劉朋露，楊 潔

(西安郵電大學 通信與信息工程學院，西安 710121)

基于壓縮感知DOA估計的稀疏陣列設計*

劉朋露*，楊 潔

(西安郵電大學 通信與信息工程學院，西安 710121)

根據格拉姆(Gram)矩陣優(yōu)化測量矩陣的方法，給出了一種基于壓縮感知波達方向(DOA)估計的均勻線陣的稀疏陣列設計方法。該方法不需要對陣列的輸出數據進行壓縮采樣，直接利用稀疏陣列的輸出數據，然后利用稀疏恢復算法求解DOA估計信息。實驗仿真證明，相比于原均勻線陣，所提方法在陣元數目較少且信噪比較低的情況下具有更好的DOA估計性能。

壓縮感知；測量矩陣；格拉姆矩陣；稀疏布陣；波達方向估計

1 引 言

基于壓縮感知理論[1-2]的波達方向(Direction of Arrival,DOA)估計算法，通過測量矩陣對陣列的輸出數據進行壓縮采樣，然后利用稀疏恢復算法求得DOA估計[3-5]；當陣元數目較少時，以進行空域稀疏劃分得到的陣列流型作為感知矩陣，根據陣列的輸出信號，利用稀疏恢復算法求得DOA估計。兩者的主要區(qū)別在于，前者對陣列的輸出信號進行了壓縮采樣，而后者是直接利用陣列的輸出數據進行DOA估計。相比基于信號子空間理論的DOA估計算法，基于壓縮感知理論的DOA估計算法具有天然解相干能力，且在較少的采樣快拍條件下仍具有較好的DOA估計性能。

基于陣列壓縮采樣的壓縮感知DOA估計算法要求測量矩陣在滿足一定正交性的前提下，其與稀疏字典應盡可能地不相關[6]。在稀疏恢復算法確定的前提下，測量矩陣的優(yōu)化設計關系到稀疏恢復結果的精確度，即較好的測量矩陣能夠在減少壓縮采樣數據的同時，保證稀疏恢復結果仍具有較高的精確度。

常用的測量矩陣有隨機測量矩陣[7]和確定性測量矩陣。隨機測量矩陣包括高斯隨機測量矩陣、隨機伯努利測量矩陣以及稀疏隨機測量矩陣等。隨機測量矩陣能夠在很大程度上保證感知矩陣滿足稀疏恢復的有限等距約束條件(Restricted Isometry Property,RIP)，但具有不確定性、計算量大以及浪費存儲資源的缺點。針對隨機測量矩陣的上述缺點，已經提出了許多優(yōu)化測量矩陣的方法[8-10]。關于確定性觀測矩陣，文獻[10-11]提出了一種基于格拉姆矩陣(Gram matrix)的測量矩陣設計方法，在保證感知矩陣滿足稀疏重構條件的同時，使測量矩陣對陣元進行較少且不重復的采樣。

根據壓縮感知DOA估計中測量矩陣的設計方法，本文提出利用格拉姆矩陣對均勻線陣進行稀疏布陣，然后以進行稀疏布陣后的陣列作為入射信號的接收陣列，使上述第二種壓縮感知DOA估計解法(以進行空域稀疏劃分后的陣列流型作為感知矩陣)具有更好的DOA估計性能，尤其是在陣元數目較少且信噪比較低的情況下。

2 壓縮感知DOA估計的基本原理

假設一均勻線陣(Uniform Linear Array，ULA)中包含N個陣元，該陣列的陣元間距為d，其值為入射信號的半波長。陣列共接收K個窄帶入射信號的T個快拍數據，其采樣時間點分別為t=1,2,3,…,T。則T快拍條件下的陣列輸出信號可以表示為

X=AS+W。

(1)

式中:X是N×T維的陣列輸出信號；S為K×T維的窄帶入射信號;W為N×T維的加性高斯白噪聲矩陣;A是N×K維的陣列流型矩陣，A=[a(θ1) a(θ2) …a(θK)],其中a(θk)是N×1維的陣列導向矢量，

a(θk)=[1 e-jαk… e-jαk(N-1)]T,k=1,2,…,K。

(2)

