究一直是熱點(diǎn)問(wèn)題，扎根于數(shù)學(xué)學(xué)科中解代數(shù)應(yīng)用題的重難點(diǎn)教學(xué)內(nèi)容，運(yùn)用認(rèn)知分析法，對(duì)已有“問(wèn)題解決”認(rèn)知研究進(jìn)行文獻(xiàn)梳理與述評(píng)，歸納細(xì)化出解代數(shù)應(yīng)用題的三維認(rèn)知過(guò)程模型．基于此模型的特點(diǎn)與規(guī)律、認(rèn)知心理學(xué)和認(rèn)知診斷理論，從“操作”和“圖式”兩大認(rèn)知成分出發(fā)，析出解代數(shù)應(yīng)用題的7個(gè)認(rèn)知屬性：基本算術(shù)運(yùn)算A1、多步運(yùn)算A2、基本數(shù)量關(guān)系A(chǔ)3、復(fù)雜知識(shí)的圖式A4、識(shí)別隱含條件A5、算式表征A6、正規(guī)代數(shù)策略A7，從而建構(gòu)解代數(shù)應(yīng)用題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)模型．最后運(yùn)用口語(yǔ)報(bào)告法及流程圖分析法來(lái)質(zhì)性評(píng)估認(rèn)知屬性及屬性間層級(jí)關(guān)系．為此，將理論反哺于教學(xué)實(shí)踐，為教師數(shù)學(xué)應(yīng)用題的有效教學(xué)、自上而下測(cè)驗(yàn)的編制、以及教師針對(duì)學(xué)生問(wèn)題解決的補(bǔ)救性教學(xué)提供可操作化的理論基礎(chǔ)．

代數(shù)應(yīng)用題；認(rèn)知過(guò)程；認(rèn)知診斷；認(rèn)知屬性；認(rèn)知結(jié)構(gòu)

1 引 言

1980年美國(guó)數(shù)學(xué)教師聯(lián)合會(huì)（NCTM）正式提出“問(wèn)題解決”的觀念，指出“數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)圍繞問(wèn)題解決組織……問(wèn)題解決的成績(jī)將是衡量數(shù)學(xué)教育成效的有效標(biāo)準(zhǔn)”．而中國(guó)2011年頒布的《課標(biāo)》也將“問(wèn)題解決”作為重要的四維課程目標(biāo)之一[1]．解應(yīng)用題是問(wèn)題解決的一個(gè)重要體現(xiàn)形式，其中區(qū)別于算術(shù)應(yīng)用題的代數(shù)應(yīng)用題是小學(xué)生問(wèn)題解決中最突出的重點(diǎn)內(nèi)容．分析解代數(shù)應(yīng)用題的認(rèn)知過(guò)程能幫助學(xué)生深入理解學(xué)習(xí)的過(guò)程，是提高學(xué)生解應(yīng)用題能力的有效途徑，亦是教師強(qiáng)化問(wèn)題解決教學(xué)理論的重要路徑之一．

對(duì)于問(wèn)題解決的認(rèn)知研究，不同學(xué)者一直莫衷一是，但很難定于一尊．從聯(lián)結(jié)主義桑代克的試誤說(shuō)、行為主義斯金納的強(qiáng)化說(shuō)、格式塔柯勒的頓悟說(shuō)，到信息加工認(rèn)知心理學(xué)的發(fā)展，其代表人物紐厄爾和西蒙認(rèn)為問(wèn)題包括一個(gè)問(wèn)題空間，即問(wèn)題的初始狀態(tài)、目標(biāo)狀態(tài)、中間狀和所有的算子及步驟構(gòu)成，問(wèn)題解決是運(yùn)用算子，從一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)向另一個(gè)狀態(tài)的過(guò)程[2]．研究者亦是在此基礎(chǔ)上分化出問(wèn)題解決認(rèn)知過(guò)程的不同階段．從問(wèn)題解決的心理機(jī)制研究視角出發(fā)，歸納具體化解代數(shù)應(yīng)用題的認(rèn)知過(guò)程，基于認(rèn)知診斷的研究目標(biāo)，建構(gòu)解代數(shù)應(yīng)用題的認(rèn)知模型，運(yùn)用口語(yǔ)報(bào)告法對(duì)認(rèn)知模型進(jìn)行質(zhì)性分析驗(yàn)證．

