■袁統(tǒng)一

（福建省交通建設(shè)質(zhì)量安全監(jiān)督局，福州 350003）

橋梁高墩柱結(jié)構(gòu)非線性動力研究

■袁統(tǒng)一

（福建省交通建設(shè)質(zhì)量安全監(jiān)督局，福州 350003）

本文論述了三線型恢復(fù)力模型和雙線型恢復(fù)力模型機理及其應(yīng)用于結(jié)構(gòu)動力分析的差異，前者比后者考慮因素更為全面，也更接近混凝土構(gòu)件破壞的實際情況。當(dāng)混凝土開裂和鋼筋屈服后，結(jié)構(gòu)進入塑性階段，此時受各種因素的影響，采用到非線性分析必然會造成系統(tǒng)的最大的Lyapunov指數(shù)大于零，也就是系統(tǒng)會進入分叉和混沌的工作狀態(tài)。

結(jié)構(gòu)工程 動力響應(yīng) 恢復(fù)力模型 分叉 混沌

1 引言

舉世震驚的5.12汶川大地震，人員傷亡慘重和財產(chǎn)損失巨大的主要原因是房屋倒塌，橋梁等交通設(shè)施損壞嚴(yán)重，這使我們不得不再次從結(jié)構(gòu)動力學(xué)非線性分析理論、設(shè)計規(guī)范、施工監(jiān)理檢測和實際工程驗收等各個環(huán)節(jié)上，對已有的各種文件、標(biāo)準(zhǔn)、資料等進行重新審視。其中，結(jié)構(gòu)非線性分析中恢復(fù)力模型的選擇對結(jié)構(gòu)設(shè)計的計算結(jié)果有較大的影響，并可能改變構(gòu)件的配筋，從而導(dǎo)致結(jié)構(gòu)延性需求和實際耗能能力的變化。

通常,恢復(fù)力模型必須包括兩方面的內(nèi)容[1]：骨架曲線和滯回環(huán)。骨架曲線是滯回環(huán)峰值點連線的包絡(luò)，它非常接近于我們在實驗室單調(diào)加載條件下（靜態(tài)或準(zhǔn)靜態(tài)）分級增量型的破壞全過程曲線，而滯回環(huán)卻是在往復(fù)（而非重復(fù)的）動力荷載下產(chǎn)生的梭形，弓形（捏縮）或倒S形（粘性滑移）循環(huán)的近似閉合曲線。骨架曲線上可以清楚地發(fā)現(xiàn)三個特征點：混凝土開裂、鋼筋屈服和極限破壞，而滯回曲線上剛度退化，鋼筋屈服后反向再加載的鮑辛斯克效應(yīng)，混凝土裂縫反復(fù)張開閉合和鋼筋界面滑移也都能得到反映。目前最常用的適合于結(jié)構(gòu)非線性分析的恢復(fù)力模型見圖1～2。

雙線型模型在鋼結(jié)構(gòu)中應(yīng)用普遍，也用在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的初步分析，模型簡單（圖1），卸載時剛度并不退化，且卸載至恢復(fù)力為零后直接指向反向屈服點4，后續(xù)再加載時直線指向經(jīng)歷過的位移最大點5，剛度退化容易識別，圖1中k1為彈性段初始剛度，k2為彈塑性段分量剛度。

圖1 雙線性模型

圖2 三線型模型

三線型模型稍微復(fù)雜，但它更加符合鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力模型特性（圖2），其上特征點對應(yīng)于混凝土開裂，鋼筋屈服和構(gòu)件破壞極限狀態(tài)三種情況，圖2中k1為彈性段初始剛度，k2為混凝土開裂至鋼筋屈服前剛度，k3為硬化剛度。當(dāng)k3=0時成為滑移模型，即屈服后鋼筋與混凝土界面產(chǎn)生滑移，進入完全塑性階段。卸載剛度在屈服前為彈性剛度k1，屈服后為屈服點2的割線剛度，剛度退化的規(guī)則同雙線型模型。

需要說明的是，在結(jié)構(gòu)從線彈性—弱非線性—強非線性—極限破壞全過程中，特別是最后強非線性到臨近破壞，由于混凝土裂縫的反復(fù)張拉閉合和碰撞，與上述恢復(fù)力模型相互耦合和共同作用，已經(jīng)發(fā)現(xiàn)：它必然會造成系統(tǒng)的最大的Lyapunov指數(shù)大于零，出現(xiàn)如圖3所示的相空間軌跡和圖4所示的Poincare截面（頻閃圖），也就是系統(tǒng)處于分叉和混沌的工作狀態(tài)[2]。從非線性動力學(xué)角度看，需要我們把注意力集中到時間序列相空間重構(gòu)的最佳嵌入維數(shù)和延遲時間 、分叉與混沌產(chǎn)生的條件 、混沌系統(tǒng)中吸引子突然消失或突然膨脹的激變現(xiàn)象等，因為非線性系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)解強烈地依賴于初始條件?；煦缦到y(tǒng)從本質(zhì)上來說是整體穩(wěn)定而局部不穩(wěn)定或隨機性很大的運動方式，它倘若是常見的能量耗散系統(tǒng)，最終要收縮到相空間的有限區(qū)域，即吸引子（吸引子可能是穩(wěn)態(tài)平衡點或是極限環(huán)，也可能是繼續(xù)不斷泛化的奇怪吸引子）。此外，混沌系統(tǒng)的軌道指數(shù)型分離，必須經(jīng)過無窮多次纏繞和折疊，從幾何學(xué)上形成分形集，必須用現(xiàn)代分形幾何學(xué)來描述，這已超過了本文的研究范圍，其結(jié)果將另文發(fā)表。

