劉玉孝，鐘淵，楊科

1蘭州大學物理科學與技術學院理論物理研究所，蘭州7300002西安交通大學理學院，西安7100493西南大學物理科學與技術學院，重慶400715

額外維與厚膜模型簡介

劉玉孝1，鐘淵2，楊科3

1蘭州大學物理科學與技術學院理論物理研究所，蘭州7300002西安交通大學理學院，西安7100493西南大學物理科學與技術學院，重慶400715

額外維概念的提出已有近百年的歷史，但直到最近二十余年，人們對額外維物理的認識才發(fā)生了實質(zhì)性的轉(zhuǎn)變。例如，人們開始注意到額外維的尺度可以達到TeV-1量級甚至是無窮大的，而不與當前的實驗觀測相違背。一些額外維模型還可以對粒子物理學中的規(guī)范層次問題以及宇宙學中的暗物質(zhì)問題給出全新的解釋。此外，如果將我們所處的四維世界看成是更高維時空中的拓撲缺陷，例如五維時空中的一個四維疇壁，則可以通過場論的方法得到局域在疇壁上的各種四維物質(zhì)場。如果進一步要使四維牛頓引力也能被局域在疇壁上，一般需要假設五維時空按照某種方式彎曲。這種彎曲時空中的疇壁稱為厚膜。最簡單的解析厚膜解可以在廣義相對論中通過引入最小耦合的背景標量場得到。隨著宇宙學的發(fā)展，越來越多的擴展引力理論和非最小耦合的標量場相繼被提出并被應用于宇宙學和高能物理的各種問題中。因此研究各種擴展引力和非最小耦合標量場理論中的解析厚膜解和各種場的局域化機制就成了一個重要而又有趣的方向。目前國內(nèi)外對厚膜模型的研究已經(jīng)取得了一系列的研究成果，我們將對這一領域的相關研究進行簡單的介紹。本文先對幾種常見的額外維模型包括Kaluza-Klein理論、大額外維模型、Randall-Sundrum模型和標準的厚膜模型進行簡單介紹，并分析線性漲落和引力場的局域化。然后介紹厚膜背景下各種物質(zhì)場的局域化機制。最后以非正則標量場論和幾種常見的擴展引力理論為例，介紹厚膜模型的相關研究進展。

