耿 濟

(海南大學，海南 ?？?570228)

數(shù)學娛樂(十八)
——高等數(shù)學的3個問題

耿 濟

(海南大學，海南 ?？?570228)

本文分為3部分，第1部分是等價萊布尼茲定理，第2部分是對應(yīng)歐拉公式，第3部分是三角函數(shù)推廣.

等價萊布尼茲定理； 對應(yīng)歐拉公式； 三角函數(shù)推廣

本文是數(shù)學娛樂系列文獻[1-17]的續(xù)作.

學習高等數(shù)學要有興趣、要有發(fā)現(xiàn)問題和解決問題的能力，才能有所收獲.筆者首先從萊布尼茲定理、歐拉公式以及三角函數(shù)展開式上發(fā)現(xiàn)有關(guān)3個問題，其依次解決有關(guān)3個問題獲得等價萊布尼茲定理、對應(yīng)歐拉公式以及三角函數(shù)推廣.

1 等價萊布尼茲定理

首先，簡介萊布尼茲定理以及發(fā)現(xiàn)過程.

據(jù)說萊布尼茲觀察一批導(dǎo)數(shù)公式

(fg)′=f′g+fg′，

(fg)″=f″g+2f′g′+fg″，

(fg)?=f?g+3f″g′+3f′g″+fg?，

… … …

從特殊到一般的導(dǎo)數(shù)公式，經(jīng)過證明得到結(jié)果.

萊布尼茲定理 設(shè)n為正整數(shù)，函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間I上n階可導(dǎo)，就有

其次，把前面的一批導(dǎo)數(shù)公式改成一批新的公式

f′g+fg′=(fg)′，

f″g+fg″=(fg)″-2f′g′，

f?g+fg?=(fg)?-3(f′g′)′，

f″″g+fg″″=(fg)″″-4(f′g′)″+2f″g″，

… … …

假設(shè)函數(shù)f(x)=eax，g(x)=ebx代入，左右兩式約去函數(shù)e(a+b)x≠0后，出現(xiàn)代數(shù)恒等式

a+b=(a+b),

a2+b2=(a+b)2-2ab，

a3+b3=(a+b)3-3(a+b)ab,

a4+b4=(a+b)4-4(a+b)2ab+2(ab)2，

… … …

遠在1754年拉格朗日得到的結(jié)果[18]

現(xiàn)在獲得下述結(jié)果

等價萊布尼茲定理 設(shè)n為正整數(shù)，函數(shù)f(x)，g(x)在區(qū)間I上n階可導(dǎo)，就有

證明 已知n=1，2時定理成立，假設(shè)2

應(yīng)用簡單的導(dǎo)數(shù)公式

f(k)g+fg(k)=(f(k-1)g+fg(k-1))′-((f′)(n-2)g′+f′(g′)n-2) ，

把假設(shè)成立的結(jié)果代入后，經(jīng)過整理合并得到

所以當n=k時定理成立，證畢.

其次，關(guān)于等價性的證明，應(yīng)用組合與圓組合恒等式[14]

其中，0

最后，關(guān)于一般萊布尼茲定理的結(jié)果，請參考湘潭大學唐祐華教授新書的結(jié)果[18].

推廣萊布尼茲定理 設(shè)n為正整數(shù)，實數(shù)或復(fù)數(shù)a0,a1,a2,…,an,且ak=an-k，0≤k≤n，函數(shù)f(x),g(x)在區(qū)間I上n階可導(dǎo)，就有

這一結(jié)果包含上述萊布尼茲定理和等價萊布尼茲定理，還包含無窮多個等價萊布尼茲定理.

2 對應(yīng)歐拉公式

首先，簡介歐拉公式及其發(fā)現(xiàn)過程.

據(jù)說歐拉觀察下述函數(shù)展開式

發(fā)現(xiàn)把exp(x)中的x換成ix后得出等式，經(jīng)過證明成立.

