寇瑩，王寶壽，陳瑋琪

（中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇無錫214082）

二維物體入水砰擊問題的理論方法研究

寇瑩，王寶壽，陳瑋琪

（中國船舶科學(xué)研究中心，江蘇無錫214082）

入水問題的研究在水動力學(xué)和海洋工程等領(lǐng)域有著重要的現(xiàn)實意義。文章采用Wagner模型的思想，將其中的相當(dāng)平板理論改為橢圓擬合，得到了不同斜升角的二維楔形體勻速入水時的濕表面無量綱壓力分布和砰擊力，并與其它理論方法和數(shù)值計算結(jié)果相比較。橢圓擬合方法得到的壓力分布在楔形體斜升角較小時與數(shù)值計算結(jié)果吻合良好，砰擊力與數(shù)值計算結(jié)果在較大斜升角的情況下仍然很接近，比其它理論方法的適用范圍更廣，可以作為工程上估算砰擊力大小的一種新方法。

入水砰擊；Wagner方法；橢圓擬合

0 引言

入水現(xiàn)象在自然界中普遍存在，也是工程實際中經(jīng)常遇到的問題，例如船舶航行時船艏與水面的拍擊、返回艙水面著落、水上飛機的降落以及魚雷入水等。砰擊產(chǎn)生的水動力載荷會對結(jié)構(gòu)物造成不利影響，引起結(jié)構(gòu)物的變形和破壞，甚至導(dǎo)致嚴重的事故。因此，在工程設(shè)計中需要對入水砰擊問題重點關(guān)注，許多學(xué)者也對該問題進行了分析和研究。最早關(guān)于入水砰擊問題的研究是1929年von Karman[1]針對水上飛機降落問題的求解，將實際工程問題簡化為二維物體入水模型，并將物體入水的附加質(zhì)量用無限頻率下同等寬度的平板在無界流場中的附加質(zhì)量代替，利用動量守恒定律求得砰擊力。由于該方法不考慮砰擊時水面的變化，因此得到的砰擊力不夠準(zhǔn)確。Wagner[2]發(fā)展了入水砰擊理論，在勢流理論框架下采用相當(dāng)平板理論，并計入自由面升高，得到入水物體濕表面的壓力分布和總砰擊力。該理論的重點在于考慮了入水過程中的液面升高，對物體與流域的接觸范圍給出了修正，并且在二維軸對稱情況下與實驗數(shù)據(jù)能夠較好地吻合，為后續(xù)的許多理論模型奠定了基礎(chǔ)。

由于Wagner理論將實際入水問題做了許多簡化，因此存在一定的局限性，比如只適用于入水初期階段，而且物體入水深度與水平寬度相比為小量的情況。一些學(xué)者對該理論的不足進行了改進，Armand和Cointe[3]利用匹配漸近方法在接觸區(qū)域邊緣附近進行了修正；Logvinovich[4]通過在速度勢分布的表達式中增加附加項使得接觸區(qū)域邊界的流速有界，可以較好地預(yù)報小斜升角楔形體入水的壓力分布和砰擊力結(jié)果；Korobkin[5]對Logvinovich方法作了進一步改進，在計算壓力分布時保留了與斜升角有關(guān)的二階項，得到MLM（Modified Logvinovich Model）方法，可以適用于斜升角更大的楔形體。Zhao等人[6]采用半解析模型，僅簡化自由面的邊界條件，液面隆起高度依然采用Wagner方法，結(jié)合邊界元方法求解邊值問題，考慮了伯努利方程的非線性，得到自由面的形狀以及壓力分布情況。Scolan和Korobkin[7]將Wagner理論拓展到三維入水問題中，對軸對稱鈍體Wagner問題進行漸近分析得到解析解。將Wagner理論與先進的數(shù)值計算方法相結(jié)合可以求解更復(fù)雜的流場方程和邊界條件。