2 數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知模型研究述評(píng)

通過(guò)對(duì)國(guó)內(nèi)外與（數(shù)學(xué)）問(wèn)題解決認(rèn)知過(guò)程相關(guān)的文獻(xiàn)整理分析，從主要認(rèn)知模型間的同異之處和模型研究的發(fā)展空間兩部分進(jìn)行綜述研究．在此基礎(chǔ)上，歸納細(xì)化出解代數(shù)應(yīng)用題的認(rèn)知過(guò)程模型，為后文認(rèn)知結(jié)構(gòu)模型的建構(gòu)搭建理論橋梁．

2.1 主要認(rèn)知模型間的同異之處

2.1.1 模型建構(gòu)均以思維邏輯發(fā)展順序展開(kāi)

基于認(rèn)知加工理論建構(gòu)的問(wèn)題解決模型，多以其代表人物紐厄爾和西蒙提出的關(guān)于問(wèn)題和問(wèn)題解決的定義為理論基礎(chǔ)．即運(yùn)用算子，從問(wèn)題的一個(gè)狀態(tài)轉(zhuǎn)向另一個(gè)狀態(tài)的過(guò)程，最終實(shí)現(xiàn)從問(wèn)題的初始狀態(tài)到目標(biāo)狀態(tài)[2]．這個(gè)狀態(tài)的轉(zhuǎn)換過(guò)程是以問(wèn)題解決的思維邏輯發(fā)展順序展開(kāi)的，符合解決問(wèn)題的心理發(fā)展規(guī)律．對(duì)于狀態(tài)轉(zhuǎn)換的描述不盡相同，如楊東從“表征”的視角出發(fā)，認(rèn)為問(wèn)題解決者內(nèi)部表征與外部表征不斷地進(jìn)行雙向建構(gòu)的過(guò)程[3]．綜合言之，對(duì)于認(rèn)知模型均以解決問(wèn)題的思維過(guò)程時(shí)間段來(lái)進(jìn)行劃分．但是這個(gè)思維的過(guò)程并不是線性的，當(dāng)所選擇策略無(wú)法執(zhí)行時(shí)需重新分析問(wèn)題制定計(jì)劃并開(kāi)展新一輪的認(rèn)知過(guò)程，所以認(rèn)知模型中階段間邏輯思維的發(fā)展具有非線性的特點(diǎn)．

2.1.2 模型建構(gòu)的劃分階段雖呈現(xiàn)方式不同但經(jīng)歷大抵相同

在模型的建構(gòu)中，以階段劃分為主，提煉的結(jié)果、呈現(xiàn)方式雖不同，但大抵經(jīng)歷相同．主要可以概括為以下 5個(gè)階段．

（1）審題，即對(duì)問(wèn)題中的文字信息進(jìn)行理解，明確已知條件、未知條件和各條件間的相關(guān)關(guān)系．對(duì)應(yīng)為不同研究者提出的問(wèn)題解決模型中“理解問(wèn)題”[4]、“讀題”[5]、“問(wèn)題轉(zhuǎn)化”[6]等階段；（2）分析問(wèn)題，即分析問(wèn)題的數(shù)量結(jié)構(gòu)和情境結(jié)構(gòu)，從已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中找到與之相關(guān)或許匹配的圖式，也即模式識(shí)別，問(wèn)題整合的過(guò)程．對(duì)應(yīng)為“分析”和“探索”[5]、“問(wèn)題整合”[6]、“理解題目”[7～8]、“表征問(wèn)題”[9]、“問(wèn)題轉(zhuǎn)移、問(wèn)題整合”[10]等階段；（3）計(jì)劃解題，即組合相關(guān)提取出的圖式，選擇對(duì)應(yīng)的解題策略，制定符合邏輯的解題計(jì)劃．對(duì)應(yīng)為“制定計(jì)劃”[4]、“計(jì)劃”[5]、“解答計(jì)劃”、[6]“選擇算子”[7]、“擬定方案”[8]、問(wèn)題解決計(jì)劃[10]；（4）執(zhí)行計(jì)劃，即對(duì)所制定的解題計(jì)劃中對(duì)應(yīng)的解題策略驗(yàn)證的過(guò)程．對(duì)應(yīng)為“執(zhí)行計(jì)劃”[4]、“執(zhí)行”[5]、“解答執(zhí)行階段”[6]、“應(yīng)用算子”[7]、“執(zhí)行方案”[8]等階段．此過(guò)程不是一蹴而就的，不同的解題計(jì)劃會(huì)經(jīng)歷不同的往復(fù)過(guò)程；（5）回顧反思，即對(duì)解題過(guò)程進(jìn)行再驗(yàn)證并形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)儲(chǔ)存于原有認(rèn)知體系中．對(duì)應(yīng)為“反饋與檢查”[4]、驗(yàn)證[5]、“結(jié)果評(píng)價(jià)”[7]、“思路總結(jié)”[9]等階段．

