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        對(duì)等時(shí)圓的幾點(diǎn)思考

        2017-04-25 08:42:10許文
        中學(xué)物理·高中 2017年1期
        關(guān)鍵詞:結(jié)論條件

        許文

        摘要:本文總結(jié)了力學(xué)等時(shí)圓結(jié)論的幾種證明方法,探討其結(jié)論成立的條件,并從等時(shí)圓結(jié)論的一種證明方法中發(fā)現(xiàn)軌道不光滑時(shí)存在“另一等時(shí)圓”.

        關(guān)鍵詞:等時(shí)圓;結(jié)論;條件

        1力學(xué)等時(shí)圓

        表述1:如圖1所示,從豎直圓環(huán)的最高點(diǎn)A向圓環(huán)內(nèi)作多條不同的光滑的弦軌道,一小物體從A點(diǎn)自靜止開始分別沿這些軌道自由下滑到軌道另一端的圓環(huán)上所用時(shí)間相等.

        表述2:如圖2所示,B點(diǎn)為豎直平面內(nèi)圓環(huán)的最低點(diǎn),在圓環(huán)上向最低點(diǎn)B作多條不同的光滑弦軌道,一個(gè)小物體分別從這些軌道的上端點(diǎn)圓環(huán)上靜止開始自由下滑到軌道的最低點(diǎn)B所用時(shí)間相等.

        圖1或圖2中的圓叫等時(shí)圓,以上兩點(diǎn)表述是關(guān)于等時(shí)圓的經(jīng)典結(jié)論,這一結(jié)論可以遷移并應(yīng)用到許多實(shí)際問題中,為問題的分析解決帶來了便捷.

        2幾點(diǎn)思考

        21結(jié)論的證明方法

        211對(duì)表述1

        證法1:如圖3所示,設(shè)圓的半徑為R,某一條弦軌道的水平傾角為α ,則該軌道的長度 s =2Rsinα,由牛頓運(yùn)動(dòng)定律知小物體在該弦軌道上無摩擦地下滑時(shí)加速度大小為a=gsinα ,下滑的時(shí)間為t ,由s=12at2,得t=2Rg(與α無關(guān)),即小物體從A點(diǎn)自靜止開始分別沿這些軌道自由下滑到軌道另一端的圓環(huán)上所用時(shí)間相等.

        證法2:建立如圖3所示的坐標(biāo)系,設(shè)對(duì)任一水平傾角為α的弦軌道,加速度a=gsinα ,運(yùn)動(dòng)t 時(shí)刻小物體位置坐標(biāo)為

        x=12at2cosα,

        y=-12at2sinα,消去可得:

        x2+(y+gt24)2=(gt24)2,這是一個(gè)圓的方程.可見無論軌道的水平傾角α為何值,小物體從靜止開始沿不同的光滑直軌道下滑,運(yùn)動(dòng)相同的時(shí)間t,小物體在同一圓周上.

        證法3:建立如圖4所示的極坐標(biāo)系.設(shè)小物體從某點(diǎn)(r,α)沿傾角α的光滑直軌道下滑到O點(diǎn)的時(shí)間為t,則有

        a=gsinα, r=12at2,

        可得r=12gt2sinα=ksinα,這是一個(gè)圓的方程,其中k=12gt2,即小物體從靜止開始沿光滑的直軌道下滑到O點(diǎn)的時(shí)間t相同時(shí),所有直軌道的起始點(diǎn)在同一個(gè)圓周上.

        證法1是求出物體沿任一弦軌道下滑的時(shí)間t,發(fā)現(xiàn)結(jié)果t與軌道的特性(水平傾角α)無關(guān),由此推知物體沿上端在圓的最高點(diǎn)的所有弦軌道下滑時(shí)間相等,這是容易想到的最基本的證法;證法2選取直角坐標(biāo)系,求出物體沿任一直軌道下滑時(shí)間t的位置坐標(biāo)(x,y),通過解析幾何知識(shí)發(fā)現(xiàn)小物體沿不同的光滑直軌道下滑,運(yùn)動(dòng)相同的時(shí)間t,小物體的位置分布在同一圓周上.這種證法巧妙地將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,給人一種清新的感覺,是一種最為實(shí)用的證法;證法3思路同證法2,但選取的是極坐標(biāo)系,過程較證法2簡潔,給人一種高屋建瓴之感,是一種最具內(nèi)涵的證法.

        212對(duì)表述2

        證明:如圖5所示,過圓的最高點(diǎn)A分別作弦軌道CB、DB的平行軌道AC′、A D′.由于AC′與CB平行且等長,小物體從A點(diǎn)沿AC′滑到C′點(diǎn)時(shí)間與從C點(diǎn)沿CB滑到B點(diǎn)時(shí)間相等.同理可知小物體從D沿DB滑到B點(diǎn)與從A點(diǎn)沿A D′滑到D′點(diǎn)等時(shí),由表述1知:小物體分別從任意兩軌道的最高點(diǎn)靜止開始無摩擦地沿兩軌道下滑到最低點(diǎn)B所用的時(shí)間相等.

