袁秋帆,劉延芳,朱東方,齊乃明

(1.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院,黑龍江 哈爾濱 150001; 2.上海市空間智能控制重點實驗室,上海 201109;3.上海航天控制技術研究所,上海 201109)

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考慮壓電傳感器漏電效應的大柔性智能結(jié)構建模方法研究

袁秋帆1,劉延芳1,朱東方2， 3,齊乃明1

(1.哈爾濱工業(yè)大學 航天學院,黑龍江 哈爾濱 150001; 2.上海市空間智能控制重點實驗室,上海 201109;3.上海航天控制技術研究所,上海 201109)

針對采用壓電元件構成的大柔性智能結(jié)構基頻較低、壓電傳感器漏電流效應明顯而不能忽略等問題，對考慮壓電傳感器漏電流效應的結(jié)構建模方法進行了研究。推導了考慮壓電傳感器漏電效應的數(shù)學模型，根據(jù)等效電路，在傳遞函數(shù)中添加了一階環(huán)節(jié)建立漏電流模型。搭建了壓電型大柔性智能結(jié)構試驗系統(tǒng)，用掃頻測量技術獲得了智能結(jié)構的幅頻響應，用非線性最小二乘擬合的參數(shù)辨識方法計算了模型參數(shù)。通過分析試驗數(shù)據(jù)，對比考慮和不考慮壓電傳感器漏電效應的智能結(jié)構模型的擬合結(jié)果，發(fā)現(xiàn)考慮壓電傳感器漏電效應的智能結(jié)構數(shù)學模型與實驗結(jié)果吻合，尤其是在低頻區(qū)域，驗證了提出的智能結(jié)構數(shù)學模型的準確性。

大柔性智能結(jié)構； 壓電傳感器； 漏電效應； 參數(shù)辨識； 掃頻； 非線性最小二乘擬合； 一階環(huán)節(jié)； 低頻

0 引言

隨著空間科學技術的發(fā)展，大型化的大柔性結(jié)構在航天器中的應用日益廣泛。大柔性結(jié)構的基頻較低，其振動一旦被激發(fā)，衰減緩慢。大柔性結(jié)構的振動會影響航天器的姿態(tài)穩(wěn)定精度，對載荷造成振動干擾，甚至會導致結(jié)構損壞、航天器失效。近年來，為減弱或避免大柔性結(jié)構的振動，提出了主動振動控制技術，采用智能元件與大柔性結(jié)構整合形成智能結(jié)構實現(xiàn)振動抑制[1]。

智能結(jié)構數(shù)學模型的精確度直接影響振動抑制控制器設計的優(yōu)劣，從而影響振動抑制的效果。對壓電型智能結(jié)構的建模方法，已有文獻提出了多種方法。柔性結(jié)構具無窮階諧振模態(tài)，是一個分布參數(shù)系統(tǒng)，每階模態(tài)都可用偏微分方程描述[2]。對撓性結(jié)構建模時，忽略結(jié)構帶寬外的振動模態(tài)對結(jié)構整體振動的影響雖簡化了控制器設計，但這些忽略的振動模態(tài)會影響系統(tǒng)傳遞函數(shù)的零點，導致設計的閉環(huán)控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。因此，文獻[3]在系統(tǒng)傳遞函數(shù)中引入了饋通項作為對其的補償?，F(xiàn)有的研究中，智能結(jié)構的基頻均較高(1 Hz以上)，壓電式傳感器在1 Hz以上的頻率區(qū)間內(nèi)，對振動的測量準確，效果較好[4]。在低頻條件下，壓電傳感器特性不理想，漏電流效應(電荷泄露)較明顯，在進行準靜態(tài)校準時，就必須考慮漏電流效應[5-8]。但在對大柔性壓電型智能結(jié)構建模時，目前尚無文獻考慮漏電流效應。大柔性結(jié)構基頻較低，對測量其頻率的壓電傳感器進行建模時，若不考慮壓電元件的漏電流效應，則數(shù)學模型將產(chǎn)生較大誤差。本文針對壓電型大柔性智能結(jié)構，考慮壓電傳感器的漏電流效應，給出了數(shù)學建模方法。采用參數(shù)辨識技術，通過實驗測量和對比，對提出的大柔性智能結(jié)構數(shù)學模型的準確性進行驗證。

