設(shè)計(jì)/ 張學(xué)峰 解讀/ 姜榮富

【設(shè)計(jì)源起】

《兩位數(shù)乘兩位數(shù)的筆算乘法》是人教版三年級(jí)下冊(cè)第46頁(yè)的內(nèi)容。與實(shí)驗(yàn)教材相比，新教材將擺小棒的直觀操作改為借助點(diǎn)子圖探究算法，理解算理。點(diǎn)子圖在新教材中初次出現(xiàn)，教材給出了兩種“分”的思路：一是把12個(gè)14先分成3個(gè)4×14，有3個(gè)56；二是把12個(gè)14分成2個(gè)14和10個(gè)14。從編者的視角，點(diǎn)子圖為學(xué)生探究多樣的算法提供了素材，利于學(xué)生理解算理。然而，這一工具是否為學(xué)生所喜愛(ài)呢？

筆者在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在探究“14×12”時(shí)，使用點(diǎn)子圖并與算法建立聯(lián)系的學(xué)生只有1人，占2.5%。經(jīng)過(guò)對(duì)學(xué)生的訪談，發(fā)現(xiàn)大部分學(xué)生沒(méi)有想到借用點(diǎn)子圖幫助計(jì)算，還有一部分用橫式算出答案的學(xué)生認(rèn)為自己已經(jīng)學(xué)會(huì)，畫(huà)點(diǎn)子圖比較麻煩。當(dāng)他們被進(jìn)一步要求在點(diǎn)子圖中畫(huà)出算法時(shí)，也是無(wú)從著手，或者圖與算式分離。

由以上調(diào)查可知，放手讓學(xué)生自主使用點(diǎn)子圖研究?jī)晌粩?shù)乘兩位數(shù)的算法，不符合學(xué)生的認(rèn)知水平。學(xué)生不會(huì)主動(dòng)利用點(diǎn)子圖探究計(jì)算方法，主要是缺乏對(duì)乘法意義的理解。事實(shí)上，用圖表征出計(jì)算過(guò)程的確比較難。

如何有效利用點(diǎn)子圖，讓它為學(xué)生所樂(lè)用？經(jīng)過(guò)實(shí)踐，筆者認(rèn)為點(diǎn)子圖在筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)的教學(xué)中應(yīng)體現(xiàn)在釋義、明理、求聯(lián)三個(gè)方面：釋義——從在點(diǎn)子圖中表示乘法導(dǎo)入，加深學(xué)生對(duì)乘法算式意義的理解。由算式到圖，由圖到算式，充分體現(xiàn)了點(diǎn)子圖在解釋乘法算式意義中的作用。明理——在探究部分，利用點(diǎn)子圖充分展示學(xué)生的算法，結(jié)合點(diǎn)子圖理解每一種算法的意義，有利于學(xué)生理解算理。求聯(lián)——通過(guò)在點(diǎn)子圖中表示豎式計(jì)算的過(guò)程，有利于學(xué)生發(fā)現(xiàn)豎式和橫式之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)掘出算法之間的聯(lián)系與共同之處，發(fā)現(xiàn)所有算法都在“分”，“分”的目的是為了轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化的目的是通過(guò)舊知聯(lián)系新知，有利于學(xué)生掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法。

