胡冬生，王俊峰，張普卓

（1. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京，100076；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076）

基于分解策略的SSO任務(wù)發(fā)射軌道優(yōu)化研究

胡冬生1，王俊峰2，張普卓2

（1. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展中心，北京，100076；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京，100076）

700 km太陽同步軌道為運(yùn)載火箭彈道設(shè)計中典型的發(fā)射任務(wù)。采用軌跡分解優(yōu)化策略對此類任務(wù)的發(fā)射軌道進(jìn)行研究，分析了中間軌道近地點(diǎn)高度、入軌點(diǎn)真近點(diǎn)角兩個約束變量對火箭運(yùn)載能力的影響，并重點(diǎn)結(jié)合氣動熱流限制對約束變量的取值進(jìn)行了計算分析。采用的研究思路和得出的結(jié)論對于運(yùn)載火箭上升段彈道的優(yōu)化設(shè)計以及提升運(yùn)算收斂性和設(shè)計效率均有一定的意義。

分解優(yōu)化策略；發(fā)射軌道；約束變量；氣動熱流

0 引 言

700 km太陽同步軌道（Sun Synchronous Orbit，SSO），廣泛應(yīng)用于地球資源勘察、氣象/災(zāi)害監(jiān)測、軍事偵察等對地觀測領(lǐng)域，很多情況下運(yùn)載火箭的設(shè)計基于700 km SSO運(yùn)載能力作為技術(shù)指標(biāo)。對于該類發(fā)射任務(wù)，運(yùn)載火箭上升段彈道往往采用有中間軌道的發(fā)射彈道，通過無動力滑行，利用重力來改變速度方向，進(jìn)而提升火箭性能，解決火箭動力飛行時間短的問題[1,2]；如此帶來設(shè)計變量的增多，彈道設(shè)計及優(yōu)化復(fù)雜。火箭飛行過程包含上升段、中間無動力轉(zhuǎn)移段和軌道圓化段，各個飛行段不同的彈道特性增強(qiáng)了整個問題的非線性，算法收斂變得更加困難[3]。在這類多軌跡段的彈道優(yōu)化問題的求解上，軌跡分解優(yōu)化策略是一種有效的手段。本文應(yīng)用分解優(yōu)化策略對SSO任務(wù)的發(fā)射軌道進(jìn)行分析研究。

1 分解優(yōu)化策略設(shè)計思路

1.1 分解優(yōu)化策略概述

分解優(yōu)化策略是將整個任務(wù)分為不同的飛行段，如上升段、再入段、滑行段等，每個飛行段通過設(shè)置不同的約束目標(biāo)值產(chǎn)生一個滿秩的子問題，可以應(yīng)用迭代法求解。同時，這些子問題中的約束又作為主問題中的獨(dú)立變量，結(jié)合整個問題的優(yōu)化目標(biāo)應(yīng)用梯度投影法等算法對這些獨(dú)立變量進(jìn)行優(yōu)化。在整個問題的求解中，第1級是各個子問題的迭代求解，第2級是主問題的優(yōu)化。采用兩級分解優(yōu)化策略后，問題的收斂大大加快，提高了優(yōu)化效率。

Petersen等應(yīng)用兩級軌跡分解算法對執(zhí)行地球同步轉(zhuǎn)移軌道（Geostationary transfer oribt，GTO）任務(wù)的火箭發(fā)射彈道進(jìn)行了研究，將整個彈道分解為上升段、軌道轉(zhuǎn)移段及軌道圓化段，并引入衛(wèi)星質(zhì)量、上升段關(guān)機(jī)速度及轉(zhuǎn)移軌道傾角作為子問題的目標(biāo)約束及主問題的獨(dú)立變量，進(jìn)而以運(yùn)載能力為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化得到約束變量的值[3]；Beltracchi等應(yīng)用分解策略對地球靜止軌道（Geostationary Earth Orbit，GEO）任務(wù)開展分析，將整個彈道優(yōu)化問題分解成助推級及上面級兩個飛行段，以中間停泊軌道參數(shù)作為子問題的目標(biāo)約束（近地點(diǎn)高度、遠(yuǎn)地點(diǎn)高度和近地點(diǎn)輻角），對子問題和主問題均開展優(yōu)化運(yùn)算，通過優(yōu)化停泊軌道參數(shù)提升GEO任務(wù)的運(yùn)載能力，同時針對停泊軌道參數(shù)對運(yùn)載能力的靈敏度進(jìn)行計算分析，以獲得不同參數(shù)取值對運(yùn)載能力的影響[4]。