額外維；膜世界；引力理論；局域化；質(zhì)量譜

目錄

I.引言42

A.什么是額外維？ 42

B.額外維在高能物理學理論研究中的地位 42

C.為什么要研究額外維？ 43

II.平直時空中的額外維理論43

A.Kaluza-Klein理論 43

B.非緊致額外維：疇壁世界模型 45

C.層次問題與ADD模型 46

III.彎曲時空中的額外維理論47

A.RS-1模型 48

1.RS-1模型的基本結構 48

2.RS-1模型與層次問題 49

3.RS-1模型中的引力子 49

B.RS-2模型 50

1.RS-2模型中四維牛頓引力的產(chǎn)生 51

2.RS-2模型中標量場的（準）局域化 51

C.厚膜-彎曲時空中的疇壁世界 52

1.簡單厚膜模型的構造 52

2.線性漲落：穩(wěn)定性及引力局域化 53

IV.厚膜上物質(zhì)場的局域化54

A.q-形式場局域化概述 55

1.標量場（q=0） 56

2.矢量場（q=1） 56

3.Kalb-Ramond場（q=2） 56

4.膜上的q-形式場的局域化與Hodge對偶 57

B.費米場的局域化 60

V.厚膜模型的新發(fā)展 61

A.非正則標量場產(chǎn)生的厚膜解 62

1.K-場模型 62

B.擴展引力中的厚膜解 64

1.標量-張量引力 64

2.f(R)引力 64

3.f(T)引力 65

4.EiBI引力 67

C.多標量場厚膜模型 68

D.彎曲厚膜 69

E.厚膜的劈裂69

VI.總結與展望 70

致謝 71

71

I.引言

1914年，芬蘭物理學家諾德斯特姆 (G.Nordstr?m)在他的引力理論文章中首次提出“額外維”的概念[1]。1915年愛因斯坦提出廣義相對論后，德國哥尼斯堡大學的無薪數(shù)學教師卡魯扎 (T.Kaluza)[2]和瑞典物理學家克萊因(O.Klein)[3]分別于1919年和1926年提出了廣義相對論基礎上的五維時空理論，即卡魯扎-克萊因理論，開啟了額外維理論研究的先河。后來，超引力和超弦/M理論的發(fā)展極大地推動了額外維的研究。這些額外維理論的一個特點是，都假設額外維卷曲在非常小的空間尺度內(nèi)（具體可參考[4]），以當時的實驗能力并不能探測額外維的效應，所以早期對額外維的研究主要集中于理論方面。然而，1998年和1999年額外維卷土重來，不僅影響了整個理論物理學的研究，也使得實驗物理學家們開始認真對待這個奇特的概念，也使得額外維成為物理學研究的主流課題。

下面我們先簡單介紹一下額外維的概念，額外維在高能物理學理論研究中的地位，以及研究額外維的動機。

A.什么是額外維？

對于習慣了三維空間的人來說，一個具有更多空間維度的世界是很難理解的。人們很難想象除了上下、左右和前后這三個維度之外，另外的空間維度在哪里？為此，我們先簡單看看維度的概念。對于位于某一個空間或時空M 中的任意一個點，如果確定其坐標需要D個數(shù)，則稱該空間或時空的維度為D。例如：

?直線R1和圓環(huán)S1是一維的；

?平面 R2=R1×R1、 圓柱面 R1×S1、圓環(huán)面T2=S1×S1和球面S2是二維的；

?歐氏空間R3=R2×R1、R2×S1、S2×S1、T2× S1、三球面S3等是三維的；

?歐氏空間 R4=R3×R1、R3×S1、R2×T2、R2×S2、R1×T3、 R1×S3、R1×S1×S2、

T2×S2、T4=T3×S1、 四球面S4等是四維的。

通常，我們把三維空間之外的空間維度稱為額外維，即三維之外的維度。當然，也有時間額外維的概念和相關的研究，本文不做介紹。雖然高維時空很難想象，但我們可以借助數(shù)學來理解。對超立方體的認識，一個簡單的方法是從低維到高維進行對比：

?一維空間中的一條線段具有2×1=2個零維的邊界-端點；

?二維空間中的正方形具有2×2=4個一維的邊界-線段；

?三維空間中的立方體具有2×3=6個二維的邊界-正方形；

?四維空間中的超立方體具有2×4=8個三維的邊界-立方體。

這里，我們雖然沒有見過超立方體，但知道了它的部分性質(zhì)-它有8個邊界，每一個邊界均為我們?nèi)S空間中所熟知的立方體。接下來我們再舉一個例子來感知一下四維超球到底是一個什么樣的球：

?當二維平面上一個圓盤穿越二維平面上的一條直線時，在直線上首先出現(xiàn)的是一個點，然后是一條逐漸變長的線段，再然后是線段逐漸變短，直到最后縮短到一個點并消失；

?當三維歐氏空間中的一個球體穿越一個二維平面時，在平面上首先出現(xiàn)的是一個點，然后是一個逐漸變大的二維圓盤，再然后是圓盤逐漸變小，直到最后縮小到一個點并消失；

?因此可以推測出，當四維歐氏空間中的一個超球體穿越一個三維歐氏空間時，在三維空間中首先出現(xiàn)的是一個點，然后是一個逐漸變大的三維球體，再然后是球體逐漸變小，直到最后縮小到一個點并消失。

B.額外維在高能物理學理論研究中的地位

為了對現(xiàn)代額外維理論帶來的影響有個直觀的了解，我們列出INSPRIRE數(shù)據(jù)庫1收錄的高能物理學領域內(nèi)引用超過5000次的理論論文：http://inspirehep.net/