1 大柔性智能結(jié)構數(shù)學模型

薄板大柔性結(jié)構是典型的大柔性結(jié)構，如航天器的太陽能電池陣、大型陣面天線等。本文以薄板結(jié)構為例進行壓電型大柔性智能結(jié)構的建模研究。

懸臂薄板如圖1所示。采用貼壓電陶瓷片構成大柔性智能結(jié)構時，常采用同位粘貼[9]。即壓電執(zhí)行器和壓電傳感器對位分別貼于薄板結(jié)構兩側(cè)，薄板表面任意位置(xi,y0) 處兩個側(cè)面分別貼有壓電傳感器(Si)p個和壓電陶瓷執(zhí)行器(Ai)1個，壓電元件施加在薄板上的載荷等效為力矩M(x，t)。

1.1 壓電執(zhí)行器模型

壓電執(zhí)行器的原理是逆壓電效應，在壓電片式執(zhí)行器兩個表面電極上施加電壓，會在其主方向上產(chǎn)生應變，從而對柔性板產(chǎn)生彎矩的作用。第i個執(zhí)行器上的電壓Va,i(t)與產(chǎn)生彎矩滿足關系

(1)

(2)

式中：Eb，Ib分別為薄板的楊氏模量和橫截面慣性矩；ρb為薄板x方向線密度；p為執(zhí)行器數(shù)量[10]。

將式(1)代入式(2)，并考慮薄板的阻尼，得

(3)

1.2 壓電傳感器模型

不考慮漏電流效應時，壓電傳感器利用壓電效應，當傳感器發(fā)生應變時，傳感器上下表面的電極會產(chǎn)生電荷，通過線性電荷放大器，得到電壓模擬量，從而測量得到傳感器處的平均應變。壓電傳感器有一個主方向，其上電荷量的變化與主方向上的應變成正比。如圖2所示，壓電傳感器的主方向為x向，即柔性板的長度方向。

壓電傳感器產(chǎn)生的電荷量與應變關系可表示為

(4)

式中：d31為壓電常數(shù)；Ep，hp，lp分別為壓電陶瓷片的楊氏模量、寬度和長度；εi為壓電陶瓷片在x向上的應變。

由基爾霍夫梁假設，可得應變與撓度關系

(5)

式中：tb，tp分別為薄板和壓電陶瓷片的厚度。

將式(5)代入式(4)，得

(6)

設電荷放大器增益為gc，則電荷放大器輸出電壓與模態(tài)坐標間的關系為

(7)

考慮漏電流效應時，壓電傳感器的基本電路原理如圖3所示[5，11]。

壓電傳感器受到應力產(chǎn)生電荷時，壓電傳感器內(nèi)部就構成了一個RC電路，為一階慣性環(huán)節(jié)，漏電時間常數(shù)τL=CsRs。此處：Cs為等效電容；Rs為等效電阻。傳遞函數(shù)可表示為

(8)

式中：gL為增益。

綜上，當考慮壓電傳感器漏電流效應時，傳感器的數(shù)學模型為

(9)

1.3 大柔性智能結(jié)構傳遞函數(shù)描述

根據(jù)壓電執(zhí)行器和傳感器的數(shù)學模型，應用薄板振動基本方程和哈密頓原理，結(jié)合文獻[12]給出的數(shù)學模型，不考慮壓電元件的漏電流效應，從壓電執(zhí)行器上的輸入電壓至壓電傳感器的輸出電壓的傳遞函數(shù)為

(10)

式中：Φk=[ψk,1ψk,2…ψk,i…ψk,p]T。

為獲取可用的數(shù)學模型，將模態(tài)截斷到第N階，直接截斷有可能出現(xiàn)外溢現(xiàn)象，從而導致控制系統(tǒng)不穩(wěn)定。結(jié)構帶寬內(nèi)高于N階的模態(tài)可用饋通項近似，則控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

(11)

式中：gvv=gLgsga；D為饋通項，又稱為模態(tài)截斷誤差[13]。若考慮壓電傳感器的電荷泄露，則控制系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)可表示為

(12)

