劉艷雯,胡超芳

(1. 太原工業(yè)學院 自動化系，太原 030008;2.天津大學 電氣與自動化工程學院，天津 300072)

基于收縮理論的高超聲速飛行器控制

劉艷雯1,胡超芳2

(1. 太原工業(yè)學院 自動化系，太原 030008;2.天津大學 電氣與自動化工程學院，天津 300072)

為了使高超聲速飛行器能夠跟蹤預定指令，針對其嚴反饋模型提出了基于收縮理論的控制方法。由于高度和速度相對獨立，因此分開設計控制器。控制器設計過程中,以基于反步法的收縮理論為核心，對于模型中不確定項利用自適應進行在線識別；引入動態(tài)面對虛擬控制輸入進行求導，并利用收縮下的奇異攝動分析降階系統(tǒng)，可以證明降階前后狀態(tài)誤差間的偏差及濾波誤差有界。采用此方法，可證明系統(tǒng)狀態(tài)半全局收斂，跟蹤誤差及自適應估計誤差有界。

高超聲速飛行器；收縮理論；動態(tài)面；自適應

0 引言

高超聲速飛行器因其速度快、突防能力強、可重復利用等優(yōu)點，近年來得到各國研究者的關注。常用的控制方法主要有線性控制[1-2]、非線性控制[3-4]、魯棒控制[5]和自適應控制[6]。其中，由于模型的參數(shù)不確定性，在控制過程中利用自適應來在線識別參數(shù)具有很大的必要。文獻[6-7]采用自適應或者模糊自適應對不確定項進行在線逼近，模糊自適應的優(yōu)勢在于不需要提前預知模型的具體信息。但是不論應用何種自適應方法，對其進行求導都存在很大難度，因此可采用動態(tài)面[8]、指令濾波[9]等方法來實現(xiàn)，其中文獻[8]為了增強系統(tǒng)魯棒性，使用擴張狀態(tài)觀測器對不確定狀態(tài)進行準確估計。近年來，收縮理論[10]成為研究非線性系統(tǒng)軌跡收斂性的一個新方法，它區(qū)別于常用的李雅普諾夫方法來進行控制器設計及穩(wěn)定性分析。其優(yōu)點在于，即使平衡點位置改變?nèi)匀荒軌蚺袆e系統(tǒng)穩(wěn)定性，另外還能有效拓寬濾波參數(shù)的選取范圍[11]。

本文在文獻[11]的基礎上，針對高超聲速飛行器模型提出了基于收縮理論的控制方法。其中，利用基于反步法的收縮理論作為整體設計方案；然后利用自適應在線識別不確定參數(shù)，并且為了簡化控制算法使用了動態(tài)面控制。通過收縮理論分析穩(wěn)定性，可保證閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)收斂以及系統(tǒng)跟蹤誤差和自適應估計的有界性。系統(tǒng)仿真結(jié)果可證明所提方法的可行性。

1 飛行器縱向模型及其轉(zhuǎn)化

1.1 飛行器模型

本文所采用的高超聲速飛行器模型為縱向巡航段模型[12]：

(1)

(2)

(3)

(5)

發(fā)動機模型為

(6)

式中V、γ、h、α、q分別為速度、航跡角、高度、攻角和俯仰角速率；m、Iyy、μ、ξ、ωn分別為飛行器質(zhì)量、俯仰轉(zhuǎn)動慣量、引力常數(shù)、發(fā)動機阻尼和自然頻率；β為油門開度;βc為發(fā)動機油門開度設定值；T、L、D、Myy分別為推力、升力、阻力、俯仰力矩，具體表達式可參閱文獻[4]。

1.2 模型轉(zhuǎn)化

模型中高度h主要由升降舵偏轉(zhuǎn)角δe控制，速度V由油門開度βc控制，因此模型可劃分為速度子系統(tǒng)(1)和高度子系統(tǒng)(2) ～ (5)，并為2個子系統(tǒng)分別設計控制器。

為了使用反步法，首先需要將高度子系統(tǒng)轉(zhuǎn)化成嚴反饋形式，為此做以下假設：

假設1 式(3) 中的推力項Tsinα相對于升力L非常小, 可忽略。

基于以上假設，可得嚴反饋形式[13]如下：

(7)

其中，Z1=[V,γ],Z2=[V,γ,α],Z3=[V,α,q],Z41=[V,γ,α],Z42=[V,γ,α,q]。

2 控制器設計

2.1 相關定理引入

定義1(虛位移) 考慮以下非線性系統(tǒng)：

?(υ,t)

(8)