1.2 SSO任務(wù)發(fā)射軌道分解策略設(shè)計模型

對于三級運(yùn)載火箭（三級可二次啟動）執(zhí)行700 km SSO任務(wù)的彈道設(shè)計而言，其飛行過程為：火箭起飛至三級一次關(guān)機(jī)進(jìn)入中間轉(zhuǎn)移軌道，滑行一段時間后，在700 km高度左右二次點(diǎn)火進(jìn)行軌道圓化，最終進(jìn)入目標(biāo)軌道。圖1為運(yùn)載火箭執(zhí)行700 km SSO任務(wù)發(fā)射軌道示意。

圖1 運(yùn)載火箭執(zhí)行700km SSO任務(wù)發(fā)射軌道示意

通常除了發(fā)射方位角可通過與軌道傾角的關(guān)系進(jìn)行獨(dú)立設(shè)計外，還有一級最大攻角αm、二級程序角斜率dφcx2、三級一次飛行段程序角斜率dφcx31、三級一次關(guān)機(jī)時間tk31、三級滑行時間tc、三級二次點(diǎn)火時刻程序角 φcx32、三級二次飛行段程序角斜率 dφcx32、三級二次工作時間tk32共8個設(shè)計變量，而目標(biāo)約束僅有3個：700 km SSO入軌點(diǎn)的v，r，θ。設(shè)計變量個數(shù)遠(yuǎn)遠(yuǎn)多于約束個數(shù)。

一般情況下，三級二次工作時間較短，該段程序角斜率對結(jié)果影響很小，可認(rèn)為該段按常值程序角飛行，即dφcx32=0。對于其余的設(shè)計變量，可以根據(jù)分解策略引入若干中間約束，將全飛行段分為3個小段，每個小段的設(shè)計變量與約束個數(shù)相等，從而應(yīng)用迭代法求解方程組的方式來求出設(shè)計變量值。引入的3個約束分別為一級關(guān)機(jī)點(diǎn)當(dāng)?shù)貜椀纼A角 θk、中間軌道近地點(diǎn)高度hp及中間軌道入軌點(diǎn)位置f（即真近點(diǎn)角），運(yùn)載能力僅與這3個參數(shù)有關(guān)，可表示成三者的函數(shù)。同時，添加了 1個不等式約束：末級剩余推進(jìn)劑量mpr≥0 kg。因此，彈道優(yōu)化的目的即為尋找一級關(guān)機(jī)點(diǎn)θk、中間軌道hp及入軌點(diǎn)f，使得火箭運(yùn)載能力最大。尤其需要開展中間軌道 hp及入軌點(diǎn) f對火箭彈道設(shè)計的影響，給出合理取值范圍，以有效指導(dǎo)發(fā)射軌道的設(shè)計和優(yōu)化。由此可將原問題轉(zhuǎn)化為 1個主問題和 3個子問題，如圖2所示。

圖2 三級運(yùn)載火箭執(zhí)行SSO任務(wù)分解策略優(yōu)化方法

1.3 仿真計算效果

以某三級液體運(yùn)載火箭為例，進(jìn)行彈道優(yōu)化計算和分析。彈道計算中采用橢球形地球模型，考慮J2項(xiàng)引力攝動，所用彈道計算模型見文獻(xiàn)[5]。

采用傳統(tǒng)方法求解時，算法對初值的設(shè)置較為敏感，常出現(xiàn)運(yùn)算發(fā)散需要修改初值并重新啟動運(yùn)行的情況，且在數(shù)十次迭代以內(nèi)難以收斂。分解優(yōu)化策略雖然增加了求解問題的數(shù)量，但每個子問題的求解均比較簡單，且僅需迭代4次左右即可完成收斂，子問題的順利求解加快了主問題的求解速度。相對而言，分解優(yōu)化策略大大增加了求解的可靠性和魯棒性[6]。