2 大柔性智能結(jié)構試驗分析

2.1 大柔性智能結(jié)構振動測量試驗系統(tǒng)組成

壓電智能結(jié)構的基本組成如圖4所示。其中：壓電傳感器和壓電執(zhí)行器為壓電陶瓷元件。壓電傳感器采集的電荷通過電荷放大器線性轉(zhuǎn)換為電壓值，經(jīng)模數(shù)轉(zhuǎn)換(AD)模塊，計算機采集到壓電傳感器的測量值，以電壓表示。計算機為主動振動抑制控制器，根據(jù)壓電傳感器的測量值，計算控制量，并通過數(shù)模轉(zhuǎn)換(DA)模塊，經(jīng)功率放大器放大，輸出電壓至壓電執(zhí)行器，壓電執(zhí)行器產(chǎn)生一定的伸縮應變，從而產(chǎn)生應力，實現(xiàn)主動振動抑制控制。

柔性板如圖5所示，懸臂固定于基座上，為降低板的第一階模態(tài)頻率，在板的端部添加集中質(zhì)量塊。在柔性板根部，對位粘貼兩對壓電陶瓷片，分別為S1/A1和S2/A2；在板的一側(cè)，粘貼的是S1，S2(傳感器)，則在對側(cè)，對應的是A1，A2(執(zhí)行器)。

2.2 壓電傳感器漏電流時間常數(shù)測量

可用階躍響應的方法測量壓電傳感器的漏電時間常數(shù)，如圖6所示。具體方法為：在板靜止狀態(tài)下，在距離板端部l0處放置擋板，對板端部施加力，使板變形至擋板位置，即對壓電傳感器近似輸入一個階躍信號，采集壓電傳感器的反饋，即能獲得壓電傳感器的階躍響應。

測量并繪制壓電傳感器測量電壓隨時間變化的曲線，結(jié)果如圖7所示。根據(jù)階躍響應，可算得時間常數(shù)τ=0.51 s。

2.3 大柔性智能結(jié)構模型參數(shù)辨識方法

薄板振動變形量為小量，多個執(zhí)行器施加電壓對單個傳感器測量電壓的影響滿足疊加關系。同位控制時，設壓電執(zhí)行器/傳感器對有m對，則第i個執(zhí)行器施加電壓到第j個傳感器測量電壓的傳遞函數(shù)可表示為

(13)

開環(huán)傳遞函數(shù)中未知參數(shù)有gvv，τL，ψk,i，ψk,j，Dij，ζk，ωk，gvv，τL。用參數(shù)辨識方法獲取這些參數(shù)時，需要結(jié)構的頻率響應數(shù)據(jù)，這可用掃頻的方法得到結(jié)構的頻率響應。在第i個執(zhí)行器上加載掃頻信號電壓Vi，其信號形式為

(14)

式中：K為增益；vω為頻率增加速度，且vω∈R；ω0為掃頻初始頻率。采集p個傳感器的電壓輸出，令第j個傳感器上的輸出電壓為Vs,j，對其進行快速傅里葉變換(FFT)，得到Vs,j在頻域上的信號描述fVs,j。則由第i個執(zhí)行器輸入電壓到第j個傳感器輸出電壓的頻率響應為

(15)

由此，則求解傳遞函數(shù)參數(shù)問題轉(zhuǎn)為以下數(shù)學問題：已知函數(shù)形式為

(16)

當函數(shù)自變量s=Vi時，函數(shù)值為Gij，求解式(16)中ψk,j，ψk,i，Dij，ζk，ωk，gvv，τL的值。

選取價值函數(shù)

(17)

式中：‖ ‖表示復數(shù)的模。用非線性最小二乘擬合方法，使價值函數(shù)為最小，得到ψk,j，ψk,i，Dij，ζk，ωk，gvv，τL。從而得到由p個執(zhí)行器輸入電壓至p個傳感器輸出電壓的傳遞函數(shù)。

2.4 模型參數(shù)辨識試驗

設掃頻信號頻率范圍(0.01，1.5) Hz，信號長度1 800 s，則FFT變換結(jié)果如圖8所示。用掃頻方法測得傳感器的測量結(jié)果如圖9所示。

對測量數(shù)據(jù)進行FFT變換，得到幅頻響應曲線如圖10所示。

由傳感器測量值的幅頻響應可知：在掃頻0.01～15 Hz范圍內(nèi)，共有2個共振頻率(0.80，9.53 Hz)，分別對應撓性柔性板的第一階面外彎曲模態(tài)和第二階面外彎曲模態(tài)。