2.1.3 歸納具體化解代數(shù)應(yīng)用題的三維認(rèn)知過(guò)程模型

經(jīng)過(guò)文獻(xiàn)梳理，以經(jīng)典 Mayer的解應(yīng)用題問(wèn)題解決的認(rèn)知加工過(guò)程為理論基礎(chǔ)，述評(píng)已有數(shù)學(xué)問(wèn)題解決認(rèn)知加工模型，綜合歸納得出宏觀上的解代數(shù)應(yīng)用題認(rèn)知加工過(guò)程為：審題—分析問(wèn)題—擬定計(jì)劃—執(zhí)行計(jì)劃—反饋反思 5個(gè)階段．再依據(jù)Sebrechts等的每個(gè)階段進(jìn)行細(xì)化過(guò)程，即個(gè)體數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)與特定問(wèn)題情境之間不斷交互作用的動(dòng)態(tài)細(xì)化過(guò)程[11]，即細(xì)化個(gè)體由最初已有的圖式表征的初始表征狀態(tài)轉(zhuǎn)換到最終問(wèn)題的答案的表征過(guò)程[3]．建構(gòu)如圖1所示的三維認(rèn)知過(guò)程模型．

圖1 數(shù)應(yīng)用題認(rèn)知過(guò)程模型

2.2 認(rèn)知模型研究的發(fā)展空間

2.2.1 研究對(duì)象的具體化以反哺教學(xué)實(shí)踐

數(shù)學(xué)問(wèn)題解決過(guò)程、解應(yīng)用題認(rèn)知過(guò)程已有大量研究，取得了較大成就，但仍有可研究的切入視角與空間．對(duì)于問(wèn)題解決的認(rèn)知過(guò)程分析能夠帶給執(zhí)教者一定的理論基礎(chǔ)，能夠揭示問(wèn)題解決過(guò)程中的一般性規(guī)律，理論提煉于實(shí)踐，但如何將理論反哺于實(shí)踐的研究較少，這也就是為什么一線教師擁有理論卻無(wú)法用理論指導(dǎo)教學(xué)的原因．故研究者從研究對(duì)象出發(fā)，將學(xué)科知識(shí)具體化為建構(gòu)認(rèn)知模型的研究對(duì)象、內(nèi)容．因數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理有其自身的特殊性，喻平在對(duì)《數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的實(shí)證研究述評(píng)》中提到，不同的數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)有不完全相同的心理過(guò)程，不同的問(wèn)題解決階段也有不同的思維形式[12]．基于不同教學(xué)內(nèi)容建構(gòu)具體化的認(rèn)知模型不僅對(duì)學(xué)生問(wèn)題解決內(nèi)部心理機(jī)制的研究具有重要意義，對(duì)教師針對(duì)具體內(nèi)容的問(wèn)題解決的建構(gòu)教學(xué)模式和選擇實(shí)踐操作策略等的重要性程度亦可見(jiàn)一斑．