1)An alternative to compactification,L.Randall and R.Sundrum,Phys.Rev.Lett.,1999,83：4690.引用＞5700次

2)A large mass hierarchy from a small extra dimension,L.Randall and R.Sundrum,Phys.Rev.Lett., 1999,83：3370.引用＞7300次

3)The hierarchy problem and new dimensions at a millimeter,N.Arkani-Hamed,S.Dimopoulos and G.R. Dvali,Phys.Lett.B,1998,429：263.引用＞5800 次

4)Anti-de Sitter space and holography,E.Witten,Adv. Theor.Math.Phys.,1998,2：253.引用＞8000次

5)Gauge theory correlators from noncritical string theory,S.S.Gubser,I.R.Klebanov and A.M. Polyakov,Phys. Lett. B,1998,428：105. 引用＞6900次

6)The large N limit of superconformal field theories and supergravity,J.M.Maldacena,Adv.Theor. Math.Phys.,1998,2：231.引用＞12000次

7)The Inflationary Universe:A Possible Solution to the Horizon and Flatness Problems,A.H.Guth, Phys.Rev.D,1981,23：347.引用＞6000次

8)Asymptotic freedom in parton language,G.Altarelli and G.Parisi,Nucl.Phys.B,1977,126：298.引用＞5800次

9)Particle creation by black holes,S.W.Hawking, Commun.Math.Phys.,1975,43：199.引用＞6200 次

10)CP Violation in the Renormalizable Theory of Weak Interaction,M.Kobayashi and T.Maskawa,Prog. Theor.Phys.,1973,49：652.引用＞8800次

11)Weak interactions with lepton-hadron symmetry S. L.Glashow,J.Iliopoulos,L.Maiani,Phys.Rev.D, 1970,2：1285.引用＞5200次

12)A model of leptons,S.Weinberg,Phys.Rev.Lett., 1967,19：1264.引用＞10400次

13)Unitary symmetry and leptonic decays,N.Cabibbo, Phys.Rev.Lett.,1963,10：531.引用＞5300次

14)Partial symmetries of weak interactions,S.L. Glashow,Nucl.Phys.,1961,22：579.引用＞6500 次

15)New generation of parton distributions with uncertainties from global QCD analysis,J.Pumplin,D. R.Stump,J.Huston,H.L.Lai,P.M.Nadolsky and W.K.Tung,JHEP,2002,0207：012.引用＞5000次

在這15篇論文中，前6篇都與額外維密切相關?？梢婎~外維在高能物理學的研究中具有重要地位。

C.為什么要研究額外維？

引入額外的空間維度主要是基于下面三種動機：

1)統(tǒng)一理論。如Kaluza-Klein理論是為了統(tǒng)一廣義相對論與麥克斯韋電磁理論。

2)量子引力。例如超弦理論中需要引入額外維來得到一個自洽的量子引力理論。

3)層次問題(hierarchy problem)。Arkani-Hamed、Dimopoulos和Dvali(ADD)提出的大額外維模型以及 Randall、Sundrum(RS)提出的彎曲額外維模型都可以通過引入額外維來解釋標準模型中存在的層次問題。

II.平直時空中的額外維理論

A.Kaluza-Klein理論

Kaluza-Klein（以后簡稱KK）理論是二十世紀初由Kaluza首先提出[2]，并經(jīng)Klein進一步發(fā)展[3]的一個五維時空理論。該理論指出，通過引入一個額外的空間維度可以統(tǒng)一當時已知的兩種基本相互作用力，即電磁力（由麥克斯韋理論描述）和引力（由愛因斯坦的廣義相對論描述）。該理論的基本假設是：

