很多數(shù)學知識之間都具有一定的邏輯關(guān)系，或者存在一定的相同元素，因此，在學習新知識時，從原有的知識結(jié)構(gòu)中提取與新知識聯(lián)系最緊密的知識，讓新、舊知識在頭腦中發(fā)生積極地相互作用，新的知識就能更好地融入學習者原有的知識結(jié)構(gòu)中，并形成新的知識結(jié)構(gòu)，同時新知識還能夠?qū)εf知識產(chǎn)生影響。本文以北師大版九年級下冊“二次函數(shù)的應用（1）”為例，談談遷移在教學中的運用，以及它對學生數(shù)學學習的影響。

一、教學設(shè)計

1.教學背景。

教材內(nèi)容分析二次函數(shù)是描述變量之間關(guān)系的重要數(shù)學模型，本課內(nèi)容是在學生學習了二次函數(shù)圖像、性質(zhì)后展開的后續(xù)學習，也可為探索二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系奠定基礎(chǔ)。其重點是讓學生從實際問題中建立二次函數(shù)模型，并利用二次函數(shù)的最值解決實際問題，如以最大利潤為代表的問題，提升學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力，發(fā)展數(shù)學模型思想。

學情分析通過北師大版九上第二章“一元二次方程”的學習，學生已經(jīng)掌握了列一元二次方程解應用題的方法，大部分學生能夠熟練將利潤類型的應用題通過建立方程模型求解，但仍有一部分學生暫時不能理清利潤問題的數(shù)量關(guān)系。另外，通過二次函數(shù)圖像性質(zhì)的學習，學生已經(jīng)具備求二次函數(shù)最值問題的能力，能夠根據(jù)圖形對變量的變化情況進行初步討論。

2.教學目標及教學重、難點。

教學目標能夠?qū)嶋H問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，建立二次函數(shù)模型，明確二次函數(shù)表達式的最值與實際問題的最值對應關(guān)系。在遷移學習中體驗數(shù)學的整體性，體會模型思想，增強學好數(shù)學的信心。

教學重點建立二次函數(shù)最大利潤問題的數(shù)學模型，并求出實際問題的最大值。

教學難點正確理解題意，從實際問題中抽象出二次函數(shù)最大利潤問題的數(shù)學模型。

3.教學流程。

（1）回顧問題，激發(fā)遷移。

情境：某商店購進一批單價為20元的日用品，如果以單價30元銷售，那么一個月內(nèi)可售出400件。根據(jù)銷售經(jīng)驗，提高單價會導致銷售量減少。即銷售單價每提高1元，銷售量相應減少20件。設(shè)每件單價提高x元，

問題①：要想每月獲得利潤4500元，根據(jù)題意可列方程：____。

問題②：要想每月獲得利潤4420元，根據(jù)題意可列方程：____。

問題③：要想每月獲得利潤4180元，根據(jù)題意可列方程：____。

問題④：通過以上問題，請說說你發(fā)現(xiàn)了什么？

設(shè)計意圖：復習用一元二次方程解決以利潤為代表的應用題，并在此過程中突破“當銷售單價變化時，銷量與單價之間的關(guān)系”這個難點，感受總利潤與單價之間的函數(shù)關(guān)系。設(shè)計連續(xù)三個具有相同元素的重疊問題，增大遷移量，幫助學生實現(xiàn)從方程模型到函數(shù)模型的遷移。

（2）引入函數(shù)，實現(xiàn)遷移。

問題⑤：假設(shè)你是該商店的老板，從盡量獲取利潤的角度出發(fā)，你會做些什么？

設(shè)計意圖：從具體利潤抽象出變量利潤，并實現(xiàn)利潤問題最值與函數(shù)最值之間的對應關(guān)系；體會二次函數(shù)是解決一類最優(yōu)化問題的數(shù)學模型，感受數(shù)學在現(xiàn)實生活中的運用。根據(jù)問題④建立的總利潤與提價之間的模型（30+x-20）×（400-20x）=y，自然將方程模型遷移成函數(shù)模型，同時理解二次函數(shù)最值與實際問題中最大利潤的聯(lián)系。

（3）當堂練習，鞏固遷移。

練習：某商店購進一批單價為8元的商品，如果以單價10元銷售，那么每天可銷售100件。經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，這種商品每提高1元，銷售量相應減少10件。

①將銷售價提高多少元，可使每天所獲利潤為320元；

②將銷售價提高多少元，才能使每天所獲利潤最大？最大為多少？

③由于供貨量不足，采用限量供應的辦法，每天供應50件，要想獲得最大利潤，應將價格提高多少，才能使每天所獲利潤最大，最大為多少？

④若要每天所獲利潤不低于350元，該商品單價的取值范圍是多少？

設(shè)計意圖：問題①②為基礎(chǔ)題，面向全體學生；問題③④是面向中上層學生，要求學生結(jié)合二次函數(shù)圖像性質(zhì)分析自變量的取值范圍對函數(shù)最值的影響，體會實際生活中種種條件的限制，培養(yǎng)學生的數(shù)學應用意識。