【教學(xué)過(guò)程】

一、整體呈現(xiàn)點(diǎn)子圖，解釋乘法的意義

1.課件出示點(diǎn)子圖。你看到了什么？

2.在點(diǎn)子圖中表示出4×5。想一想，說(shuō)說(shuō)你的想法。

（學(xué)生思考后回答）

生：每行4個(gè)，有這樣的5行，就是5個(gè)4。

生：也可以每行5個(gè)，有這樣的4行，就是4個(gè)5。

（教師結(jié)合課件展示圈的過(guò)程）

3.小結(jié)：是的，4×5 的意思就是4個(gè)5或者5個(gè)4。

4.在點(diǎn)子圖中表示14×10。想一想，在你的頭腦中畫(huà)一畫(huà)。

5.根據(jù)圖寫(xiě)算式。如果老師這樣畫(huà)，可以用哪個(gè)算式來(lái)表示呢？

生：14×12，因?yàn)槭敲啃?4個(gè)，有這樣的12行，所以用14×12來(lái)表示。

【解讀：課始整體呈現(xiàn)點(diǎn)子圖，引導(dǎo)學(xué)生用點(diǎn)子圖解釋乘法算式的意義，既可以讓學(xué)生直觀感知點(diǎn)子圖，也可以喚起學(xué)生對(duì)乘法意義的理解。通過(guò)想一想、說(shuō)一說(shuō)、畫(huà)一畫(huà)這幾個(gè)小環(huán)節(jié)，有利于學(xué)生從計(jì)算的本源思考，探究計(jì)算方法。】

二、充分利用點(diǎn)子圖，明晰計(jì)算的算理

1.選擇生活情境，理解算式的意義。

（1）14×12除了可以表示老師畫(huà)的圖，還可以解決下面哪個(gè)問(wèn)題？

問(wèn)題一：王老師買(mǎi)來(lái)語(yǔ)文書(shū)14本，數(shù)學(xué)書(shū)12本，一共買(mǎi)了多少本？

問(wèn)題二：每套書(shū)有14本，王老師買(mǎi)了12套。一共買(mǎi)了幾本？

（2）學(xué)生說(shuō)明理由。

（3）教師結(jié)合課件逐個(gè)出示：在這里一個(gè)點(diǎn)子就代表一本書(shū)。每行14個(gè)點(diǎn)子是指每套書(shū)有14本。一共買(mǎi)了幾本呢？你能估計(jì)一下嗎？

【解讀：從選擇情境到出示點(diǎn)子，目的是幫助學(xué)生理解乘法算式的意義，使學(xué)生在情境、點(diǎn)子圖和乘法算式之間建立通道，為學(xué)生從乘法意義出發(fā)探究算法埋下伏筆?！?/p>

2.根據(jù)點(diǎn)子圖，探索多樣的算法。

（1）14×12到底等于幾呢？請(qǐng)大家試著在點(diǎn)子圖中圈一圈，算一算。

（2）學(xué)生獨(dú)立思考，探究算法。

（3）反饋：學(xué)生利用點(diǎn)子圖解釋自己的算法。

方法1：我把12拆成10和2，10個(gè) 14是 140，2個(gè) 14是28，合起來(lái)是168。

方法2：也可以把12拆成4×3，3個(gè) 14是 42，4個(gè) 42是168。

方法3：還可以列豎式計(jì)算。

3.結(jié)合點(diǎn)子圖，理解豎式計(jì)算的算理。

（1）掌握豎式的算法。

師：這種列豎式的方法很重要。誰(shuí)能說(shuō)說(shuō)他是怎么算的？

生：先用個(gè)位的2乘14，結(jié)果是28；用十位的1乘14，結(jié)果是140，合起來(lái)是168。

（教師板書(shū)計(jì)算的過(guò)程）

（2）解釋140末位0省略的原因。

師：用十位上的數(shù)去乘時(shí)，表示的總是幾個(gè)十，所以140末位的0可以省略，直接把積的末位寫(xiě)在十位。那么這里的14表示的是什么呢？

生：14個(gè) 10。

（3）理解數(shù)字的意義。

師：同學(xué)們，你們能不能把列豎式計(jì)算的過(guò)程在點(diǎn)子圖中表示出來(lái)呢？結(jié)合題意，說(shuō)說(shuō)28和140的意思。

（學(xué)生在點(diǎn)子圖中表示14×2和14×10，結(jié)合情境解釋 28 和 140）

生：28表示（2）套書(shū)有（28）本。140則表示（10）套書(shū)有（140）本。

【解讀：從用點(diǎn)子圖圈一圈，寫(xiě)自己喜歡的算法到將豎式計(jì)算的過(guò)程在點(diǎn)子圖中表示出來(lái)，結(jié)合點(diǎn)子圖說(shuō)數(shù)字的意義，三個(gè)環(huán)節(jié)充分利用點(diǎn)子圖，幫助學(xué)生理解算理，掌握算法。由圖到式，由圖到義，點(diǎn)子圖的工具性作用突顯，學(xué)生的算理逐漸明晰?！?/p>