1)我們的世界是一個五維時空，其中第五維是一個半徑為普朗克(Planck)長度(rc=lp～10-33cm)的圓環(huán)。

2)五維世界中只存在引力，相應的作用量為2本文采用自然單位制：?=c=1.：

而四維的電磁力和引力可以通過維度約化得到。

本文始終用xμ表示四維時空坐標，y或者r（有時用φ）表示額外維坐標x5，并以帶“尖帽”的量表示全時空中的量，（為方便起見，III.B.1節(jié)以后，高維時空中的量不再加尖帽）例如(1)式中,和?R分別表示五維時空中的引力能標（質(zhì)量標度）、度規(guī)行列式和標曲率。四維時空中相應的量用不帶“尖帽”的字符表示。分別用大寫拉丁字母（如M,N,···）和小寫希臘字母（如μ,ν,···）表示全時空和四維時空中的指標。

圖1.五維Kaluza-Klein理論的時空流形[5]。

其中α,β為待定參數(shù)，且當僅考慮零模時所有的四維場 gμν,Aμ,φ都只是 xμ的函數(shù)，與額外維 y無關。度規(guī)的號差為(-,+,+,+,+)。寫成線元的形式為：是用四維時空度規(guī)gμν定義的線元。

當參數(shù)取如下值時[6]

作用量(1)（僅考慮零模時）可寫為

由于括號中所有的變量均與y無關，因此可以對y直接積分，得到如下四維有效作用量：

至此可知，KK理論有如下兩個重要特點：

1)一般地，由一個五維的純引力理論 (1)通過對額外維積分，可以得到一個四維的標量-矢量-張量理論(9)。標量場φ稱為伸縮子(dilaton)。原始的KK理論中沒有考慮φ，其約化后的四維理論僅含矢量場和引力場。

當然，KK理論也存在一個致命的缺陷：如果額外維僅僅是緊致成圓環(huán)，則由五維費米場約化得到的四維有效作用量不是一個手征理論。這與實驗觀測到的只存在左手中微子的結論是矛盾的。因此需要對KK理論進行修改，使之能產(chǎn)生手征費米子。最常見的解決方案是采用軌形(orbifold)S1/Z2緊致化[7]，即將圓環(huán)從中間分成兩半，并將上一半中的所有點與下一半中對應的點做認同(identification)。這也等效于將額外維緊致在一個區(qū)間上（見圖2）。

圖2.軌形的幾何圖像。

軌形緊致化和區(qū)間緊致化在物理上是等價的。以標量場為例，區(qū)間緊致化相當于在端點處引入兩類邊界條件（見[7,8]）：

當采用Neumann邊界條件時，Φ的KK譜中既含有零模（零質(zhì)量模式）， 又含有 KK模式（有質(zhì)量模式或 KK態(tài)）3當我們把一個場從高維約化到低維時，得到一系列的低維場或粒子，稱為KK模式，通常包括零質(zhì)量模式和有質(zhì)量模式，所有這些KK模式構成的集合稱為KK譜。。 然而，當選擇 Dirichlet邊界條件時，Φ的KK譜中僅有KK態(tài)而不含零模[7]。從軌形的角度看，一個偶宇稱的Φ(y)等價于在邊界處引入Neumann邊界條件，而奇宇稱的Φ(y)則等價于在邊界處引入Dirichlet邊界條件。換言之，奇偶性不同的兩個場經(jīng)過KK約化后一個含有零模，另一個則不含零模。由于一個五維的Dirac旋量場由兩個手征性相反的Weyl旋量場構成Ψ=(χ,)T，且分析可知χ 和 ψ沿額外維具有相反的宇稱[7]，因此只有一種手征Weyl旋量場具有零模。

B.非緊致額外維：疇壁世界模型

1983年，Rubakov和Shaposhnikov提出了疇壁世界模型[9]。這是一種與Kaluza-Klein理論完全不同的額外維模型。在疇壁世界模型中，額外的空間維度不必是緊致化的。相反，額外維的尺度可以無限大。疇壁世界模型的基本內(nèi)容是：

?我們的世界是五維平直時空中的一個四維疇壁。疇壁附近存在一個有效勢阱，能將五維物質(zhì)場的低能KK模式束縛在疇壁上，所以在能量較低時我們感受到的是一個四維時空。只有當能量較高時，額外維的效應才會顯現(xiàn)出來。疇壁世界的圖像見圖3。