2.2.2 研究視角的多元化以提高模型的針對(duì)性

綜述已有認(rèn)知模型，以思辨式的建構(gòu)方法為主．結(jié)合實(shí)證研究能在一定程度上客觀地揭示問(wèn)題解決的內(nèi)部心理發(fā)展機(jī)制，某種程度上又受到如樣本的選取、不可控制變量等客觀因素的影響和局限．最近不少新的視角方法匯聚至學(xué)生問(wèn)題解決過(guò)程研究中，如黑田恭史曾使用真實(shí)課堂教學(xué)的教學(xué)任務(wù)，測(cè)量學(xué)生問(wèn)題解決過(guò)程的腦活動(dòng)數(shù)據(jù)，從而獲得腦活動(dòng)與學(xué)生理解過(guò)程之間的關(guān)系[13]；岳寶霞等提出心理學(xué)中眼動(dòng)分析法對(duì)數(shù)學(xué)解題的研究更接近于純實(shí)證研究，有利于探索出培養(yǎng)學(xué)生解題的最佳訓(xùn)練策略[14]；另陸珺等也提到在數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)研究領(lǐng)域有些問(wèn)題無(wú)人問(wèn)津，如沒(méi)有針對(duì)如何測(cè)查學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行相關(guān)深入研究等[15]；基于信息加工理論研究問(wèn)題解決的認(rèn)知模型是開(kāi)辟內(nèi)部心理機(jī)制研究的新出口，而隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)、認(rèn)知科學(xué)及數(shù)理統(tǒng)計(jì)等學(xué)科不斷深入心理與教育測(cè)量學(xué)領(lǐng)域，建構(gòu)符合教育測(cè)評(píng)發(fā)展趨勢(shì)的問(wèn)題解決認(rèn)知模型也是應(yīng)時(shí)代之需．作為新一代測(cè)驗(yàn)理論——認(rèn)知診斷理論（CDT），它強(qiáng)調(diào)從個(gè)體宏觀能力水平和微觀內(nèi)部加工過(guò)程評(píng)估并重，也符合將微觀的問(wèn)題解決過(guò)程評(píng)估融合入宏觀的問(wèn)題解決能力測(cè)評(píng)中，為問(wèn)題解決認(rèn)知模型的建構(gòu)和測(cè)查學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)提供新的理論視角．

故基于具體化的研究對(duì)象——解代數(shù)應(yīng)用題，心理統(tǒng)計(jì)的研究視角——認(rèn)知診斷理論，以及已有問(wèn)題解決的理論基礎(chǔ)，建構(gòu)解代數(shù)應(yīng)用題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)模型，以為教師數(shù)學(xué)應(yīng)用題的有效教學(xué)、試卷編制、學(xué)生解代數(shù)應(yīng)用題的認(rèn)知診斷、學(xué)生解代數(shù)應(yīng)用題的補(bǔ)救性教學(xué)提供可操作化的理論基礎(chǔ)．

3 解代數(shù)應(yīng)用題的認(rèn)知模型構(gòu)建

3.1 認(rèn)知模型構(gòu)建

標(biāo)準(zhǔn)測(cè)驗(yàn)理論通常把其所測(cè)的宏觀心理特質(zhì)視為一個(gè)心理學(xué)意義并不明確的“統(tǒng)計(jì)結(jié)構(gòu)”，從而導(dǎo)致其測(cè)驗(yàn)結(jié)果的解釋缺乏心理學(xué)的證據(jù)[16]．同一個(gè)問(wèn)題，不同被試得分相同，但內(nèi)部心理加工機(jī)制以及已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)并不相同，故教師并不能有針對(duì)性地給予學(xué)生補(bǔ)救性教學(xué)．這里基于認(rèn)知診斷理論建構(gòu)解代數(shù)應(yīng)用題的認(rèn)知結(jié)構(gòu)模型．在測(cè)量學(xué)中，認(rèn)知診斷是指用于測(cè)量個(gè)體特定的知識(shí)結(jié)構(gòu)（knowledge structure）和加工技能（processing skills）．

3.1.1 認(rèn)知屬性

認(rèn)知診斷是基于認(rèn)知加工過(guò)程的診斷，是對(duì)個(gè)體認(rèn)知加工過(guò)程中所涉及的認(rèn)知屬性的診斷（congnitive attribute）．Leighton等認(rèn)為：“屬性”是對(duì)完成某一領(lǐng)域問(wèn)題所需的陳述性或程序性知識(shí)的描述[17]．按照功能分類，斯騰伯格認(rèn)為分析性智力可分為元成分（Metocomponents）、操作成分（Performance components）和知識(shí)獲得成分（Knowledge-acquisition components）[18]．在此基礎(chǔ)上，楊東把信息加工的方法論和因素分析的方法論結(jié)合起來(lái)，構(gòu)建了兒童解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題認(rèn)知結(jié)構(gòu)模型圖（MOSD模型）[3]．（如圖2）