引理1[14](收縮性) 對于系統(tǒng)(8)，?(υ,t)是非線性光滑函數(shù)，如果起始于不同初始條件的任意2條軌跡是相互指數(shù)收斂的，那么系統(tǒng)是收縮的。收縮性的一個充分條件是：如果存在某種矩陣測度μ，對于任意υ,t>0，都有λ>0使得μ(??(υ,t)/?υ)≤-λ成立，那么系統(tǒng)是收縮的，λ稱作收縮率。

本文中判定系統(tǒng)收縮性的矩陣測度為

式中λmax(·)為矩陣最大特征值。

如果系統(tǒng)采用的連接方式為分層連接，則系統(tǒng)所具有的虛擬動態(tài)如下：

(9)

如果子矩陣F11和F22是一致負定的，且F12有界，那么整個系統(tǒng)的任意一條軌跡都是指數(shù)收斂的。

對于標準奇異攝動系統(tǒng)：

(10)

定義2 (部分收縮) 對任意z及時間t，如果虛擬系統(tǒng)：

(11)

是收縮的，就稱系統(tǒng)(10)對x是部分收縮的。

同樣，對任意x和ε，如果虛擬系統(tǒng)：

(12)

是收縮的，則稱系統(tǒng)(10)對z是部分收縮的。

引理2[11]定義全局可微函數(shù)γ(x):=γ(x,0)，如果系統(tǒng)(10)滿足下述條件：

(2)f(x,z,t)在z域中關于常數(shù)α是Lipschitz連續(xù)的，對x也是部分收縮的，λx是(11)的收縮率。

上述條件若成立，且γ(x)在x域中關于常數(shù)αγ也是Lipschitz連續(xù)的，記xγ是如下降階系統(tǒng)的一個解：

(13)

那么系統(tǒng)(10)的任意軌跡滿足：

‖x(t)-xγ(t)‖ ≤χx‖x(0)-xγ(0)‖e-λxt+

ε(C1(e-λxt-e-(λz/ε)t)+

C2(1-e-λxt)).?t≥0

(14)

‖z(t)-γ(xγ(t))‖ ≤ ‖z(0)-γ(x(0))‖χze-(λz/ε)t+

(d+K)χz/γzε+

αγχx‖x(0)-xγ(0)‖e-λxt+

αγε(C1(e-λxt-e-(λz/ε)t)+

C2(1-e-λxt)).?t≥0

(15)

其中

式中χx、χz分別為Θx和Θz條件數(shù)的上界。

2.2 高度子系統(tǒng)控制器設計

針對轉(zhuǎn)化模型(7)，設計控制器使得輸出狀態(tài)h、V能夠跟蹤指令hd、Vd。設計過程中，高度和速度兩子系統(tǒng)相對獨立，可分開設計控制器。

由式(7)可知，輸出狀態(tài)h是由δe控制的四階系統(tǒng)，并且在高度子系統(tǒng)設計中認為速度V是常數(shù)。從式(2)可知，高度和航跡角狀態(tài)是一一對應的，故可轉(zhuǎn)化得到航跡角指令γd：

(16)

其中，ki,i=h,1,2,3,4是正的設計參數(shù)。

第一步：定義誤差面z1=γ-γd，求導后可得

(17)

其中，g1僅與V相關，因此結(jié)合其表達式可認為g1為正常數(shù)；fi(·)為未知的非線性函數(shù)，因此利用自適應進行在線逼近：

(18)

(19)

(20)

(21)

第二步：對誤差面z2=α-αd求導后可得

(22)

(23)

(24)

(25)

第三步：對誤差面z3=q-qd求導后可得

(26)

式中 g3為正常數(shù)。

(27)

將式(27)帶入后可得如下形式：

(28)

2.3 速度子系統(tǒng)控制器設計

速度子系統(tǒng)僅為一階系統(tǒng)，因此利用收縮理論進行控制相對簡單。定義速度跟蹤誤差z4=V-Vd,求導后可得

(29)

(30)

將式(30)帶入后可得如下形式：

(31)

3 穩(wěn)定性證明

對于高度子系統(tǒng)，令fi(Zi)滿足：

式中l(wèi)i為正常數(shù)。

通過調(diào)節(jié)參數(shù)使得

負定成立，即使得ηi<1/(ki+li),i=1,2，因此式(20)、式(24)對yi是部分收縮的。

(32)

i=1,2的一個解，那么由引理2可得

‖zi(t)-ziγ(t)‖≤‖zi(0)-ziγ(0)‖e-kit+

e-kit∏i+τi(Ci1Ei1+Ci2Ei2)

(33)

‖yi(t)‖≤‖yi(0)‖e-(Li/τi)t+Miτi

(34)

由于最后一階子系統(tǒng)不包含濾波，因此無需采用奇異攝動分析，故第n階子系統(tǒng)的原系統(tǒng)軌跡與降階系統(tǒng)軌跡是同一條軌跡，即z3(t)≡z3γ(t)。

而對于速度子系統(tǒng)，由于其是一階的，類似于以上分析很容易證明z4(t)≡z4γ(t)。

對于每一步降階子系統(tǒng)進行整理，可得變換后的降階系統(tǒng)綜合形式：

?Zγ

(35)

其中

?