數(shù)學上，Rubakov和Shaposhnikov考慮的就是一個五維平直時空中的標量場Φ4可參看文獻[10]第3.7節(jié)。模型：

該模型有如下靜態(tài)疇壁解：

若五維費米場與背景標量場之間存在Yukawa耦合（耦合常數(shù)為η，這里假設η＞0）：

則經(jīng)過KK分解

后，KK模式的額外維部分滿足一個類Schr?dinger方程（有效勢函數(shù)的形狀見圖3）。這里上標(n)表示第n 個KK模式。左手零模和第一激發(fā)態(tài)均為束縛態(tài)，其中左手零模為[9]：

ψ(0)L(xμ)是四維時空中的左手無質(zhì)量旋量場，滿足

可見，對于η＞0，左手零模的四維部分可以在四維疇壁上自由傳播，但是沿著額外維方向波函數(shù)局域化在第五維的原點附近，即疇壁上，而右手零模則不能局域化。若η＜0，則結論相反。因此疇壁世界模型可以得到四維零質(zhì)量的手征費米子。

疇壁世界模型雖然能夠?qū)⒆笫终髻M米場局域化在四維世界上，但是由于背景時空是五維平直時空，引力零模并不能被局域化在疇壁上。如果引力零模能在全時空中傳播，則兩個質(zhì)點之間的引力就不再滿足牛頓的平方反比定律，而是F∝1/rD-2，這里r為兩個質(zhì)點之間的距離4可參看文獻[10]第3.7節(jié)。。這里D是總的時空維數(shù)，只有四維時空(D=4)情況下才有平方反比律F∝1/r2。因此，我們需要一種機制能夠把物質(zhì)場和引力場都束縛在疇壁上。

圖3.疇壁世界的圖像：由于沿著額外維的方向存在一個非平庸的疇壁分布，使得物質(zhì)場被局域化在疇壁附近。對于疇壁上能量較低的粒子而言，世界是(3+1)維的。但是當兩個粒子以很高的能量相撞時，可能會產(chǎn)生更高能量的新粒子。當新粒子的能量高于疇壁產(chǎn)生的有效勢函數(shù)的勢壘高度Ec時，粒子將逃離四維世界，跑到額外維中去。

C.層次問題與ADD模型

在介紹ADD模型之前，有必要簡單介紹下什么是層次問題。在量子場論中，Higgs場的物理質(zhì)量μ與裸質(zhì)量μ0之間滿足如下關系：

其中δμ20～Λ2是裸質(zhì)量的圈圖修正，Λ是截斷參數(shù)。按照有效場論的觀點，Λ是出現(xiàn)新物理的能標。已知Higgs的物理質(zhì)量μ～102GeV，假設新物理出現(xiàn)于普朗克能標 MPl～1019GeV，則只有通過非常精細地調(diào)節(jié)(fine tuning)裸質(zhì)量μ0的值（需要調(diào)節(jié)34位數(shù)）才能使等式 (18)成立，這是非常不自然的。而Higgs質(zhì)量需要如此高精度調(diào)節(jié)的本質(zhì)原因是因為電弱能標MEW≈246 GeV與普朗克能標MPl～1019GeV之間巨大的層次差異。層次問題是粒子物理中一直懸而未決的重大疑難問題。

若新物理出現(xiàn)的能標較低（如 1 TeV），則不會產(chǎn)生嚴重的精細調(diào)節(jié)問題，亦即沒有層次問題。1998年，Arkani-Hamed、Dimopoulos和Dvali考慮了一個含有d個額外維的理論[11]：

假設這d個空間額外維都各自卷曲成圓環(huán)，并且具有相同的半徑rc，則易知基本能標與四維普朗克能標MPl之間的關系為：

表I.ADD理論中，額外維數(shù)目d與半徑rc的關系

在該高維理論中，量子引力的基本能標不再是四維普朗克質(zhì)量，而是。為了解決層次問題，ADD假設基本能標～1 TeV。則

由此可見，為了消除層次問題，額外維的個數(shù)d及其半徑rc必須滿足上面的等式。具體關系如表I所示。

當d=1時，為了解決層次問題必須要求額外維的半徑達到1013m，這大概是太陽系的半徑。然而，高斯定理指出該4+d維時空中兩個靜態(tài)質(zhì)點m1和m2，在距離為r時所感受到彼此之間的引力勢為[9]：