歐拉公式 exp(ix)=cosx+i sinx.

圖1 函數(shù)關(guān)系

通過圖1說明對數(shù)函數(shù)與反三角函數(shù)之間可能存在對應(yīng)歐拉公式的關(guān)系.

熟知有理函數(shù)不定積分出現(xiàn)對數(shù)函數(shù)和反正切函數(shù)，例如

現(xiàn)在進一步猜想：對應(yīng)歐拉公式可能是對數(shù)函數(shù)與反正切函數(shù)的關(guān)系.

已知函數(shù)展開式

如果把對數(shù)函數(shù)展開式中的變量x換成ix后，展開式分成實部與虛部，就有

這樣得到對應(yīng)歐拉公式

假設(shè)微分方程

初始條件y|x=0=0時，解出y=ln(1+ix)，所以f(x)=ln(1+ix)，證畢.

另一證明 從等式出發(fā)

就有

應(yīng)用換元法又有

分別積分得到

當x=0時，確定常數(shù)C=0，證畢.

對應(yīng)歐拉公式的一般形式 設(shè)a,b,c為任意實數(shù)，且b≠0，a>0時，就有

證明 參考前面的證法，從略.

這種新的積分法值得進一步探討.

3 正弦函數(shù)與余弦函數(shù)推廣

現(xiàn)在探討從歐拉公式推廣到正弦函數(shù)與余弦函數(shù)推廣.

設(shè)f1(x)=cosx,f2(x)=sinx,歐拉公式就是exp(ix)=f1(x)+if2(x).這一公式的由來是把exp(x)展開式中的x換成ix，然后把實部和虛部分開.

又有exp(jx)=F1(x)+jF2(x)+j2F2(x) .

由此得出F1(x)，F(xiàn)2(x)，F(xiàn)3(x)的微分方程組

初值條件F1(0)=1，F(xiàn)2(0)=0，F(xiàn)3(0)=0 .

y1=exp(λ1x)=exp(-ix)，

把y1,y2,y3相加除3得到

經(jīng)驗證y0適合上述微分方程及其初值條件的特解，所以y0=F1(x)，對y0求一次導(dǎo)數(shù)得出F2(x)，對y0求二次導(dǎo)數(shù)得出F3(x)，這樣得出F1(x)，F(xiàn)2(x)，F(xiàn)3(x)的初等函數(shù)表達式

函數(shù)組F1(x)，F(xiàn)2(x)，F(xiàn)3(x)具有下述重要性質(zhì).

性質(zhì)1

展開為恒等式

性質(zhì)2

應(yīng)用矩陣乘法得出

F1(x+y)=F1(x)F1(y)-F3(x)F2(y)-F2(x)F3(y)，

F2(x+y)=F2(x)F1(y)+F1(x)F2(y)-F3(x)F3(y) ，

F3(x+y)=F3(x)F1(y)+F2(x)F2(y)+F1(x)F3(y) .

性質(zhì)3

(F1(x)+jF2(x)+j2F3(x))n=F1(nx)+jF2(nx)+j2F3(nx)，

其中，n為正整數(shù).

性質(zhì)4

exp(jx)=F1(x)+jF2(x)+j2F3(x) .

證明 從略(讀者如有興趣自行驗證).

最后應(yīng)該指出余弦函數(shù)f1(x)=cosx，正弦函數(shù)f2=sinx也有上述性質(zhì).

性質(zhì)1′

性質(zhì)2′

展開即得f1(x+y)=f1(x)f1(y)-f2(x)f2(y),f2(x+y)=f2(x)f1(y)+f1(x)f2(y) .

性質(zhì)3′ 當n為正整數(shù)時，就有

(f1(x)+if2(x))n=f1(nx)+if2(nx).

性質(zhì)4′

exp(ix)=f1(x)+if2(x).