2.5 試驗數(shù)據(jù)分析

根據(jù)大柔性智能結(jié)構傳遞函數(shù)的數(shù)學模型，若不考慮壓電傳感器漏電效應，數(shù)學模型可描述為

(18)

基于式(17)給出的價值函數(shù)，分別采用考慮和不考慮壓電傳感器漏電效應的數(shù)學模型，采用最小二乘擬合的方法，擬合得到式(16)、(18)中的ψk,j，ψk,i，Dij，ζk，ωk，gvv，τL的值，結(jié)果分別見表1、2。擬合結(jié)果分別如圖11～16所示。

表1 考慮壓電傳感器漏電效應的數(shù)學模型參數(shù)Tab.1 Parameters of mathematical model considering leakage effect of piezoeleectric sensor

表2 不考慮壓電傳感器漏電效應的數(shù)學模型參數(shù)Tab.2 Parameters of mathematical model not considering leakage effect of piezoeleectric sensor

由圖11～16可知：當頻率大于0.5 Hz時，擬合效果較好，壓電傳感器的漏電效應產(chǎn)生的影響小，在一階和二階模態(tài)頻率處，兩種數(shù)學模型均有較好的擬合結(jié)果；在小于頻率0.5 Hz的低頻段，由于壓電傳感器漏電流的影響，幅頻響應幅值隨掃頻頻率降低而逐漸減小。比較發(fā)現(xiàn)，在頻率低于0.5 Hz的范圍內(nèi)，用式(18)描述的數(shù)學模型是不準確的，而式(16)可準確反映低頻情況，得到的擬合曲線擬合度為0.984 0，表明式(16)給出的數(shù)學模型較準確。

3 結(jié)論

針對大柔性智能結(jié)構基頻較低，壓電傳感器漏電流效應明顯，不能忽略的問題，本文首先推導了考慮壓電傳感器漏電效應的數(shù)學模型，搭建了壓電型大柔性智能結(jié)構試驗系統(tǒng)，用掃頻測量技術獲得了智能結(jié)構的幅頻響應，用非線性最小二乘擬合方法獲得了模型參數(shù)。通過對試驗數(shù)據(jù)分析，對比考慮和不考慮壓電傳感器漏電效應的智能結(jié)構模型的擬合結(jié)果，所提出的考慮壓電傳感器漏電效應的數(shù)學模型較準確地描述了大柔性智能結(jié)構特性，提出的數(shù)學模型和建模方法可用于大撓性智能結(jié)構主動振動控制等領域，提高低頻狀態(tài)下主動振動控制器設計的準確性，有潛在的應用前景。

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《上海航天》征稿簡則

《上海航天》已列入中國知網(wǎng)、萬方、超星、維普等數(shù)據(jù)庫，是宣傳航天技術發(fā)展、科研成果的重要窗口，主要刊登有關衛(wèi)星、火箭、載人飛船、深空探測、導彈等系統(tǒng)及其分系統(tǒng)的預先研究、研制、試驗及工程實踐等方面的科技論文，同時介紹相關新概念、新方法、新技術及理論探討。

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稿件內(nèi)容以研究論文與報告、技術交流、專題綜述等形式為主，廣泛報道航天重點專業(yè)的理論創(chuàng)新，學術研究，工程實踐，創(chuàng)新與探索，學術爭鳴，戰(zhàn)略發(fā)展與情報研究，產(chǎn)學研成果等。

二、寫作要求

1. 來稿應突出航天理論研究和技術創(chuàng)新性，兼顧工程應用，應給出相應的理論依據(jù)、參數(shù)確定原則。論文應注重理論性、新穎性、邏輯性，避免寫成技術報告。

2. 來稿內(nèi)容充實，論點明確，論據(jù)充分，層次分明，文字簡練，字數(shù)一般以5 000～6 000字為宜(情況特殊可超出)。

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6. 來稿應包括題目、作者姓名、單位、摘要、關鍵詞、作者簡介、正文、參考文獻著錄。題目一般不超過20個漢字。摘要(200～300字)說明研究目的、方法、結(jié)果或結(jié)論等。關鍵詞5～8個。參考文獻盡量在10篇以上，并在正文中標出引用處。請?zhí)峁╊}目、作者、單位、摘要、關鍵詞、圖題和表題的英譯文。