也就是說，當質(zhì)點間距r?rc時，額外維的效應并不明顯；但倘若額外維的半徑達到太陽系這么大，則牛頓的萬有引力定律就不再是平方反比律而是立方反比律！這顯然與實驗相違背。目前實驗上關于牛頓引力平方反比律的精確測量已經(jīng)對額外維的半徑給出了一個上限：當 d=2，且兩個額外維的半徑相同時，rc＜37μm[12]。因此，ADD模型在d=2的情況也可以被排除；而d≥3，rc＜10-6cm的可能性目前還不能排除。當然，我們這里假設所有額外維半徑都在同一數(shù)量級上且基本能標～1 TeV。當額外維半徑不同時，如果有些額外維的半徑明顯比其它額外維小很多，那么d＞2與d=2情況可能具有相同的牛頓勢修正[13]。

然而，另一方面我們也看到，即使額外維數(shù)目達到六個，對應能量尺度也不過10 MeV，對于現(xiàn)在的粒子加速器來說，這個能量并不高，我們應該早就觀測到一些額外維存在的跡象。為便于理解，我們以五維時空中的自由標量場為例，分析額外維半徑與新物理之間的關系。

五維無質(zhì)量的自由標量場滿足五維Klein-Gordon方程：

由于場沿額外維方向具有周期性 φ(x,y)=φ(x,y+ 2πrc)，因此可以對其進行傅里葉分解，也叫 KK分解：

其中上標(n)表示第n個KK模式。KK分解可將場函數(shù)中四維部分和額外維部分分開。將KK分解代入KG方程，得：

可見，每一個n對應一個質(zhì)量為mn=的四維標量場，可以分為兩類：

?當n=0時，即質(zhì)量為零的KK模式，其波函數(shù)

為 φ(x,y)=eixμpμ。該模式與額外維沒有關系，可以認為這種粒子就是四維時空中已知的粒子；

?當n/=0時，也就是質(zhì)量不為零的KK模式，它們的質(zhì)量源于額外維，質(zhì)量大小與額外維的尺度有關。如果能在對撞機中發(fā)現(xiàn)這樣的粒子，就能為額外維的存在提供證據(jù)。

對于張量場和旋量場也有類似的結論，因此如果額外維對應的能量尺度r-1 c ～10 MeV， 則第一激發(fā)態(tài)(m1～1/rc～10 MeV)應該早就被發(fā)現(xiàn)了，而實際上并沒有。為了解決這一問題，ADD提出了第二個假設，即

?除引力場外，所有標準模型粒子都被束縛在一張四維超曲面，或膜世界上。這也是ADD模型區(qū)別于KK理論的關鍵所在。

由于只有引力場能沿額外維傳播，因此在 ADD模型中，只有引力子具有KK模式。ADD模型預言，這些KK引力子可以作為中間媒介子參與標準模型粒子的反應，也可以直接在標準模型粒子對撞時被產(chǎn)生出來。這些反應過程和天體物理學的一些研究都能對 ADD模型的參數(shù)給出限制，具體內(nèi)容可參看[7,14]。

需要指出的是，盡管ADD模型是通過假設標準模型粒子都束縛在膜上和額外維很大（相對于普朗克長度）來消除弱電能標MEW和基本能標之間的層次，使得MEW～～1 TeV，但是，當d較小時，基本能標與額外維所對應的能標1/rc之間的比值

仍然很大。因此ADD模型并沒有真正解決層次問題。

疇壁世界模型和ADD模型是平直額外維模型中的兩個典型代表，它們都為額外維理論的研究注入了新的活力，但是都存在自身的不足。下面我們將會看到，一些彎曲時空中的額外維模型能夠很好地解決這兩個模型的缺點，并且給出很不一樣的物理圖像和結果。