圖2 兒童解決數(shù)學(xué)應(yīng)用題認(rèn)知的基本結(jié)構(gòu)模型圖

基于認(rèn)知診斷理論，從MOSD模型的操作成分和圖式成分析出認(rèn)知屬性．圖式指?jìng)€(gè)體頭腦中的知識(shí)（包括經(jīng)驗(yàn)）結(jié)構(gòu)．操作指?jìng)€(gè)體的一種心理運(yùn)算，是個(gè)體對(duì)表征符號(hào)的一種認(rèn)知加工．運(yùn)用認(rèn)知分析法，即借助認(rèn)知心理學(xué)的研究成果如問(wèn)題解決、數(shù)學(xué)應(yīng)用題問(wèn)題解決的認(rèn)知加工過(guò)程以及前文建構(gòu)的解代數(shù)應(yīng)用題的三維認(rèn)知過(guò)程模型等，基于大量文獻(xiàn)論證析出解代數(shù)應(yīng)用題的屬性（見(jiàn)表 1）．對(duì)應(yīng)屬性的可操作性定義見(jiàn)表2．

表1 認(rèn)知屬性及屬性來(lái)源分布

表2 認(rèn)知屬性操作化定義

在操作性屬性成分中，“基本算術(shù)運(yùn)算”A1及“多步運(yùn)算”A2屬于個(gè)體的運(yùn)算技能屬性，它運(yùn)用于三維認(rèn)知結(jié)構(gòu)（如圖1）“編碼重組”、“解題計(jì)劃”和“執(zhí)行計(jì)劃”階段；“識(shí)別隱含條件”A5貫穿認(rèn)知結(jié)構(gòu)的前4個(gè)階段，主要為“情境結(jié)構(gòu)表征”和“推理結(jié)構(gòu)表征”；“算式表征”A6主要運(yùn)用于“解題計(jì)劃”階段；“正規(guī)代數(shù)策略”A7主要運(yùn)用于“執(zhí)行計(jì)劃”階段．這5個(gè)操作屬性是個(gè)體對(duì)借代數(shù)應(yīng)用題時(shí)各表征符號(hào)的加工技能．在圖式屬性成分中，基本數(shù)量關(guān)系A(chǔ)3是“數(shù)量結(jié)構(gòu)表征”和“推理結(jié)構(gòu)表征”的基礎(chǔ)，而“復(fù)雜知識(shí)圖式”A4是進(jìn)行“結(jié)構(gòu)表征”的基礎(chǔ)，對(duì)于復(fù)雜知識(shí)圖式的掌握能大大縮短“解題計(jì)劃”階段的進(jìn)程．

3.1.2 屬性層級(jí)關(guān)系

Leighten等認(rèn)為認(rèn)知屬性不是獨(dú)立操作，而是從屬于一個(gè)相互關(guān)聯(lián)的網(wǎng)絡(luò)，認(rèn)知屬性間可能存在一定的邏輯順序或?qū)蛹?jí)關(guān)系，認(rèn)知模型即為用來(lái)表征相關(guān)任務(wù)的屬性層級(jí)關(guān)系圖[17]．從解代數(shù)應(yīng)用題的邏輯關(guān)聯(lián)性建構(gòu)如下的層級(jí)關(guān)系（見(jiàn)圖3）；其中基本算術(shù)運(yùn)算（A1）是掌握屬性多步運(yùn)算（A2）的基礎(chǔ)；基本數(shù)量關(guān)系（A3）是掌握復(fù)雜知識(shí)圖式（A4）、識(shí)別隱含條件（A5）和對(duì)問(wèn)題進(jìn)行算式表征（A6）的前提；對(duì)于復(fù)雜應(yīng)用題，需要在A4和A6的基礎(chǔ)上運(yùn)用正規(guī)代數(shù)策略（A7）進(jìn)行解答．

