金帥
摘 要:我們考慮一類(lèi)無(wú)界非雙曲域即Fock-Bergmann-Hartogs型域,中的Fock-Bergmann-Hartogs型域通過(guò)如下定義:,這里。如果兩個(gè)維數(shù)相等的Fock-Bergmann-Hartogs型域的雙全純映射保持原點(diǎn),那么這個(gè)雙全純映射則是線性的。
關(guān)鍵詞:Fock-Bergmann-Hartogs型域 Cartan定理 雙全純映射
設(shè)Ω是中的有界域,并記Aut(Ω)為將Ω映到Ω的雙全純映射的全體構(gòu)成的集合。顯然,Aut(Ω)中的變換在映射的復(fù)合運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群,Aut(Ω)稱(chēng)為Ω的全純自同構(gòu)群。對(duì)于≥2)中的一個(gè)域來(lái)說(shuō),準(zhǔn)確描述其全純自同構(gòu)群不是一件容易的事。對(duì)于有界域的情形,它的全純自同構(gòu)群在文獻(xiàn)[1~3]中給出。我們現(xiàn)在考慮一種無(wú)界域的情形,F(xiàn)ock-Bergmann-Hartogs型域[4]通過(guò)如下定義:,這里。是中的無(wú)界強(qiáng)擬凸域,并且包含,從而在Kobayashi意義下是非雙曲的,這樣就不能雙全純映射到的一個(gè)有界域。
定理1 (Cartan定理):設(shè)D是中一個(gè)包含原點(diǎn)的有界圓形域,且,則是線性的。
對(duì)于無(wú)界圓形域的情形,我們只需要驗(yàn)證滿(mǎn)足兩個(gè)條件即可。
設(shè)D是中的一個(gè)包含原點(diǎn)的圓形域(不必有界),它的Bergman核記為,如果滿(mǎn)足下面兩個(gè)條件,則無(wú)界圓形域的Cartan定理也是成立的。
(i);(ii)是正定的。
其中是一個(gè)Hermitian矩陣,定義如下
定理2 (Cartan定理[5]):設(shè)D是中一個(gè)包含原點(diǎn)的無(wú)界圓形域,且,并且滿(mǎn)足條件(i)和(ii),則是線性的。
這篇文章的主要目的是證明兩個(gè)維數(shù)相等的Fock-Bergmann-Hartogs型域之間的雙全純映射,如果保持原點(diǎn),那么這個(gè)映射也是線性的。
定理3:設(shè)和是兩個(gè)維數(shù)相等的Fock-Bergmann -Hartogs型域,是和的一個(gè)雙全純映射且,則是線性的。
1 引理
這一部分的主要目的是通過(guò)的Bergman核的具體表達(dá)形式來(lái)驗(yàn)證條件(i)和(ii)。
(1)多項(xiàng)式對(duì)數(shù)函數(shù)的Bergman核的具體表達(dá)形式通過(guò)多項(xiàng)式對(duì)數(shù)函數(shù)具體表示出來(lái),我們?cè)诖艘脒@個(gè)函數(shù)。
回憶下對(duì)數(shù)函數(shù)有下列冪級(jí)數(shù)展式:
通過(guò)對(duì)右式做一個(gè)自然的推廣,我們來(lái)定義多項(xiàng)式對(duì)數(shù)函數(shù):
關(guān)于很重要的一個(gè)事實(shí)就是當(dāng)s是一個(gè)負(fù)整數(shù)的時(shí)候,就是一個(gè)關(guān)于t的有理函數(shù)。事實(shí)上通過(guò)驗(yàn)證和就可以得到:
(1)
其中表示第二類(lèi)Stirling數(shù)。
(2)
這里 (3)
引理1[5]:的所有系數(shù)都是正的。
(2)Bergman核。
的Bergman核的具體表達(dá)形式在文獻(xiàn)[4]中計(jì)算出來(lái):
現(xiàn)在我們來(lái)驗(yàn)證條件(i)和(ii)。對(duì)于條件(i),只需要檢查。通過(guò)公式(2)等價(jià)于。由引理1得,的所有系數(shù)都是正的,從而我們得到。
接下來(lái),我們驗(yàn)證條件(ii)。對(duì)于條件(ii),我們需要下面的引理。
引理2[5]:(1)的復(fù)矩陣在零點(diǎn)處是正定的。
(2)P是一個(gè)多項(xiàng)式使得和,則的復(fù)矩陣在零點(diǎn)處是半正定的。
結(jié)合引理1和引理2,我們就得到是正定的。這樣我們就驗(yàn)證了Fock-Bergmann-Hartogs型域滿(mǎn)足條件(i)和(ii)。再結(jié)合下面的引理3,我們就得到了兩個(gè)維數(shù)相等的Fock-Bergmann-Hartogs型域的廣義Cartan定理。
引理3[6]:(k=1,2)是中一個(gè)包含原點(diǎn)的有界圓形域(不必有界),是一個(gè)雙全純映射且。如果和(k=1,2)是正定的,則是線性的。
2 定理3的證明
證明由引理1和引理2得知,F(xiàn)ock-Bergmann-Hartogs型域滿(mǎn)足條件(i)和(ii)即 是正定的,再結(jié)合引理3我們就得到如果是和的一個(gè)雙全純映射且滿(mǎn)足,則是線性的。這樣我們就完成了定理3的證明。
參考文獻(xiàn)
[1]Ahn H,Byun J,Park J D.Automorphisms of the Hartogs type domains over classical symmetric domains[J].International Journal of Mathematics,2012,23(9):125.
[2]Shimizu S.Automorphisms of bounded Reinhardt domains[J].Japanese journal of mathematics.New series,1989, 15(2):385-414.
[3]Sunada T.Holomorphic equivalence problem for bounded Reinhardt domains[J].Mathematische Annalen,1978,235(2):111-128.
[4]Yamamori A.The Bergman kernel of the Fock–Bargmann Hartogs domain and the polylogarithm function:An International Journal[J].Complex Variables and Elliptic Equations,2013,58(6):783-793.
[5]Kim H,Yamamori A.The automorphism group of a certain unbounded non-hyperbolic domain[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2014,409(2):637-642.
[6]Ishi H,Kai C.The representative domain of a homogeneous bounded domain[J].Kyushu Journal of Mathematics,2009,64(1):35-47.