式中:αk=2π(d/λ)sin(θk)代表同一入射信號到達不同陣元與所選參考陣元之間的波程差，λ是入射信號的波長。

2.1 陣列的壓縮采樣模型

首先，介紹單快拍條件下的陣列壓縮采樣模型。假設x是一個N×1維的陣列輸出信號矢量,且x=Ψz，其中Ψ是一個N×M維的稀疏字典，z是一個M×1維的系數矢量(即為x在稀疏字典Ψ下的投影系數)，z中有K個非零元素(K代表來波個數)，其包含著來波角度信息，即x是K稀疏的，且K<

y=Φx=ΦΨz=ACSz。

(3)

式中:y是一個m×1維的測量矢量，m<

其次，介紹多快拍條件下的陣列壓縮采樣模型。假設一均勻線陣，其陣列模型如式(1)所示，則在壓縮采樣模型框架下的陣列輸出信號可以表示為

X=ΨZ+W。

(4)

式中:Ψ是一個N×Ns維的稀疏矩陣，Ns代表空域劃分網格數，Ψ中的每一列為式(2)中的a(θk)，其中k=1,2,…,Ns；Z是一個Ns×T維的矩陣，Z中每一列都是K稀疏的，即每一列中有K個非零元素，其對應著來波角度信息；W是加性高斯白噪聲矩陣。那么，在測量矩陣Φ已知的情況下，多快拍條件下的陣列壓縮采樣模型可以表示為

Y=ΦX=ΦΨZ+ΦW。

(5)

式中:Y為對陣列輸出數據進行壓縮采樣后得到的數據。

式(5)中的Y是多個快拍條件下的壓縮采樣結果，對每個快拍下的陣列壓縮采樣數據，利用稀疏恢復算法求得DOA估計信息，然后按照式(6)綜合每個快拍下的DOA估計信息[4]：

(6)

2.2 以陣列流型作為感知矩陣的DOA估計模型

在以陣列流型作為感知矩陣的壓縮感知DOA估計模型中，不需要對陣列的輸出信號進行壓縮采樣，而是利用入射信號的天然稀疏特性，以進行空域稀疏劃分后的陣列流型作為測量矩陣(即感知矩陣，因為信號具有天然稀特性，此時可以將稀疏字典理解成為一個單位陣)，根據陣列的輸出信號，然后利用稀疏恢復算法求解DOA估計信息。

根據式(1)中的陣列模型以及陣列輸出信號X，則以陣列流型作為感知矩陣的DOA估計模型可以表示為

X=Φ′Ψ′Z=Φ′Z=A′CSZ。

(7)

由于式(7)中的Z具有天然稀疏特性，此時稀疏字典Ψ′是一個單位陣，則感知矩陣A′CS=Φ′Ψ′=Φ′。根據構建的陣列輸出模型(1)可知，式(7)中的A′CS=Φ′=Ψ，Ψ的定義同式(3)中的Ψ，即稀疏字典。

綜上所述，該算法以稀疏字典作為壓縮感知DOA估計的感知矩陣，即感知矩陣A′CS=Φ′=ΦΨ。因此，可以結合格拉姆矩陣優(yōu)化測量矩陣的方法，根據格拉姆矩陣優(yōu)化測量矩陣所選取的采樣陣元，優(yōu)化式(5)中的測量矩陣Φ，根據Φ對原均勻線陣進行稀疏布陣，然后可以確定稀疏布陣后的陣列流型Φ′(該陣列流型為進行空域稀疏劃分后，稀疏陣列所對應的陣列流型)，最后利用該壓縮感知DOA估計模型進行角度估計。

如前所述，該算法沒有對陣列的輸出信號進行壓縮采樣，而是直接利用陣列(稀疏布陣后的陣列)的輸出信號，并且以進行空域稀疏劃分后的稀疏陣列的陣列流型充當感知矩陣(即稀疏字典為單位陣)，最后利用稀疏恢復算法求得DOA估計信息。

3 格拉姆矩陣優(yōu)化測量矩陣的方法

因此，構造如下的陣列優(yōu)化模型[10-11]：

(8)