在一定程度上屬性層級(jí)關(guān)系體現(xiàn)的是個(gè)體心理加工過(guò)程中各認(rèn)知屬性掌握的難易程度和認(rèn)知發(fā)展先后順序，例如多步運(yùn)算A2操作屬性比基本算術(shù)運(yùn)算A1屬性更難，而且也需個(gè)體在先熟練掌握基本運(yùn)算的基礎(chǔ)上才能掌握多步運(yùn)算．從三維認(rèn)知模型（如圖1）出發(fā)，屬性層級(jí)關(guān)系的邏輯起點(diǎn)是“編碼重組”階段，從操作和圖式知識(shí)為落腳點(diǎn)，以非線性的方式執(zhí)行問(wèn)題解決各階段．這也將評(píng)價(jià)個(gè)體解代數(shù)應(yīng)用題能力是否存在缺失，落腳到細(xì)化的具體的知識(shí)屬性的掌握上．（如圖3）

圖3 認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)模型（屬性層級(jí)關(guān)系）

3.2 認(rèn)知模型的質(zhì)性驗(yàn)證

運(yùn)用認(rèn)知心理學(xué)研究中的口語(yǔ)報(bào)告法（出聲思維），要求被試在進(jìn)行解答時(shí)同步大聲思維，以了解被試在作答過(guò)程中的思維過(guò)程，識(shí)別完成任務(wù)所需的內(nèi)容知識(shí)與心理過(guò)程，驗(yàn)證已析出的解代數(shù)應(yīng)用題的認(rèn)知屬性和建構(gòu)的認(rèn)知模型．

3.2.1 被 試

運(yùn)用分層抽樣選取某小學(xué)6年級(jí)20名學(xué)生，20名學(xué)生平時(shí)數(shù)學(xué)成績(jī)存在差異．

3.2.2 測(cè)試材料

測(cè)試材料由出聲思維的測(cè)試題、進(jìn)行作答所需文具和錄音筆構(gòu)成．測(cè)試題依據(jù)所界定的認(rèn)知屬性及其層級(jí)關(guān)系而編制，共8題．

3.2.3 數(shù)學(xué)應(yīng)用題解決的流程圖分析

由于篇幅原因，僅呈現(xiàn)其中一個(gè)項(xiàng)目（案例1）的分析結(jié)果．

案例1：豹子每秒跑31 m，羚羊每秒比豹子慢9 m，一只豹子正在快速追趕奔跑中的羚羊，當(dāng)距離羚羊150 m時(shí)，還需多久能追到羚羊？

案例1中考察了A1（基本算術(shù)運(yùn)算）、A2（多步運(yùn)算）、A3（基本數(shù)量關(guān)系）、A4（復(fù)雜知識(shí)的圖式）、A5（識(shí)別隱含條件）、A6（算式表征）、A7（正規(guī)代數(shù)策略）7個(gè)認(rèn)知屬性．一類被試完整完成本項(xiàng)目，一類被試僅完成部分，一類被試不會(huì)對(duì)此項(xiàng)目作答．通過(guò)對(duì)被試的口頭報(bào)告和草稿，及作答進(jìn)行分析，運(yùn)用Gierl、Wang和Zhou提出的流程圖分析法來(lái)評(píng)估項(xiàng)目的認(rèn)知屬性以及它們之間的層級(jí)關(guān)系[27]．整理出的典型3種正確作答的認(rèn)知流程如圖4．