三、巧妙借助點(diǎn)子圖，尋求算法的聯(lián)系

1.回顧計(jì)算的過(guò)程。

師：我們是怎么解決14×12這個(gè)問(wèn)題的？結(jié)合課件演示。

2.比較算法的聯(lián)系。

師：比較這些算法，他們有什么一樣的地方？

生:方法1和方法3是一樣的。豎式里的28其實(shí)就是橫式里的14×2=28，豎式里的140就是橫式里的14×10=140。

（教師根據(jù)學(xué)生的回答板書(shū)，在橫式與豎式之間建立聯(lián)系）

3.探討“分”的好處。

師：這些算法都是在“分”。你們是怎么想到“分”的？

生：因?yàn)椤胺帧笨梢园褍晌粩?shù)乘兩位數(shù)轉(zhuǎn)化成兩位數(shù)乘一位數(shù)和兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)。

生：通過(guò)“分”，可以把新的數(shù)學(xué)知識(shí)轉(zhuǎn)化成我們以前學(xué)過(guò)的知識(shí)。

4.揭題并板書(shū)：筆算乘法。

【解讀：通過(guò)比較算法,結(jié)合點(diǎn)子圖理解豎式計(jì)算與橫式的對(duì)應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)共同之處在于“分”，“分”的目的在于“轉(zhuǎn)化”，即把新知轉(zhuǎn)化為舊知，從而溝通知識(shí)之間的聯(lián)系?！?/p>

四、練習(xí)提升

1.挑戰(zhàn)一星級(jí)。列豎式計(jì)算：23×13= 33×31=

學(xué)生獨(dú)立完成，反饋易錯(cuò)點(diǎn)。

2.挑戰(zhàn)二星級(jí)。出示：漢堡包每個(gè)22元，301班有47人，張老師想給每人買(mǎi)一個(gè)，帶800元夠嗎？需要帶多少錢(qián)？

學(xué)生估計(jì)，并說(shuō)明理由。

列豎式計(jì)算。這里的154指什么？880呢？

3.挑戰(zhàn)三星級(jí)。用喜歡的方法計(jì)算：25×28= 28×15=

【解讀：練習(xí)中重視學(xué)生對(duì)計(jì)算技能的鞏固，關(guān)注結(jié)合情境理解數(shù)字的意義，更重要的是，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)數(shù)據(jù)特征，選擇合理、簡(jiǎn)潔的算法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感和運(yùn)算能力?！?/p>

五、課堂小結(jié)（略）

【解讀與評(píng)價(jià)：理想的計(jì)算教學(xué)是在理解算理的基礎(chǔ)上掌握算法。與表內(nèi)乘法相比較，兩位數(shù)乘一位數(shù)與兩位數(shù)乘兩位數(shù)的計(jì)算要復(fù)雜得多，不僅要關(guān)注計(jì)算的順序，還要理解部分積的位值，但算理理解的基礎(chǔ)仍然是乘法的意義。張老師運(yùn)用點(diǎn)子圖，從最基本的乘法意義入手，使抽象的乘法算式在點(diǎn)子圖中獲得直觀的解釋，使學(xué)生探索乘法算法時(shí)有了“根部生長(zhǎng)的力量”。釋義是基礎(chǔ)，明理是目的。用點(diǎn)子圖解釋算法，本質(zhì)上是運(yùn)用圖示直觀解釋運(yùn)算的思考過(guò)程。學(xué)生展示的兩種算法，分別聯(lián)系了乘法的分配律與結(jié)合律，點(diǎn)子圖直觀清晰地解釋了運(yùn)算的算理，算法在直觀圖示中也一目了然。兩位數(shù)乘兩位數(shù)算理的核心是乘法分配律，運(yùn)算的結(jié)果是兩個(gè)部分積之和，豎式計(jì)算教學(xué)的重點(diǎn)是理解兩個(gè)部分積的意義與位值。張老師以圖示為中介，溝通了橫式計(jì)算與豎式計(jì)算之間的聯(lián)系，這對(duì)于增進(jìn)學(xué)生對(duì)乘法計(jì)算的算理理解、熟練地掌握算法，都是很有價(jià)值的?！?/p>