■河北省保定市第一中學(xué)505班 周昭希

解數(shù)學(xué)題,歸根到底就是從已知向結(jié)論轉(zhuǎn)化的過(guò)程,善于轉(zhuǎn)化,方可順利解題。那么面對(duì)形式多樣的常用邏輯用語(yǔ)問(wèn)題,我們?cè)撊绾无D(zhuǎn)化呢?下面舉例說(shuō)明。

一、利用逆否命題的等價(jià)性轉(zhuǎn)化

原命題與其逆否命題真假性一致。p?q是否成立,從正面判斷比較難,可判斷其逆否命題的真假。

若p:x+y≠5,q:x≠2或y≠3,則“p?q”是____命題。(填“真”或“假”)

解析：考慮逆否命題:﹁p:x+y=5,﹁q:x=2且y=3,顯然有﹁q?﹁p,故“p?q”是真命題。填“真”。

評(píng)注:判斷命題真假的方法有:(1)聯(lián)系已有的數(shù)學(xué)公式、定理、結(jié)論進(jìn)行正面直接判斷;(2)利用原命題和其逆否命題的等價(jià)關(guān)系進(jìn)行判斷。

二、利用非命題轉(zhuǎn)化

原命題與其非命題的真假性相反,而“存在性命題”的非命題是“全稱命題”。

若命題“?x0∈R+(a-1)·x0+1＜0”是假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )。

A.[-1,3]

B.(-1,3)

C.(-∞,-1]∪[3,+∞)

D.(-∞,-1)∪(3,+∞)

解析：因?yàn)槊}“?x0∈R+(a-1)·x0+1＜0”是假命題,等價(jià)于它的非命題“?x0∈R+(a-1)x0+1≥0”是真命題,所以Δ=(a-1)2-4≤0,即a2-2a-3≤0,解得-1≤a≤3。故選A。

評(píng)注:不管是全稱命題,還是特稱命題,若其真假不容易正面判斷時(shí),可先判斷其否定的真假。尤其是一類根據(jù)命題的真假求參數(shù)的取值范圍問(wèn)題,往往將“存在性命題問(wèn)題”轉(zhuǎn)化為“全稱命題問(wèn)題”來(lái)求解。

三、轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題

與全稱命題和存在性命題有關(guān)的不等式恒成立問(wèn)題,一般可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題。

?x∈[-1,2],使4x-2x+1+2-a＜0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

解析：利用換元法,將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題。

已知不等式化為:

22x-2·2x+2-a＜0。①

原命題等價(jià)于:?t∈,a＞t2-2t+2恒成立。令y=t2-2t+2=(t-1)2+1,當(dāng)t∈時(shí),ymax=10,所以只需a＞10即可。

則不等式①化為:

t2-2t+2-a＜0,即a＞t2-2t+2。

所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是(10,+∞)。

評(píng)注:從命題角度看,不等式中的“能成立”問(wèn)題,就是一個(gè)存在性命題,而“恒成立”問(wèn)題,則是一個(gè)全稱命題,解答這類含參數(shù)的不等式問(wèn)題,一般可將參變量分離,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題。

四、轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題

由復(fù)合命題的真假求參數(shù)的取值范圍,是一類比較常見(jiàn)的問(wèn)題。一般可先確定構(gòu)成復(fù)合命題的簡(jiǎn)單命題的真假,求出此時(shí)簡(jiǎn)單命題成立的參數(shù)的取值范圍,再由復(fù)合命題的構(gòu)成形式,確定其成立條件,求出參數(shù)的取值范圍,而最終問(wèn)題的解決離不開(kāi)解不等式。

已知命題p:關(guān)于x的不等式x2+2ax+4＞0對(duì)?x∈R恒成立;命題q:函數(shù)y=-(4-2a)x是R上的減函數(shù)。若“p∨q”為真命題,“p∧q”為假命題,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____。

解析：先簡(jiǎn)化命題p、q,構(gòu)建關(guān)于a的關(guān)系式,再轉(zhuǎn)化為關(guān)于a的不等式組問(wèn)題。

由x2+2ax+4＞0對(duì)?x∈R恒成立,得Δ=(2a)2-4×4＜0,解得-2＜a＜2。所以p?-2＜a＜2。

由y=-(4-2a)x是R上的減函數(shù),得4-2a＞1,解得

所以q?

由“p∨q”為真,“p∧q”為假可知p與q中必有一真一假,即p真q假或p假q真。

評(píng)注:先簡(jiǎn)化兩個(gè)命題,并求出兩個(gè)命題為真時(shí)a的取值范圍,最后根據(jù)題中命題的關(guān)系列出不等式,從而確定出a的取值范圍,這是求解這類問(wèn)題的通法。

五、轉(zhuǎn)化為集合間的關(guān)系問(wèn)題

判斷p是q的什么條件,需要從兩方面分析:一是由p能否推得q;二是由q能否推得p。對(duì)于帶有否定性的命題或比較難判斷的命題,可借助集合思想把抽象、復(fù)雜問(wèn)題形象化、直觀化,要注意集合間的關(guān)系。

已知集合M={x|x＜-3或x＞5},P={x|(x-a)·(x-8)≤0}。

(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍,使它成為M∩P={x|5＜x≤8}的充要條件;

(2)求實(shí)數(shù)a的一個(gè)值,使它成為M∩P={x|5＜x≤8}的一個(gè)充分但不必要條件。

解析：(1)由M∩P={x|5＜x≤8},得-3≤a≤5。

因此M∩P={x|5＜x≤8}的充要條件是{a|-3≤a≤5}。

(2)求實(shí)數(shù)a的一個(gè)值,使它成為M∩P={x|5＜x≤8}的一個(gè)充分但不必要條件,就是在集合{a|-3≤a≤5}中取一個(gè)值,如取a=0,此時(shí)必有M∩P={x|5＜x≤8}。反之,M∩P={x|5＜x≤8}未必有a=0,故a=0是M∩P={x|5＜x≤8}的一個(gè)充分不必要條件。

評(píng)注:本例涉及參數(shù)問(wèn)題,直接解決較為困難,先用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,將復(fù)雜、生疏的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、熟悉的問(wèn)題來(lái)解決。一般地,在涉及字母參數(shù)的取值范圍的充要關(guān)系問(wèn)題時(shí),常常要利用集合的包含、相等關(guān)系來(lái)考慮,這是破解此類問(wèn)題的關(guān)鍵。