（1）被試認(rèn)知過(guò)程特點(diǎn)分析及認(rèn)知屬性認(rèn)定．

由口語(yǔ)報(bào)告及認(rèn)知流程圖的認(rèn)知過(guò)程分析學(xué)生解決案例1的基本認(rèn)知過(guò)程特點(diǎn)為：① 問(wèn)題編碼及編碼重組階段：即為對(duì)問(wèn)題的陳述的理解，其中問(wèn)題語(yǔ)義關(guān)系（語(yǔ)義類型）復(fù)雜性和問(wèn)題語(yǔ)言陳述結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性主要影響個(gè)體對(duì)問(wèn)題編碼的語(yǔ)義表征[28]．個(gè)體首先閱讀問(wèn)題陳述，將每句話表征為對(duì)應(yīng)的文本基，如：“豹子每秒跑31 m”指“豹子的速度=31 m/s”；“羚羊每秒比豹子慢9 m”指“羚羊的速度比豹子慢，值小 9”；第三句指“豹子在后，羚羊在前，豹子在追趕羚羊”；“當(dāng)距離羚羊150 m”指“豹子在后，羚羊在前，相距150 m”；“還需多久能追到羚羊”指“豹子在追奔跑的羚羊，從兩者相距150 m到相距0 m需要的時(shí)間”．② 形成問(wèn)題模型階段：是在建立情景結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，運(yùn)用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，形成問(wèn)題數(shù)量結(jié)構(gòu)中各變量之間的具體數(shù)量關(guān)系，即問(wèn)題模型[29]．在案例1中，最主要基本數(shù)量關(guān)系（A3）：路程=速度×?xí)r間；最主要的聯(lián)通架構(gòu)為：豹子的行程比羚羊的行程多150 m，也為串聯(lián)起速度與問(wèn)題目標(biāo)“時(shí)間”的橋梁．③ 制定解題計(jì)劃階段：即對(duì)問(wèn)題模型中聯(lián)通的關(guān)系分步制定實(shí)施計(jì)劃，在此階段某些關(guān)系間將直接運(yùn)用已有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中數(shù)量關(guān)系進(jìn)行類比遷移，即結(jié)構(gòu)表征，對(duì)應(yīng)本例中的豹子的行程(未知)=豹子的速度(已知)×追及時(shí)間(目標(biāo))，羚羊的行程(未知)=羚羊的速度(未知)×追及時(shí)間(目標(biāo))；例 1中羚羊的速度(未知)=豹子的速度(已知)-9，識(shí)別“羚羊的速度”隱含條件（A5）是前提．④ 執(zhí)行計(jì)劃階段：即對(duì)制定的計(jì)劃運(yùn)用策略實(shí)施求解出問(wèn)題階段．在案例1中當(dāng)個(gè)體儲(chǔ)存了追及問(wèn)題的圖式知識(shí)（A4）時(shí)，即追及時(shí)間(目標(biāo))=路程差(150 m)/速度差(9 m/s)=50/3(s)即可；先運(yùn)用非正規(guī)代數(shù)策略（A6）表示出羚羊的速度(隱含條件)=豹子速度(31m/s)-9=22(m/s)；然后運(yùn)用正規(guī)策略表征（A7）“豹子行程(豹子速度×相遇時(shí)間)-羚羊行程(羚羊速度×相遇時(shí)間)=150”，最后運(yùn)用四則運(yùn)算法則（A1、A2）等求解最終結(jié)果．

（2）屬性層級(jí)關(guān)系驗(yàn)證和典型錯(cuò)誤作答分析．

能正確作答該項(xiàng)目的前提是能識(shí)別項(xiàng)目為追及問(wèn)題并且熟知其數(shù)量關(guān)系：路程差=速度差×?xí)r間或情境關(guān)系：路程差=豹子行程-羚羊行程，即圖式知識(shí)（A4）；在此基礎(chǔ)上，能夠運(yùn)用數(shù)量關(guān)系（A3）進(jìn)行基本變換表示并求取目標(biāo)變量“時(shí)間”亦很重要．對(duì)于使用非正規(guī)代數(shù)策略的被試而言，分為將“羚羊比豹子慢10 m/s”直接表征為速度差，和先通過(guò)識(shí)別隱含條件（A5）求取“羚羊的速度”再表征速度差，再運(yùn)用算式表征（A6）列出解答該題的算式．對(duì)于使用正規(guī)代數(shù)策略（A7）的被試而言，熟知圖式知識(shí)（A4）是前提，再對(duì)應(yīng)表征出豹子的行程=21x，羚羊的行程=(21- 11)x，列出方程，運(yùn)用基本（A1）和多步運(yùn)算（A2）計(jì)算出最后結(jié)果．

在錯(cuò)誤報(bào)告該項(xiàng)目的被試中，典型的錯(cuò)誤表現(xiàn)在：（1）能判別是追及問(wèn)題并能列式表征，但操作成分中的運(yùn)算屬性未掌握（A1、A2）；（2）能判別是追及問(wèn)題，但不能列式表征或列方程表征；（3）能判別是追及問(wèn)題，知道行程問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系（A2）不知追及問(wèn)題的圖式知識(shí)（A4），故僅能正確識(shí)別并計(jì)算隱含條件（A5）“羚羊的速度”；（4）無(wú)法作答．