（4）新舊對比，感悟遷移。

提升：通過引例和練習，對比方程應用題和函數(shù)應用題，你能發(fā)現(xiàn)什么？

設(shè)計意圖：學生通過上兩個環(huán)節(jié)的學習，對比兩種應用題的相同元素可得：當利潤是具體的數(shù)值時，應建立方程類應用題模型，知識結(jié)構(gòu)圖如圖1；當所求的利潤是最值時，應建立函數(shù)關(guān)系模型，知識結(jié)構(gòu)圖如圖2。

（5）分層作業(yè)，鞏固知識。

作業(yè)：某果園有100棵橙子樹，每一棵樹平均結(jié)600個橙子。現(xiàn)準備多種一些橙子樹以提高產(chǎn)量，但是如果多種樹，那么樹之間的距離和每一棵樹所接受的陽光就會減少。根據(jù)經(jīng)驗估計，每多種一棵樹，平均每棵樹就會少結(jié)5個橙子。

①如果想要果園橙子總產(chǎn)量是60300個，應該增種多少棵橙子樹？

②如果想要果園橙子總產(chǎn)量最大，應該增種多少棵橙子樹？

③果園增種多少棵果樹，可以使得橙子的總產(chǎn)量在60400個以上？

設(shè)計意圖：問題①②③綜合了列一元二次方程解應用題、二次函數(shù)最值應用題、受自變量取值范圍影響的二次函數(shù)最值問題。鞏固不同層次的學生的學習效果。

二、幾點思考

1.基于學習認知規(guī)律，巧用認知遷移。

心理學研究表明，越是具有普遍意義的知識，越容易保持和遷移。函數(shù)學習的普遍性、系統(tǒng)性特征是很突出的，在教學中要基于認知規(guī)律，抓住知識的內(nèi)在相同元素，找準學情，巧妙地把方程的知識遷移到函數(shù)問題中，同時把函數(shù)問題具體化為方程問題，能夠相互促進和補充，對數(shù)學學習能起事半功倍的效果。

就本節(jié)課而言，列一元二次方程解應用題是學生原有、熟悉的知識，而二次函數(shù)的最值問題是新的內(nèi)容，但是二者的思考方法、技能訓練有相當大的重疊。在教學中，把一元二次方程應用題的解題思路、方法遷移到函數(shù)應用題中，同時把函數(shù)應用題化為方程應用題，是對學習方法的提升。對于解題方法、技能的遷移，從抽象到具體，總結(jié)成兩個知識結(jié)構(gòu)圖，強化學習遷移，也深化了學生對學習遷移的形象理解，從數(shù)學解題方法上實現(xiàn)數(shù)的理解與形的認知相融合。

2.把握前后聯(lián)系，實現(xiàn)模型遷移。

筆者曾嘗試過在兩個班級中對本課時進行與教科書相同步驟的教學，即將二次函數(shù)應用題直接拋給學生，讓學生經(jīng)過思考、討論后，形成解題思路，然后教師分析講解，幫助學生總結(jié)提升。在此傳統(tǒng)教學方法下，優(yōu)秀的學生能通過重新建構(gòu)函數(shù)模型知識結(jié)構(gòu)，把握最值問題的解題方法。有一部分基礎(chǔ)一般的學生，也會生搬硬套解題套路。比如設(shè)未知數(shù)的典型錯誤是，“設(shè)價格提升x元/件，最大利潤為y元”，這未能理解題意中“總利潤、銷售單價同時作為變量”的關(guān)系，照搬數(shù)學模型進行答題。甚至出現(xiàn)部分學生不設(shè)利潤y元，因為他們可以理解成一個未知數(shù)，或者兩個平行的未知數(shù)關(guān)系（二元一次方程組解應用題），但很難掌握兩個變量的二次函數(shù)模型。而采用本課時學習遷移的教學策略后，沒有一個學生出現(xiàn)生搬硬套數(shù)學模型的問題，更可喜的是只要學生能夠解方程問題，就可以理解總利潤也是一個變量，兩者之間是一種二次函數(shù)的數(shù)量關(guān)系，從而能夠正確建立最值問題的函數(shù)模型。把握前后聯(lián)系，重視知識的整體教學效果在此較為顯著。

3.用好相同元素，完善結(jié)構(gòu)遷移。

學習遷移有賴于情境之間的相同元素。在教學中找準學情，引導學生將已有的知識結(jié)構(gòu)遷移到新的知識結(jié)構(gòu)中，同時讓新的知識有效增強對舊知識的理解，歸納新舊知識中的共同的元素，促進新舊知識的交互作用，有利于完善學生的認知結(jié)構(gòu)。

事實上，數(shù)學學習方法的滲透是一項長期工程，我們不能希望僅僅通過一節(jié)課就能使學生掌握學習遷移，就能完善學生的認知結(jié)構(gòu)，而是應該讓學習遷移貫穿在每一塊具有相同元素的知識體系中，引導學生用好知識版塊中的相同元素，建立完整的知識結(jié)構(gòu)，形成整體化的數(shù)學觀。在初中數(shù)學里，二元一次方程組與一次函數(shù)，分式的意義與分式方程解的存在性，一元二次方程與二次函數(shù)，全等三角形與相似三角形的性質(zhì)判定等，它們之間都存在內(nèi)在的聯(lián)系，教學中我們都可以采用行之有效的辦法，巧用結(jié)構(gòu)性遷移規(guī)律，提高學生學習效率。