當集合S較小時，可以采取遍歷的方法，即遍歷所有可能的采樣陣元組合；當集合S較大時，可以采取遺傳算法對測量矩陣進行優(yōu)化。

綜上所述，依據最優(yōu)互相關系數C所對應的采樣陣元，對原均勻線陣進行稀疏布陣，所得稀疏布陣方式，稱為Gram；次最優(yōu)互相關系數所對應的稀疏布陣方式，稱為Gramfix，即修正的格拉姆矩陣。采用格拉姆矩陣優(yōu)化測量矩陣時，其最優(yōu)互相關系數所對應的采樣陣元分布，與次最優(yōu)互相關系數所對應的采樣陣元分布情況相比，后者具有更好的非均勻特性。文獻[14]證明，相比于均勻線陣，非均勻線陣下利用OMP算法進行稀疏恢復時，其具有更高的稀疏恢復精度，因此選取次最優(yōu)互相關系數所對應的稀疏布陣(Gramfix)作為最佳稀疏布陣方式。然后，根據陣列的輸出信號，利用以陣列流型作為感知矩陣的壓縮感知DOA估計模型求得DOA信息。

4 仿真與分析

4.1 仿真

假設原均勻線陣ULA(未進行陣列稀疏布陣)共有17個陣元，陣元間距為入射信號的半波長；有3個相干的遠場窄帶入射信號，來波角度分別為-10°、25°、60°；稀疏字典的空域稀疏劃分個數為181，其按等角度進行劃分；陣列的采樣快拍數為60。假設當所估計的來波角度與實際信號的波達角度的誤差絕對值小于1°時，則認為估計正確。在對信號進行稀疏布陣時，假設另一均勻線陣(用于抽取采樣陣元的線陣)共有36個陣元，陣元間距為入射信號的半波長。根據優(yōu)化模型(8)，采取遍歷或者遺傳算法，分別選取最優(yōu)(Gram)以及次最優(yōu)(Gramfix)互相關系數C所對應的采樣陣元構造測量矩陣，然后構造一隨機測量矩陣(Random)(這里構造的隨機測量矩陣為不重復地隨機抽取36個陣元中的17個陣元)。根據以上3種測量矩陣，分別對原均勻線陣進行稀疏布陣。4種布陣方式所選取的陣元如表1所示。根據DOA估計模型(7)，利用稀疏恢復算法求得波達方向。

表1 4種布陣方式所選取的陣元

在信噪比(Signal-to-Noise Ratio,SNR)為5 dB的情況下，原均勻線陣以及3種稀疏布陣陣列所對應的一次DOA估計結果如圖1(a)所示；原均勻線陣以及次最優(yōu)采樣陣元所對應的稀疏陣列對應的一次DOA估計結果如圖1(b)所示；在信噪比為5 dB的情況下，其所對應的30次獨立重復試驗的DOA估計結果如表2所示。

(a)4種陣列所對應的DOA估計結果

(b)原陣列以及次最優(yōu)陣列對應的DOA估計結果

測量矩陣估計正確概率/%估計均方誤差根Gramfix1000Gram1000ULA91.113.7832Random84.4411.5905

在信噪比為-5～21 dB的情況下，每個信噪比下進行30次獨立重復試驗。原均勻線陣以及3種稀疏布陣陣列所對應的DOA估計正確概率如圖2(a)所示,所對應的DOA估計均方誤差根如圖2(b)所示。

(a)估計正確概率

(b)估計均方誤差根

4.2 分析

由表1可知4種不同的陣列布陣方式所選取的陣元。其中，原均勻線陣為36個陣元(均勻分布陣列)中所抽取的前17個陣元；采用格拉姆矩陣對陣列進行優(yōu)化布陣，對比其選取的最優(yōu)(Gram)以及次最優(yōu)(Gramfix)陣元，兩者有略微的不同；隨機布陣(Random)所選取的陣元為36個陣元中隨機不重復抽取17個陣元。