本文借用Wagner模型中以平板代替實際入水物體的思想，以垂直勻速入水的二維楔形體為研究對象，將楔形體用橢圓代替，浸濕表面的速度勢近似為橢圓繞流的速度勢分布，進而求得壓力分布和砰擊力，并將對不同斜升角的楔形體的計算結(jié)果與其他方法比較，驗證橢圓擬合方法的可靠性。

1 入水理論基礎(chǔ)

物體入水是一個復(fù)雜的現(xiàn)象，分析該問題需要進行合理的簡化，雖然不可能得到浸入過程中流體流動的所有細節(jié)，但是理論模型降低了計算的難度并且保證了結(jié)果具有一定的精確度。由于結(jié)構(gòu)物入水瞬間會產(chǎn)生很大的砰擊力，該過程持續(xù)時間較短，剪切流動對流場的作用很小，邊界層厚度與結(jié)構(gòu)物的尺度相比為小量，因此流體的粘性作用可以忽略不計，該問題可以在勢流理論框架下進行研究?；趧萘骼碚摰臄?shù)學(xué)模型與實際問題相比得到了很大的簡化，也便于解析解和數(shù)值計算結(jié)果的求取。

假設(shè)流體無粘性、不可壓縮，并且流動無旋，則流場中速度勢φ滿足Laplace方程

根據(jù)動量守恒定律可以得到伯努利方程

其中：p為壓力；ρ為流體密度；g為重力加速度；pa為環(huán)境大氣壓力，對流場的求解沒有影響。由于結(jié)構(gòu)物的運動速度較大而砰擊時間很短，砰擊力產(chǎn)生的加速度遠大于g，因此伯努利方程中的重力作用項可以忽略。假設(shè)自由面上的壓力恒為大氣壓，則可以忽略pa， 得到自由面動力學(xué)邊界條件

自由面運動學(xué)條件為

在物面上滿足條件：

2 Wagner模型及其改進方法

圖1 二維楔形體入水示意圖Fig.1 Sketch of two-dimensional wedge entering water

Wagner模型假設(shè)物體入水深度與水平寬度相比為小量，采用了von Karman模型的相當(dāng)平板假設(shè)，并在此基礎(chǔ)上考慮了自由面升高的影響，平板半寬為c（）t，如圖1所示。以平板速度勢代替物體浸濕部分的速度勢分布，如下式所示：

將速度勢φ代入上式即可得到物面上的壓力分布

在浸濕寬度內(nèi)對壓力進行積分可得楔形體所受的砰擊力

對于勻速入水情況，第二項為零。入水半寬c（）t可以根據(jù)Wagner條件求得：

其中函數(shù)f（x）表示對于斜升角為β的楔形體，f（x）=xtan β，所以

Wagner采用平板繞流速度勢代替楔形入水，在楔形體濕表面x=±c處速度趨于無窮大，壓力也趨于無窮大，這顯然不符合實際情況，因此根據(jù)Wagner模型得到的砰擊力偏大，僅適用于較小斜升角（≤30°）的楔形體入水砰擊力估算。對于Wagner模型的改進方法中，比較典型的是在速度勢分布的表達式中添加泰勒展開得到的高階項，并且考慮伯努利方程中非線性項的影響，使接觸區(qū)域邊緣附近的流速有界，例如OLM（Original Logvinovich Model），MLM（Modified Logvinovich Model）方法。MLM方法[5]將原始Wagner模型速度勢表達式在物面處進行泰勒展開，增加了其一階項，得到新的速度勢分布，這樣使得MLM方法適用于更大斜升角的楔形體入水砰擊力的求解。

若認為β為小量，忽略上式中關(guān)于β的二階項，則得到OLM方法求解壓力的表達式[5]：

兩種方法求得的壓力在接觸區(qū)域邊界的值趨于負無窮，在計算砰擊力時只考慮壓力為正的部分

其中：D（t）表示壓力為正的區(qū)域，對于Wagner模型即為-c（t）＜x＜c（t），對于OLM和MLM方法則要計算p=0時的x值，得到D（t）的范圍。OLM方法在斜升角較大時壓力為正的區(qū)域與真實接觸區(qū)域相比較小，積分得到的砰擊力不夠準(zhǔn)確，因此適用的斜升角的范圍相對較小，一般小于35°；理論上MLM方法在β＜arctan（π）≈72°范圍內(nèi)可以給出砰擊力的合理預(yù)報。