可看出降階后系統(tǒng)呈分層結(jié)構(gòu)，選取適當?shù)膮?shù)ki,i=1,2,3使μ(?)≤-λ1,(λ1>0)成立。結(jié)合引理1，可知降階后的系統(tǒng)狀態(tài)是收縮的，系統(tǒng)軌跡漸近收斂到期望軌跡，即降階系統(tǒng)的跟蹤誤差漸近收斂到0。

綜上，則式(36)成立：

(36)

此外，高度子系統(tǒng)第一階、最后一階動態(tài)和速度動態(tài)的自適應律屬于典型的收縮自適應控制，參考以下引理。

引理3如果系統(tǒng)滿足以下虛擬動態(tài)：

自適應可構(gòu)成以下形式：

(37)

綜上可得，原系統(tǒng)狀態(tài)是半全局收斂的，且收斂域為以期望軌跡為中心的很小范圍內(nèi)。應用以上方法，可拓寬濾波參數(shù)范圍，同時可保證濾波器誤差以及自適應估計誤差的半全局有界性，進而保證了原閉環(huán)系統(tǒng)跟蹤誤差的有界性。

4 仿真分析

對高超聲速飛行器模型進行數(shù)值仿真，狀態(tài)初始值設為V=4.59 km/s;α=0.031 5;γ=0;q=0;h=33.53 km。高度和速度指令分別為0.61 km和0.03 km/s的階躍信號。主要控制參數(shù)選取為:kh=1,k1=10,k2=6,k3=4,k4=0.5,η1=0.02,η2=0.02。按照本文所提方法設計控制器，仿真結(jié)果如圖1～圖4。

圖3、圖4表明了輸入信號油門開度和升降舵偏角的變化情況。從圖中可知，油門開度和升降舵偏角處在合理范圍內(nèi)變化，控制結(jié)果基本可以保證控制要求。

本方法區(qū)別于李雅普諾夫穩(wěn)定性分析方法，除了控制器設計更加簡單、計算速度更快以外，控制效果也有所改善。圖5、圖6為本文所提方法與經(jīng)典李雅普諾夫方法(復現(xiàn)文獻[4]仿真結(jié)果)下速度和高度的跟蹤對比圖，從圖中可知，基于擴張理論的控制方法控制精度更高。

5 結(jié)論

(1)本文所提控制方法利用基于收縮理論的自適應方法在線估計系統(tǒng)中的不確定參數(shù)，結(jié)合動態(tài)面方法在減少計算量的同時大大提高了運算速度，經(jīng)仿真驗證該方法控制精度可達到控制要求。

(2)以收縮為核心的控制理論與方法，將傳統(tǒng)穩(wěn)定性分析轉(zhuǎn)換成對矩陣的運算，在保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性的同時使得控制器設計更加簡單，為系統(tǒng)分析與設計提供了思路。

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(編輯：呂耀輝)

Contraction theory-based control for hypersonic vehicle

LIU Yan-wen1,HU Chao-fang2

(1.School of Automation,Taiyuan Institute of Technology,Taiyuan 030008,China;2.School of Electrical Engineering and Automation,Tianjin University,Tianjin 300072,China)

In order to track a predetermined instruction for the hypersonic vehicle,a control method was proposed for its strict feedback model based on the theory of contraction.Due to the relative independence of attitude and speed subsystems,controllers was designed separately.During the design process,on the basis of the contraction theory,adaptive control was adopted to identify the model uncertainty online.Moreover,the contraction-based singular perturbation analysis is used to reduce the subsystem dynamics.By analyzing the contraction-based robustness of the hierarchical interconnection of the subsystems,it can be proved that the differences of the state errors between the original and the reduced subsystems and the differences of the filters are explicitly bounded.With this method introduced,the total system state of the hypersonic vehicle can converge to a ball centered about the desired trajectory semi-globally.

hypersonic vehicle；contraction theory；dynamic surface control；adaptive control

2016-07-27；

2016-10-14。

太原工業(yè)學院青年科學基金(2015LQ08);天津市自然科學基金 (12JCZDJC30300)。

劉艷雯(1987—)，女，碩士，從事飛行器的魯棒控制研究。E-mail：azhenwen@163.com

V448

A

1006-2793(2017)02-0264-05

10.7673/j.issn.1006-2793.2017.02.023