        22初速度不一定為零

        如圖6所示,同一豎直平面內(nèi)兩圓相切于B點(diǎn)(B點(diǎn)為下面圓的最高點(diǎn)),在兩圓內(nèi)過B點(diǎn)作許多條光滑的直軌道(每條軌道的兩個(gè)端點(diǎn)都分別在這兩個(gè)圓周上).則一個(gè)小物體分別從每條軌道的上端靜止開始下滑到軌道的下端所用時(shí)間相等.

        證明:設(shè)上、下兩圓的半徑分別為 r 和R,過B點(diǎn)作任意一條軌道 1 ,設(shè)其兩端點(diǎn)分別為M、N .以r +R為半徑作一圓與原來兩圓分別切于最高點(diǎn)A和最低點(diǎn)C(如圖6所示),過A點(diǎn)作原軌道1的平行線AD,連CD,據(jù)幾何知識(shí)我們不難證明 CD與下面圓的交點(diǎn)即為N點(diǎn),且AD與MN平行且相等.故物體從M 點(diǎn)沿軌道1靜止開始下滑到N點(diǎn)所需時(shí)間等于從A點(diǎn)沿AD 靜止開始下滑到D點(diǎn)所需時(shí)間,且等于從A點(diǎn)作自由落體運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)所需時(shí)間t=2R+rg;這與軌道1的水平傾角無關(guān),即命題成立.

        由等時(shí)圓的結(jié)論,我們可以看出,小物體分別沿圖6中最高點(diǎn)不在同一水平線上的軌道1和2的頂端靜止開始滑到B點(diǎn)的時(shí)間是相等的,但物體滑到B點(diǎn)時(shí)速度的大小卻不相同 ,而物體沿這兩條軌道運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間卻是相等的,則物體分別沿這兩條軌道滑到B點(diǎn)以后在下面圓內(nèi)的另一段軌道上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間應(yīng)是相等的.由此可見,前面給出的關(guān)于等時(shí)圓的結(jié)論中,物體自軌道的最高點(diǎn)不一定要從靜止開始下滑,結(jié)論才成立,可以有著不同的初速度下滑,結(jié)論也成立.

        那么,下滑的初速度是否取任意值結(jié)論都成立呢?

        如圖6所示,設(shè)光滑直軌道1的水平傾角為α,物體沿此軌道下滑的加速度為a=gsinα,且MB=2rsinα,則物體從軌道1的最高點(diǎn)M 靜止下滑到B點(diǎn)時(shí)速度大小為:v0=2a·MB=2sinαgr,又BN=2Rsinα ,設(shè)物體從B點(diǎn)滑到N點(diǎn)的時(shí)間為t′,則有:BN=v0t′+12at′2

        ,可得:2R=2grt′+12gt′2,可見t′與α角無關(guān).

        由以上分析可知,只要物體沿水平傾角為α的軌道下滑的初速度的大小滿足v0 =ksinα (k≥0,是對(duì)所有軌道都相同的常數(shù)),則等時(shí)圓的結(jié)論就成立.

        23軌道不光滑存在另一等時(shí)圓

        建立如圖7所示的極坐標(biāo)系.設(shè)小物體與軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ,小物體從某點(diǎn)B(r,α)沿傾角α(90°≥α>=arctanμ )的直軌道下滑到O點(diǎn)的時(shí)間為t,則下滑的加速度大小為a=g(sinα – μcosα),由r=12at2得:t=12gt2(sinα-μcosα)=ksin(α-),這是一個(gè)圓的方程,這里k=121+μ2gt2,即小物體靜止開始沿與動(dòng)摩擦因數(shù)相同的直軌道下滑到O點(diǎn)時(shí)間t相同時(shí),所有直軌道的起始點(diǎn)位于同一個(gè)圓周的某一部分上(如圖8圓周的實(shí)線部分),該圓與傾角為φ 的斜面相切(物體在此斜面上恰好不能靜止下滑),值得注意的是O不是此圓的最低點(diǎn).

        同理可得,如圖9所示,直軌道不光滑時(shí),從圓上非最高點(diǎn)A沿不同直軌道靜止下滑到軌道另一端的圓上所用時(shí)間相同.

        可見,直軌道不光滑也可構(gòu)成另一種“等時(shí)圓”.

        練習(xí):如圖10所示,有多條直軌道的下端交于O點(diǎn),所有軌道的兩端點(diǎn)均在同一圓周上,一個(gè)小物體分別沿第一條直軌道的上端下滑到O點(diǎn)的時(shí)間相同,則

        ①小物體的初速度不一定為零,但沿所有軌道下滑的初速度大小相等

        ②小物體的初速度可能不為零,但沿所有軌道下滑的初速度大小不相等

        ③所有直軌道必須光滑

        ④所有直軌道不一定光滑,小物體與每條軌道的動(dòng)摩擦因數(shù)必須相同

        ⑤O點(diǎn)一定是圓的最低點(diǎn)

        ⑥O點(diǎn)不一定是圓的最低點(diǎn)

        關(guān)于以上說法中正確的是( )

        A.①③⑤ B.②④⑤

        C.②④⑥ D.①④⑥

        答案:C

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