3 橢圓擬合方法

橢圓擬合方法與平板擬合類似，將入水物體用橢圓來代替，用橢圓繞流的速度勢分布表示物體浸濕表面的速度勢，進而得到濕表面的壓力分布和結(jié)構(gòu)物所受的砰擊力。與Wagner模型相比，橢圓擬合方法在物體表面與液面交界處流速有界，壓力為有限值。圖2為橢圓擬合示意圖。

圖2 橢圓擬合示意圖Fig.2 Sketch of ellipse fitting

橢圓形狀與物體形狀有關(guān)，對于楔形體則與其斜升角相關(guān)。橢圓形狀的確定沿用Wagner模型的思想，半長軸a等于入水半寬，即由公式（11）得到的c（）t。半短軸的長度b由半長軸a和斜升角β確定，β越大，物體與液面交界（即x=±a）附近流速越小，b與a的比值應(yīng)當(dāng)越大。為了使理論模型交界處附近壓力盡量符合實際情況，b與a的關(guān)系式如下：

橢圓繞流復(fù)勢[8]為

復(fù)勢對時間t的偏導(dǎo)數(shù)為

橢圓擬合中長軸隨時間的增加與Wagner模型入水半寬的增加相同，可以模擬楔形體入水時浸濕區(qū)域不斷增大的情況，而公式（20）壓力求解中包含了短軸增加的速度，相當(dāng)于增加了物體的入水速度，導(dǎo)致壓力偏大。根據(jù)公式（8）可知，Wagner方法得到的浸濕區(qū)域中心無量綱壓力為k2，與P0′相差即短軸變化帶來的壓力。因此，為了壓力求解更接近實際楔形入水的情況，應(yīng)該去除短軸增加速度的影響，修正后的壓力分布公式如下：

對上式進行積分可得到砰擊力的無量綱值，即

圖3 b＞a時橢圓擬合示意圖Fig.3 Sketch of ellipse fitting when b＞a

復(fù)勢可表示為

對時間t的偏導(dǎo)數(shù)為

進一步求得的無量綱壓力分布結(jié)果與公式（20）相同，因此b＞a時依然可以通過公式（22）和（23）求得壓力分布和砰擊力。

4 計算結(jié)果分析

圖4給出不同方法計算得到的六種不同斜升角的楔形體無量綱入水壓力分布曲線。

其中（a）、（b）、（c）中的數(shù)值計算曲線采用的是許國冬[9]的全非線性數(shù)值解，（d）、（e）、（f）的數(shù)值計算曲線采用的是Zhao和Faltinsen[10]的數(shù)值計算結(jié)果。從圖中可以看出，β較?。?0°-30°）的情況下接觸區(qū)域中心（x=0）處的壓力最小，在接觸邊緣附近達到最大值，β較大（40°-60°）的情況下接觸區(qū)域中心處的壓力最大。在β=10°時幾種方法得到的壓力分布曲線都十分接近，隨著β的增加，Wagner方法的結(jié)果與其他方法的差別逐漸增加，在β=30°時的壓力已經(jīng)明顯大于其他方法，反映出該方法只適用于小斜升角的楔形體入水，在β＞30°的情況下并未將其計算結(jié)果畫入圖像中進行比較。

由于理論方法對實際問題做了較多的簡化，與數(shù)值計算相比無法反映入水過程的非線性情況，壓力分布的結(jié)果可靠度不高。橢圓擬合和MLM方法的壓力分布結(jié)果與數(shù)值計算結(jié)果在β≥30°時已經(jīng)有較大的偏差，特別是MLM方法在β≥40°時的曲線形狀與數(shù)值計算明顯不同，反映的壓力分布規(guī)律相差較大，而橢圓擬合的壓力分布的趨勢更接近數(shù)值計算，與實際情況更接近。

