杜美容， 盧 金

(湖州師范學院 理學院， 浙江 湖州 313000)

Schwarz-Pick引理的推廣

杜美容， 盧 金

(湖州師范學院 理學院， 浙江 湖州 313000)

利用Schwarz引理和單位圓盤自同構(gòu)，并結(jié)合系數(shù)估計，通過二階、三階求導，給出單位圓盤上全純函數(shù)的Schwarz-Pick引理的高階推廣.

Schwarz-Pick引理； Schwarz引理； 全純函數(shù)

MSC 2010:30C10

定義1[1-3]設f是單位圓盤D上的函數(shù).若z∈D,f在z處可微,則稱f為D上的全純函數(shù).若z,w∈D,當z≠w時，有f(z)≠f(w)，則稱f在D上是單葉的.若f是D上的單葉全純函數(shù)，且f(D)=D,則稱f是D上的一個全純自同構(gòu),D上全純自同構(gòu)的全體記為Aut(D).單位圓盤的自同構(gòu)具有如下形式：

式中：a為單位圓盤內(nèi)的點；θ為實數(shù).

Schwarz在1885年提出了Schwarz引理，得到了單復變中重要的Riemann映射定理.Pick在1915年將Schwarz引理推廣到更一般的形式,得到了Schwarz-Pick引理.

Schwarz-Pick引理[1]設f為D到D內(nèi)的全純映射，則

?z∈D.

文獻[4-7] 給出了f(z)高階導數(shù)估計，也可認為是Schwarz-Pick引理的推廣.本文運用Schwarz引理和單位圓盤自同構(gòu)，得到了與之前不同的二階和三階估計.

1 主要結(jié)果

首先，本文運用兩個基本引理刻畫二階和三階導數(shù),其中引理2是系數(shù)關系.

引理2 設g為D到D內(nèi)的全純函數(shù)，且g(z)=a1z+a2z2+a3z3+…則

定理1 設f為D到D內(nèi)的全純函數(shù)，則

?z∈D，

且該估計是精確的.

證明 取定z0∈D,設f(z0)=w0，則令f=ψw0°g°φz0，其中：

g為D到D內(nèi)的全純函數(shù)，且g(0)=0.

由于g(0)=0,即令g(z)=a1z+a2z2+a3z3+…則g′(0)=a1,g″(0)=2a2,記f1=g°φz0，得:

再考慮f=ψ°f1，其中：

則可得:

由引理2，帶入系數(shù)關系，

故對任意的z∈D,有：

該估計是精確的,取g(z)=z,則

f1(z)=g(φz0(z))=φz0(z),f(z)=ψw0(f1(z))=ψw0(φz0(z)),

于是

證畢.

定理2 設f為D到D內(nèi)的全純函數(shù)，則

證明 設a∈D,令g(z)=φf(a)[f(φa(z))]，其中：

于是有：

則

當z=0時，有:

類似地，可以得到:

于是

故

那么

等式兩邊取絕對值，得:

又由a,z的任意性，則

?z∈D.

證畢.

定理3 設f為D到D內(nèi)全純函數(shù)，則

證明 令g(z)=φf(a)[f(φa(z))],其中：

則有：

且

求三次導數(shù)得：

當z=0時，

(1)

則

(2)

類似地，可以得到：

那么

(3)

因此有：

(4)

則

(5)

類似地，可以得到：

于是

(6)

故

則

也即

(7)

即

(8)

類似地，可得到:

故

(9)

將(2)式～(9)式代入(1)式,得:

于是

即

則

?

等式兩邊取絕對值，得:

(10)

由引理1知:

代入(10)式，可得：

又由a，z的任意性，則

?z∈D.

證畢.

[1]史濟懷，劉太順.復變函數(shù)[M].合肥:中國科學技術大學出版社，1998.

[2]龔升.簡明復分析[M].北京:北京大學出版社,1999.

[3]龔升．關于Mobius變換的一點注記[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學，1985，1(1)：1-15．

[4]潘一飛，廖孝中．關于有界函數(shù)的導數(shù)[J].江西師范大學學報，1984(1)：21-24．

[5]苑文法．有界正則函數(shù)的導數(shù)估計[J].數(shù)學雜志，2001，21(3)：301-303．

[6]戴紹虞，潘一飛.有界解析函數(shù)n階導數(shù)的估計[J].數(shù)學雜志,2010,30(2):296-302.

[7]DAISY，PANYF．NoteonSchwarz-Pickestimatesforboundedandpositiverealpartanalyticfunctions[J].ProcAmerMathSoc，2008，136(2)：635-640．

MSC 2010:30C10

[責任編輯 高俊娥]

The Generalization of Schwarz-Pick Lemm

DU Meirong, LU Jin

(School of Science, Huzhou University, Huzhou 313000, China)

In this paper, using Schwarz lemma and automorphism of unit disk, combining the estimation of coefficient, we obtain the generalization of holomorphic function's Schwarz-Pick lemma to higher-order derivatives with the second and third differentiations in the unit disk.

Schwarz Lemma; Schwarz-Pick Lemma; holomorphic function

2016-10-23

國家自然科學基金項目(11501198)；浙江省自然科學基金項目(LY16A010012);湖州師范學院“大學生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓練計劃”項目(2016-112).

盧金，講師，研究方向：多復分析.E-mail:luking@zjhu.edu.cn.

O174.5

A

1009-1734(2017)02-0001-07