在信噪比為5 dB時，利用稀疏恢復算法求解一次DOA估計，由圖1(a)可以看出，4種陣列均能給出正確的DOA估計結果；圖1(b)為次最佳采樣陣元(Gram)構造的稀疏陣列與原均勻線陣的DOA估計結果的對比，兩種陣列布陣方式都能給出正確的DOA估計結果，且兩者估計結果在相同的估計角度處具有較小的幅值差。在相同信噪比下，進行30次獨立重復試驗，由表2可以看出，采用修正的格拉姆矩陣(Gramfix)對陣列進行稀疏布陣，其DOA估計正確概率最高、估計均方誤差根最小。

在不同信噪比下，進行30次獨立重復試驗。由圖2可知，當信噪比低于5 dB時，采用修正的格拉姆矩陣構造的稀疏陣列，與其他3種陣列相比，其具有相對較高的估計正確概率,且具有較低的估計均方誤差根。

5 結 論

本文將利用格拉姆矩陣優(yōu)化壓縮感知DOA測量矩陣的方法應用于陣列的稀疏布陣中,通過不重復抽取均勻陣列中的若干陣元構造測量矩陣，以測量矩陣和稀疏字典的乘積作為感知矩陣，以感知矩陣為基礎構造格拉姆矩陣，利用格拉姆矩陣構造優(yōu)化模型，根據優(yōu)化模型選取最佳采樣陣元，以所選取的最佳采樣陣元為依據對原均勻線陣進行稀疏布陣。

根據入射信號的天然稀疏性，以進行空域稀疏劃分后的稀疏陣列的陣列流型作為感知矩陣，結合稀疏陣列的陣列輸出，利用稀疏恢復算法求得波達方向。實驗仿真證明，該稀疏布陣模型相比于原均勻線陣以及其他稀疏陣列，在信噪比較低時具有更好的DOA估計性能。

該方法是基于均勻線陣進行優(yōu)化布陣，即所選取陣元的間距都是均勻線陣陣元間距的整數倍，則研究基于非均線陣以及其他陣型的優(yōu)化布陣具有一定的意義。由于解稀疏前未對陣列輸出信號進行壓縮采樣，因此，在陣元數目相同且數目較大的情況下，相比于陣列的壓縮采樣模型，以陣列流型作為感知矩陣的DOA估計算法具有相對較高的運算量。

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Design of Sparse Arrays Based on Compressive Sensing DOA Estimation

LIU Penglu,YANG Jie

(School of Communication and Information Engineering,Xi′an University of Posts and Telecommunications,Xi′an 710121,China)

According to the method of optimizing measurement matrix through Gram matrix,a sparse array design method for uniform linear array(ULA) based on compressive sensing direction of arrival(DOA) estimation is proposed. Without compressive sampling,this method can draw the DOA estimation results through the sparse recovery algorithm by using the output data of sparse array directly. The experimental simulation results show that,especially under the condition of less array elements and lower signal-to-noise ratio(SNR),this method has a better performance of DOA estimation compared with the original ULA.

compressive sensing;measurement matric;Gram matrix;sparse array;DOA estimation

10.3969/j.issn.1001-893x.2017.04.002

劉朋露，楊潔.基于壓縮感知DOA估計的稀疏陣列設計[J].電訊技術，2017,57(4):382-386.[LIU Penglu,YANG Jie.Design of sparse arrays based on compressive sensing DOA estimation[J].Telecommunication Engineering,2017,57(4):382-386.]

2016-09-02；

2016-12-14 Received date:2016-09-02；Revised date：2016-12-14

國家自然科學基金青年科學基金資助項目(61402365);陜西省科技攻關計劃(2013K06-33)

TN911.7

A

1001-893X(2017)04-0382-05

劉朋露(1990—)，男，河南新鄉(xiāng)人，2014年獲學士學位，現(xiàn)為碩士研究生，主要研究方向為通信信號處理及應用;

Email:emailoflpl@163.com

楊 潔(1976—)，女，陜西西安人,2006年獲碩士學位,現(xiàn)為副教授，主要從事陣列信號處理、自適應信號處理及其在通信與雷達中的應用研究。

*通信作者：emailoflpl@163.com Corresponding author：emailoflpl@163.com