圖4 不同斜升角的楔形體入水壓力分布結(jié)果Fig.4 Non-dimensional pressure distribution of wedges of different deadrise angles entering water

表1為本文橢圓擬合方法、MLM方法、Zhao和Faltinsen[10]以及許國冬[9]數(shù)值計算得到的無量綱砰擊力的比較。從壓力分布圖中可以看出Wagner方法計算所得結(jié)果偏大，相應(yīng)的砰擊力也比其他方法大，因此該方法的砰擊力結(jié)果未列入表1。

表1 入水砰擊力結(jié)果Tab.1 Hydrodynamic force of water impact

從表1中可以看出，在楔形體斜升角為10°-60°范圍內(nèi)，橢圓擬合與數(shù)值計算的結(jié)果都比較接近；β較小（10°-30°）時砰擊力比MLM方法稍大，在β較大（40°-60°）時與MLM方法的結(jié)果相比更接近數(shù)值計算結(jié)果。結(jié)合圖4中β在40°-60°時的兩種方法的壓力分布情況，橢圓擬合的壓力分布和砰擊力都比MLM方法更準(zhǔn)確。以工程應(yīng)用的角度來看，橢圓擬合方法適用于斜升角在較大范圍內(nèi)的楔形體入水砰擊力的估算，結(jié)果比數(shù)值計算稍大，與MLM方法相比更有優(yōu)勢。

5 結(jié)論

Wagner方法奠定了入水砰擊問題的理論基礎(chǔ)，本文參考該方法中的相當(dāng)平板理論，將入水物體用橢圓代替，橢圓形狀根據(jù)Wagner方法求得的物體入水寬度確定。橢圓擬合使得物體與液面接觸邊緣附近的流速為有限值，改善了Wagner方法的缺陷，而且不會出現(xiàn)其他Wagner改進方法（OLM，MLM）中接觸區(qū)域邊緣壓力趨于負無窮的情況。本文計算了斜升角為10°-60°的二維楔形體勻速入水的壓力分布和總砰擊力，并與其他理論方法和數(shù)值計算結(jié)果對比。比較結(jié)果表明，斜升角較小時，理論方法的壓力分布與數(shù)值計算結(jié)果相差較小，斜升角逐漸增加時差距也逐漸明顯，但是在大斜升角情況下橢圓擬合的結(jié)果比MLM方法更接近數(shù)值結(jié)果；從砰擊力結(jié)果上看，橢圓擬合與數(shù)值計算結(jié)果吻合良好，在斜升角較大的情況下比MLM方法更為準(zhǔn)確，適用范圍受斜升角限制更小，比數(shù)值計算方法更為簡便，可以作為工程上估算物體入水砰擊力的一種方法。

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Astudy of theoretical method for two-dimensional water impact problems

KOU Ying,WANG Bao-shou,CHEN Wei-qi
(China Ship Scientific Research Center,Wuxi 214082,China)

Water impact problems have practical importance in several fields such as ship hydrodynamics and ocean engineering and received considerable attention.Wagner created the basis of the applied theory of water impact and his concepts and ideas are still in use.This paper refers to the idea of Wagner model which substitutes the entering body with a flat plate.Instead,the flat plate fitting is replaced by ellipse fitting.This method is used to analyze the hydrodynamic force and pressure distribution of two-dimensional wedges of different deadrise angles.The results are compared to those obtained by other theoretical and numerical methods.Pressure distribution shows good agreement with numerical results when the deadrise angle is small.The hydrodynamic force is also closed to numerical results and more accurate even when the deadrise angle is large.This method can apply to entering bodies of a large range of deadrise angles and has a good value in engineering application of estimating hydrodynamic forces during water impact.

water impact;Wagner model;ellipse fitting

O352

A

10.3969/j.issn.1007-7294.2017.04.001

1007-7294（2017）04-0383-07

2016-09-22

寇瑩（1994-），女，碩士研究生；王寶壽（1963-），男，研究員。