由此可見，函數(shù)組f1(x)，f2(x)與函數(shù)組F1(x)，F(xiàn)2(x)，F(xiàn)3(x)具有相同的上述性質(zhì)，所以稱函數(shù)組F1(x)，F(xiàn)2(x)，F(xiàn)3(x)為余弦函數(shù)f1(x)=cosx，正弦函數(shù)f2(x)=sinx的推廣，或稱三角函數(shù)推廣.

[1] 職濟.數(shù)學娛樂(一)——夫妻問題的新證與應(yīng)用[J].海南大學學報：自然科學版，2007，25(4)：321-324.

[2] 職濟.數(shù)學娛樂(二)——牙牌問題的新證與推廣[J].海南大學學報：自然科學版，2008，26(3)：206-219.

[3] 職濟.數(shù)學娛樂(三)——洛書定理與應(yīng)用[J].海南大學學報：自然科學版，2008，26(4)：303-308.

[4] 職濟.數(shù)學娛樂(四)——Nasik幻方的性質(zhì)與構(gòu)造法[J].海南大學學報：自然科學版，2009，27(2)：107-115.

[5] 職濟.數(shù)學娛樂(五)——推廣Fibonacci數(shù)列與冪級數(shù)和[J].海南大學學報：自然科學版，2009，27(4)：313-319.

[6] 職濟.數(shù)學娛樂(六)——移棋相間[J].海南大學學報：自然科學版，2010，28(1)：1-10，14.

[7] 職濟.數(shù)學娛樂(七)——一個麻將和牌問題[J].海南大學學報：自然科學版，2010，28(2)：92-98.

[8] 職濟.數(shù)學娛樂(八)——易經(jīng)卦象的起源與考古發(fā)現(xiàn)的奇字[J].海南大學學報：自然科學版，2011，29(2)：99-103.

[9] 職濟.數(shù)學娛樂(九)——學習《九章算術(shù)》的收獲[J].海南大學學報：自然科學版，2011，29(4)：297-304.

[10] 職濟.數(shù)學娛樂(十)——學習《九章算術(shù)》的收獲[J].海南大學學報：自然科學版，2012，30(2)：95-102.

[11] 職濟.數(shù)學娛樂(十一)——幻方與線性代數(shù)[J].海南大學學報：自然科學版，2012，30(4)：299-305.

[12] 職濟.數(shù)學娛樂(十二)——廣義華林公式與應(yīng)用[J].海南大學學報：自然科學版，2013，31(1)：1-7.

[13] 職濟.數(shù)學娛樂(十三)——類似華林公式的新公式[J].海南大學學報：自然科學版，2013，31(2)：93-99.

[14] 職濟.數(shù)學娛樂(十四)——圓組合新概念與圓組合恒等式[J].海南大學學報：自然科學版，2014，32(1)：1-7.

[15] 職濟.數(shù)學娛樂(十五)——從三角函數(shù)公式到伯努利數(shù)和歐拉數(shù)[J].海南大學學報：自然科學版，2014，32(4)：205-301.

[16] 職濟.數(shù)學娛樂(十六)——移棋相間問題與國際科研成果[J].海南大學學報：自然科學版，2015，33(3)：197-203.

[17] 職濟.數(shù)學娛樂(十七)——黎族數(shù)字[J].海南大學學報：自然科學版，2016，34(3)：199-202.

[18] 唐祐華.二元齊次對稱多項式與二項式定理[M]杭州：浙江大學出版社，2012，217-225.

Mathematical Recreation (XVIII): Three Questions of Higher Mathematics

Geng Ji

(Hainan University, Haikou 570228, China)

The report includes three parts. The first part is equivalent Leibniz theorem, the second part is corresponding Euler formula, and the third part is the extension of trigonometric function.

equivalent Leibniz theorem; corresponding Euler formula; the extension of trigonometric function

2016-06-01

耿濟(1929-)，男，江蘇鎮(zhèn)江人，海南大學(退休)教授

1004-1729(2017)01-0001-06

O 172

A DOl：10.15886/j.cnki.hdxbzkb.2017.0001