4 教學(xué)啟示

4.1 自上而下測(cè)驗(yàn)的設(shè)計(jì)

數(shù)學(xué)教育的本質(zhì)是構(gòu)建學(xué)生良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，而要構(gòu)建良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在教學(xué)實(shí)踐中，教師需要通過(guò)各種手段來(lái)了解學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，了解其認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的優(yōu)勢(shì)和不足，然后才知道教什么和怎么教以完善學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)[30]．那么如何編制測(cè)驗(yàn)項(xiàng)目以評(píng)價(jià)學(xué)生對(duì)于解代數(shù)應(yīng)用題問(wèn)題解決能力上的掌握情況顯得尤為重要．同樣的測(cè)驗(yàn)分?jǐn)?shù)能反饋被試宏觀能力水平一致，但不足以評(píng)價(jià)被試微觀上能力的差異．認(rèn)知模型是測(cè)驗(yàn)設(shè)計(jì)的基石，基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)模型中認(rèn)知屬性的特征以及屬性間層級(jí)關(guān)系，自上而下設(shè)計(jì)具體考察一個(gè)或幾個(gè)滿足層級(jí)關(guān)系的屬性的項(xiàng)目，以確切反饋學(xué)生每個(gè)項(xiàng)目上屬性的掌握情況，正確評(píng)價(jià)學(xué)生無(wú)法正確解答項(xiàng)目的原因．

4.2 補(bǔ)救性教學(xué)

針對(duì)具體學(xué)生作答測(cè)驗(yàn)的分析，基于認(rèn)知過(guò)程模型，可以從語(yǔ)義表征、情境結(jié)構(gòu)表征、數(shù)量結(jié)構(gòu)表征、結(jié)構(gòu)表征、推理表征、正規(guī)代數(shù)策略表征和非正規(guī)代數(shù)策略表征等 7個(gè)解題認(rèn)知過(guò)程分析學(xué)生表征過(guò)程及表征過(guò)程轉(zhuǎn)化中存在的薄弱點(diǎn)．基于認(rèn)知結(jié)構(gòu)模型，深入探討學(xué)生問(wèn)題解決中其知識(shí)結(jié)構(gòu)的優(yōu)勢(shì)與不足，如具體哪個(gè)認(rèn)知屬性掌握不好，并針對(duì)這些不足，提出補(bǔ)救性教學(xué)建議，因才更因其不足以施教，從而達(dá)到補(bǔ)充學(xué)生頭腦中隱性但可知的所欠缺的知識(shí)，有效有針對(duì)性地提高每個(gè)個(gè)體的問(wèn)題解決能力．

圖4 案例1口語(yǔ)報(bào)告流程分析

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Research on Building the Cognitive Model of Solving Algebra Word Problems

ZHANG Ling, LIU Jing
(School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China)

The research about the cognitive of problem solving has always been a hot topic. In this paper, we focus on the difficult point of teaching content of solving the algebra word problems in mathematic. Through using the cognitive analysis, do comb and review about the existing research about the cognitive of the problem solving, to construct the cognitive process model of algebra word problems. Based on the theory of cognitive psychology and cognitive diagnosis, starting from the two cognitive component of operation and schema, we has precipitated seven cognitive properties of algebra word problems: basic arithmetic operations (A1), muti-step operations (A2), basic quantitative relationship (A3), complex knowledge schemata (A4), recognition the implied condition (A5), formula characterization (A6), formal algebraic strategy (A7), to construct cognitive structure model of algebra word problems; Finally we use oral report method and flow chart analysis to qualitatively evaluate the cognitive properties and the hierarchical relationship between attributes. Therefore, feedback the theory in teaching practice, for teachers’ effective teaching of mathematics word problems and the preparation of the top-down test, and provide the theoretical basis for teachers’ remedial teaching.

algebra word problems; the cognitive process; the cognitive attributes; the cognitive structure

G40-03

A

1004–9894（2017）01–0064–06

[責(zé)任編校：周學(xué)智]

2016–09–29

張玲（1991—），女，湖北黃岡人，碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)教育心理統(tǒng)計(jì)與測(cè)評(píng)研究．劉靜為本文通訊作者．