2 優(yōu)化變量對火箭性能的影響分析

2.1 不同近地點(diǎn)高度及真近點(diǎn)角情況下的運(yùn)載能力

為計算分析不同近地點(diǎn)高度及真近點(diǎn)角對運(yùn)載能力的影響，分別計算近地點(diǎn)高度取值區(qū)間為20～250 km情況下，不同真近點(diǎn)角時（對應(yīng)中間軌道不同入軌點(diǎn)）對應(yīng)的運(yùn)載能力。在每次計算中，暫不考慮落區(qū)約束，設(shè)定近地點(diǎn)高度及真近點(diǎn)角為固定值，優(yōu)化一級關(guān)機(jī)點(diǎn)當(dāng)?shù)貜椀纼A角，使火箭運(yùn)載能力最大。當(dāng)近地點(diǎn)高度小于80 km時（含亞軌道），人為設(shè)定火箭進(jìn)入中間軌道時高度應(yīng)大于80 km，且在近地點(diǎn)以后入軌。

近地點(diǎn)高度為80～250 km情況下運(yùn)載能力隨真近點(diǎn)角變化曲線見圖3。為便于比較，將計算出的運(yùn)載能力統(tǒng)一除以某固定值，形成無量綱運(yùn)載能力。

圖3 不同近地點(diǎn)高度運(yùn)載能力曲線

由圖3可以看出：

a）運(yùn)載能力隨著近地點(diǎn)高度的降低而增加。近地點(diǎn)高度降低時，火箭飛行過程中的重力損失減小，有助于運(yùn)載能力的提升。

b）對于相同近地點(diǎn)高度，真近點(diǎn)角的取值存在一個最優(yōu)值，使得運(yùn)載能力最大；該最優(yōu)值位于近地點(diǎn)附近，且隨著近地點(diǎn)高度的升高而增大（真近點(diǎn)角為負(fù)值表示火箭在近地點(diǎn)之前進(jìn)入中間軌道）；近地點(diǎn)附近入軌可基本保證火箭按照霍曼變軌的方式實(shí)現(xiàn)軌道轉(zhuǎn)移，在充分利用重力轉(zhuǎn)彎改變速度方向的同時抬高飛行高度，從而達(dá)到性能優(yōu)化。

c）對于圖3的曲線簇，同一運(yùn)載能力可能與不同曲線或同一曲線存在多個交點(diǎn)，因此可以通過設(shè)置不同近地點(diǎn)高度和真近點(diǎn)角組合來達(dá)到相同運(yùn)載能力。

近地點(diǎn)高度為20～80 km情況下運(yùn)載能力隨真近點(diǎn)角變化曲線見圖 4。此時，運(yùn)載能力隨真近點(diǎn)角的變化曲線與大于80 km時的情況不同，運(yùn)載能力最優(yōu)值出現(xiàn)在近地點(diǎn)以后入軌情況（對應(yīng)真近點(diǎn)角40～60°）?？梢?，當(dāng)近地點(diǎn)高度過小時，受到在近地點(diǎn)以后入軌及入軌高度的影響，火箭不能充分利用霍曼變軌來達(dá)到性能優(yōu)化，運(yùn)載能力反而大幅降低。因此，若對火箭在中間軌道的滑行時間以及測控條件沒有約束，則應(yīng)盡量避免采用近地點(diǎn)高度過低的中間軌道，尤其是亞軌道。

圖4 不同近地點(diǎn)高度運(yùn)載能力曲線（20～80km）

2.2 最低回落高度及氣動熱流變化情況

在彈道計算中，當(dāng)中間軌道入軌點(diǎn)高度過低或入軌點(diǎn)彈道傾角過小時，火箭飛行彈道會出現(xiàn)一個“回落”的階段。一方面，入軌點(diǎn)高度過低會造成入軌點(diǎn)速度變大，在各級推重比及發(fā)動機(jī)工作時間一定的情況下，火箭需通過拉低彈道來增大飛行速度；另一方面，入軌點(diǎn)彈道傾角為負(fù)值時，則必然需要通過飛行高度的壓低來滿足入軌要求。在彈道“回落”的階段飛行高度有所降低，之后高度持續(xù)升高，因而存在一個“最低回落高度”。中間軌道近地點(diǎn)高度80 km、入軌點(diǎn)真近點(diǎn)角20°時火箭飛行高度隨時間變化曲線見圖5。