7. 作者簡介包括姓名、出生年、最終學歷和職稱、主要研究方向或從事工作。

8. 正文包括引言、主體、結(jié)論或結(jié)束語部分。引言說明關于研究歷史、現(xiàn)狀、存在的問題及本課題的著眼點和新進展及創(chuàng)新點。主體要求語言簡潔、明確、準確無歧義，表達單刀直入，邏輯關系完整，結(jié)構嚴謹。結(jié)論或結(jié)束語對研究內(nèi)容進行總結(jié)。

9. 量和單位符合國家標準。每個量符號第一次出現(xiàn)時應給出物理意義說明，同一符號只能表示一個物理量，必要時可用下標區(qū)分。一般變量為斜體，矢量、矩陣、張量、向量為斜黑體。單位一般為正體。

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11. 正文中給出圖表的引文。圖數(shù)量一般不超過12幅，尺寸盡量小于8 cm。圖中文字、數(shù)字、符號清楚，橫縱坐標的變量名、單位、刻度值準確完整，不同線型或圖符有說明。圖可在Word或Visio中解組、修改。表格欄頭簡化，避免斜線，不能空白；項目欄中文字簡練；欄內(nèi)盡量不要出現(xiàn)公式；各格內(nèi)上下左右格內(nèi)容相同時不能用"同左"、"同右"、"同上"，或" "，無內(nèi)容時不能空格，要用一字線補齊。圖表中的量和單位采用“量/單位”方法標注。

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《上海航天》雜志編輯部

Study on Modeling Method of High Flexible Intelligent Structure Considering Leakage Effect of Piezoelectric Sensor

YUAN Qiu-fan1, LIU Yan-fang1, ZHU Dong-fang2, 3, QI Nai-ming1

(1. School of Astronautics, Harbin Institute of Technology, Harbin 150001, Heilongjiang, China;2. Shanghai Key Laboratory of Aerospace Intelligent Control Technology, Shanghai 201109, China;3. Shanghai Institute of Spaceflight Control Technology, Shanghai 201109, China)

For the problems of high flexible smart structure composed of piezoelectric components which had low nature frequency and obvious leakage effect of piezoelectric sensor not being neglected, the modeling method of the structure considering leakage effect of piezoelectric sensor was studied in this paper. A mathematical model of high flexible smart structure with considering the piezoelectric sensor leakage effect was established. According to the equivalent circuit, a first order damp element was added into the model to build the leakage model. An experiment system was built and the amplitude frequency response of the structure was obtained through the sweep frequency technique. The parameter identification method was used to calculate the model parameters by nonlinear least squares fitting. Based on the analysis of the experimental result, the models with and without considering the leakage effect were compared. It found that the model with considering the leakage effect were agreed with the experimental result, especially in low frequency range. The proposed model is verified and it is a more accuracy model.

high flexible smart structure; piezoelectric sensor; leakage effect; parameter identification; sweep-frequency technique; nonlinear least squares fitting; first order damp element; low frequency range

1006-1630(2017)02-0177-07

2017-01-22；

2017-03-31

中央高校基本科研業(yè)務專項資金資助(HIT.NSRF.201622)；微小型航天器技術國防重點學科實驗室開放基金資助(HIT.KLOF.MST.201507)

袁秋帆(1992—)，男，博士，主要研究方向為撓性結(jié)構動力學。

劉延芳(1986—)，男，博士后，講師，主要研究方向為飛行器動力、制導與控制、智能材料動力學與控制、空間柔性機構展開動力學與控制等。

O482.41

A

10.19328/j.cnki.1006-1630.2017.02.020

被《中國學術期刊

總庫》及CNKI系列數(shù)據(jù)庫、萬方數(shù)據(jù)庫、超星數(shù)據(jù)庫、維普數(shù)據(jù)庫等收錄，作者著作權使用費與本刊稿費一次性給付。如作者若不同意文章被收錄，請在來稿中予以說明，本刊將做適當處理。