圖3 相空間軌跡圖

圖4 Poincare截面（頻閃圖）

2 多自由度體系非線性分析中幾個重要問題的處理方法與程序?qū)崿F(xiàn)

多自由度體系非線性分析必須使用增量形式的動力學(xué)方程[3]：

對于非線性體系，除了特殊的幾個簡單例子外（如杜芬方程），一般的振型方程不可能解耦，也就是說不存在通常線性條件下的“振型向量”或“Ritz基向量”的概念，方程的求解只能通過數(shù)值計算的時程分析方法，而數(shù)值方法的“穩(wěn)定性”是一個關(guān)鍵的因素，采用線性加速度方法時，為確保穩(wěn)定，要求Δt<0.551TN,若體系最高階振型周期TN=0.01s，則Δt<0.00551s，這種過分的要求導(dǎo)致了我們必須尋找無條件穩(wěn)定的方法[4]：平均加速度法或威爾遜θ法，但平均加速度法有一個欠缺，它不能提供數(shù)值阻尼，而威爾遜θ法則是基于加速度在延伸時間步δt=θΔt內(nèi)為線性變化的假設(shè)，當(dāng)θ≥1.37時是無條件穩(wěn)定的。類似的還有紐馬克β法，用α,β兩個參數(shù)來控制，本文采用威爾遜θ法。

其次，當(dāng)選定結(jié)構(gòu)中需要考慮軸向力和橫向變形的P-Δ效應(yīng)時[5]，程序中采用一個附加的三對角幾何剛度矩陣[Ks]e來考慮，其中

則動力方程成：

此外，對于拐點的處理是非線性分析的重要內(nèi)容之一，恢復(fù)力模型中的拐點分類為二類：第一類是因為剛度改變產(chǎn)生。第二類是由加卸載狀態(tài)改變產(chǎn)生。已經(jīng)提出了不少的對拐點處理方法[6-8]，如二分法、線性插值、泰勒展開[9]、不平衡力修正、朱鏡清方法等，本文采用的是泰勒展開法。

程序中處理拐點是用一種縮小積分步長，即令Δt′p= Δt（0

圖5 二類拐點的處理

取二項有：

由此確定p的值為：

由于點A、B、C均為已知，可求出p和B點的速度及加速度：

對圖中的卸載點E,根據(jù)

由此，必須有：

3 計算實例及分析

某橋梁高墩柱為五層（每個連系梁算一層）鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)體系，結(jié)構(gòu)的特征參數(shù)為：各層質(zhì)量、剛度、開裂位移和屈服位移如表1：第一至第五層第一折減剛度系數(shù)為0.4，第二剛度減剛度系數(shù)為0.1，地震波采用400gal El Centro波，采樣周期為0.02s。結(jié)構(gòu)的恢復(fù)力模型分別采用雙線型模型和退化三線型模型計算，所得最大位移及速度結(jié)果見表2。

表1 各層質(zhì)量、剛度、開裂位移和屈服位移

表2 不同模型下最大位移及速度

圖6 頂層位移比較圖

圖7 頂層速度比較圖

圖8 頂層加速度比較圖

圖9 各層峰值樓面位移比較圖

圖10 雙線型模型計算結(jié)果

圖11 退化三線型模型計算結(jié)果

根據(jù)表1、表2及圖6～圖9的計算結(jié)果可知：

（1）由圖6、圖9的計算結(jié)果顯示：整個地震荷載作用時程中，各層峰值樓層位移用退化三線型模型計算結(jié)果大于雙線型模型，與直觀的估計相同；從相位上看，前者混凝土開裂到鋼筋屈服需要時間，因此，前者的地震響應(yīng)稍微滯后于后者，各層中第三層相差最大為：71.679-45.865=25.414mm頂層相差為：125.32-108.66=16.66mm。

（2）由圖7、圖8的計算結(jié)果看出：速度、加速度用退化三線型模型計算結(jié)果與雙線型模型在幅值和相位上雖有一定的區(qū)別，但相差不大，其中速度的幅值在相位上相差較大。

（3）圖10與圖11，即位移速度相空間軌跡線[10]顯示，用退化三線型模型計算的結(jié)果比雙線型模型更加偏離原點（平衡點），說明考慮混凝土開裂和鋼筋屈服兩種因素比單純考慮鋼筋屈服造成的系統(tǒng)非線性更加強烈。

4 結(jié)論

強烈地震中構(gòu)件恢復(fù)力模型的選擇對結(jié)構(gòu)非線性計算結(jié)果有較大的影響，本文的主要結(jié)論如下：

（1）考慮混凝土開裂，鋼筋屈服和構(gòu)件破壞極限狀態(tài)的三線型剛度退化模型比雙線性簡化模型不但動力響應(yīng)的幅度較大，而且其相位相對滯后，二者在結(jié)構(gòu)的中間各層（而不是頂層或底層）其橫向位移相差較大。

（2）三線型恢復(fù)力模型考慮因素比較全面，也比較接近構(gòu)件破壞的實際情況，若從實測或?qū)嶒炠Y料獲得具體工程的開裂和屈服位移，則結(jié)構(gòu)的非線性分析全過程，包括破壞前構(gòu)筑物所歷經(jīng)的復(fù)雜位移速度軌跡線和最終的破壞形態(tài)就能夠完全確定。

（3）強非線性條件下，動力學(xué)系統(tǒng)極有可能進入整體穩(wěn)定而局部不穩(wěn)定的混沌狀態(tài)，只有用相應(yīng)的非線性動力學(xué)研究方法和理論，如重構(gòu)相空間最佳嵌入維數(shù)和延遲時間、Lyapunov指數(shù)、Poincare截面、關(guān)聯(lián)維、分形幾何學(xué)等，才能比較徹底解決問題。

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