圖5 飛行高度隨時間變化曲線

由圖5可以看出，最低回落高度出現(xiàn)在567.468 s、高度約90.7 km處。

高度回落帶來的影響是：由于此時衛(wèi)星整流罩已分離（整流罩一般在二級飛行段分離，分離高度約100～120 km之間），衛(wèi)星裸露在外界空間，仍將受到稀薄大氣的熱流作用。高度降低后，大氣密度增加，而同時火箭飛行速度相比整流罩分離時增大很多，這樣就有可能使熱流快速回升，對衛(wèi)星產(chǎn)生不利影響。計算表明，在相同近地點(diǎn)高度情況下，真近點(diǎn)角越小，熱流再次回升的值越大，衛(wèi)星的飛行環(huán)境越惡劣。

在最低回落高度時刻，大氣還具有一定密度，且火箭飛行速度始終在持續(xù)增大。根據(jù)熱流計算公式，熱流再次回升至最大點(diǎn)（可稱為“最大回升熱流”）往往在最低回落高度對應(yīng)時間點(diǎn)之后。如在近地點(diǎn)高度80 km、真近點(diǎn)角20°，最大回升熱流點(diǎn)在最低回落高度點(diǎn)之后8 s，如圖6所示。

圖6 火箭飛行熱流曲線

為了將最大回升熱流限制在衛(wèi)星可承受的范圍內(nèi)（如不大于1 135 W/m2），需要將最低回落高度抬高至一定值，可通過增大真近點(diǎn)角來實(shí)現(xiàn)（其對應(yīng)的真近點(diǎn)角可稱為“臨界真近點(diǎn)角”），或者抬高中間軌道近地點(diǎn)高度，計算結(jié)果見表1。表1表明，最低回落高度應(yīng)不小于132 km，才能滿足衛(wèi)星熱流要求，且運(yùn)載能力隨著近地點(diǎn)高度的增大而有所提升。對于近地點(diǎn)高度150 km以上的情況，最優(yōu)運(yùn)載能力在0°真近點(diǎn)角附近，此時高度回落及熱流回升均不明顯，均能滿足衛(wèi)星熱流約束。

表1 不同近地點(diǎn)高度對應(yīng)的臨界真近點(diǎn)角及相關(guān)參數(shù)

2.3 近地點(diǎn)高度及真近點(diǎn)角的選擇

為了滿足熱流限制，最低回落高度應(yīng)不小于一定值（如132 km），則應(yīng)對近地點(diǎn)高度及真近點(diǎn)角的取值做一定限制。結(jié)合前面計算結(jié)果，可根據(jù)中間軌道近地點(diǎn)高度分兩種情況進(jìn)行討論：

a）近地點(diǎn)高度低于150 km（含亞軌道）。

若考慮熱流約束，則運(yùn)載能力相比2.1節(jié)中的最優(yōu)值將有不同程度的降低。以近地點(diǎn)高度80 km為例，運(yùn)載能力將由最優(yōu)值0.941降至0.892以下，甚至小于近地點(diǎn)高度 150 km、真近點(diǎn)角為 0°時的運(yùn)載能力0.917。

b）近地點(diǎn)高度高于150 km。

在近地點(diǎn)入軌基本可保證運(yùn)載能力最大，且最低回落高度不至于過低、回升熱流不至于過大。當(dāng)近地點(diǎn)高度為150 km時，回升熱流在800 W/m2以下。

根據(jù)上述計算及分析，考慮熱流因素后，較低近地點(diǎn)高度對應(yīng)的運(yùn)載能力可以由較高近地點(diǎn)高度、近地點(diǎn)附近入軌（即真近點(diǎn)角約為0°）來實(shí)現(xiàn)，甚至獲得更大的運(yùn)載能力。針對本文所提及的火箭構(gòu)型，考慮一定余量后，近地點(diǎn)高度選取200 km左右為宜，過高或過低，都將帶來運(yùn)載能力的損失。

可見，近地點(diǎn)高度與真近點(diǎn)角的選擇是一個綜合權(quán)衡的過程，不能僅僅局限于運(yùn)載能力的考慮給出一個最優(yōu)值，因此該類彈道優(yōu)化問題不存在所謂絕對最優(yōu)值。工程設(shè)計中只能依據(jù)物理規(guī)律及各項(xiàng)約束條件選取一個大概的范圍，該取值能使問題的求解得到簡化，提高設(shè)計效率、滿足設(shè)計要求，同時又不至于改變問題的本質(zhì)，火箭性能不至于大幅降低。

3 結(jié) 論

應(yīng)用分解優(yōu)化策略對700 km SSO任務(wù)的發(fā)射軌道進(jìn)行研究，提出一種求解彈道優(yōu)化問題的思路，可較大程度上加快計算的收斂，提高計算魯棒性和設(shè)計效率，并對類似的其它彈道設(shè)計問題均有借鑒價值。

重點(diǎn)分析了近地點(diǎn)高度、入軌點(diǎn)真近點(diǎn)角兩個中間約束變量對運(yùn)載能力的影響，并結(jié)合氣動熱流限制得出了一些定性及定量的結(jié)論，對于SSO任務(wù)發(fā)射軌道設(shè)計具有一定的意義：

a）設(shè)置不同的中間軌道近地點(diǎn)高度及入軌點(diǎn)真近點(diǎn)角，可得到相同運(yùn)載能力，在彈道設(shè)計時應(yīng)綜合考慮氣動熱流等其它約束條件來確定設(shè)計變量取值。

b）中間軌道采用霍曼變軌方式使火箭運(yùn)載能力得到較大提升，且近地點(diǎn)高度越低，對運(yùn)載能力的提升越有利。但當(dāng)近地點(diǎn)高度降低至一定值時，將使衛(wèi)星受到嚴(yán)重的熱流作用，對衛(wèi)星產(chǎn)生不利的影響。

c）中間軌道近地點(diǎn)高度設(shè)置在200 km左右，并在近地點(diǎn)入軌，可基本兼顧運(yùn)載能力優(yōu)化及熱流等約束。

應(yīng)注意的是，文中給出的優(yōu)化結(jié)果會隨著運(yùn)載火箭總體參數(shù)的不同而有所差異。在工程應(yīng)用中，應(yīng)根據(jù)測控、末級滑行時間、落區(qū)等實(shí)際情況綜合權(quán)衡，在滿足各項(xiàng)約束的前提下來考慮目標(biāo)的優(yōu)化，以選擇合適的中間軌道設(shè)計變量值。

[1]Arianspace. VEGA User’s Manual[M]. Paris: Programmes Division Technical Service, 2002.

[2]The Boeing Company. DELTA Ⅳ payload planners guide[M]. California: Space and Communications Group, 2000.

[3]Petersen F M, Cornick D E, and Brauer G L. A two-level trajectory decomposition algorithm featuring optimal intermedia target selection[J]. Journal of Spacecraft and Rockets, 1977，14(11): 676-682.

[4]Beltracchi T J. Decomposition approach to solving the all-up trajectory optimization problem[J]. Journal of Guidance, Control, and Dynamics, 1992, 15(3): 707-716.

[5]賈沛然, 陳克俊, 何力. 遠(yuǎn)程火箭彈道學(xué)[M]. 長沙：國防科技大學(xué)出版社, 2004.

[6]Brauer G L, Cornick D E, Stevenson R. Capabilities and applications of the Program to optimize simulated trajectories program (POST) program summary document[R]. NASA CR-2770, 1977.

Launch Trajectory Optimization for SSO Mission Based on Decomposition Algorithm

Hu Dong-sheng1, Wang Jun-feng2, Zhang Pu-zhuo2
(1. R&D Center, China Academy of Launch Vehicle Technology, Beijing, 100076; 2. Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering, Beijing, 100076)

In this paper the decomposition algorithm is proposed for the launch trajectory optimization of the SSO mission. The simulation is conducted to analyze the influence of two constraint variables to launch capability, such as perigee altitude and injection true anomaly of the intermediate orbit. Lastly, the value of the constraint variables is studied according to aerodynamic heating limitation. The research method and analysis results are important to trajectory optimization of launch vehicle, as well as the convergence of calculation and design efficiency.

Decomposition algorithm; Launch trajectory; Constraint variables; Aerodynamic heating

V412.4

A

1004-7182(2017)01-0010-05

10.7654/j.issn.1004-7182.20170103

2015-04-16；

2015-08-20

胡冬生（1982-），男，高級工程師，主要研究方向?yàn)檫\(yùn)載火箭彈道設(shè)計