III.彎曲時空中的額外維理論

受到ADD模型的啟發(fā)，1999年Randall和Sundrum提出了含有一個彎曲額外維 (warped extra dimension)的模型來解決層次問題，現(xiàn)在這一模型被稱為RS-1模型[15]。隨后又在RS-1模型的基礎上提出了額外維無限大且能夠使四維引力局域在膜上的RS-2模型[16]。RS-2模型與疇壁世界相結合還發(fā)展出了厚膜(thick brane)的概念[17,18,19]。

A.RS-1模型

這一小節(jié)我們簡單介紹RS-1模型的基本結構，它是如何解決層次問題的，以及RS-1模型相關的實驗進展。

1.RS-1模型的基本結構

RS-1模型[15]建立在以下幾個基本假設基礎上：

1)存在一個軌形緊致化的額外維 y∈[-πrc,πrc]或

者φ∈[-π,π]（y=φrc），緊致半徑為rc。

2)在任意確定的φ值所對應的四維超曲面上，時空都具有Poincar′e對稱，滿足這一條件的最廣泛的度規(guī)形式是：

其中A(φ)僅是額外維的函數(shù)，稱為卷曲因子。

3)在φ=0和φ=π處各存在一個張力為常數(shù)的膜，分別稱為隱藏膜（或普朗克膜、紫外膜）和可見膜（或TeV膜、紅外膜）。RS-1模型假設所有的標準模型場都被束縛在可見膜上。

4)全空間(bulk)是一個五維的Anti de Sitter（反德西特，簡稱為AdS）時空，即假設bulk中只存在一個數(shù)值為負的宇宙學常數(shù)。

圖4.RS-1模型示意圖。

因此RS-1模型的總作用量S=Sgravity+Svis+ Shid包含三部分，即引力部分：

可見膜部分：

和隱藏膜部分：

分別是可見膜和隱藏膜上的誘導度規(guī)。Vvis（Vhid）是可見膜（隱藏膜）上的宇宙學常數(shù)。Lvis（Lhid）表示可見膜（隱藏膜）上除宇宙學常數(shù)外所有其它物質(zhì)的總拉格朗日密度，這部分對于求解模型的背景解不重要，所以RS-1模型假設膜上只有宇宙學常數(shù)。

由作用量(30)和度規(guī)(29)出發(fā)，可以導出具體的愛因斯坦方程組[15]：

這里，撇號′表示對φ求導。由方程(35)知卷曲因子的解為

將A的解代入方程(36)并比較方程兩邊可得膜上與五維宇宙學常數(shù)之間的關系：

因此，RS-1模型的背景度規(guī)解可具體寫為

由于RS-1模型假設只有引力能在五維時空中傳播，因此也只有引力子具有KK譜。為了研究引力子的KK譜，需要考慮背景解(39)附近一個小的度規(guī)擾動。先考慮零模，由于RS-1模型采用了軌形緊致化，度規(guī)擾動中的矢量部分不含零模，只有張量和標量部分含有零模。其中張量零模對應于四維無質(zhì)量引力子，而標量零模則對應于四維時空中的一個無質(zhì)量的標量場，稱為radion。若只考慮零模，則擾動后的度規(guī)可寫為如下形式：

緊致半徑 rc可以看成是 radion T(x)的真空期望值，或背景解。

將度規(guī)(40)代入作用量(30)，可導出RS-1模型的四維有效作用量Seff，其中包含四維有效引力的作用量

這里R是用四維度規(guī)gμν=ημν+hμν(xρ)定義的標曲率。普朗克常數(shù)與五維基本能標之間的關系為：

2.RS-1模型與層次問題

前面說過，四維引力場是 gμν=ημν+hμν，恰好等同于隱藏膜上的誘導度規(guī)：

但是，可見膜上的誘導度規(guī)并不等價于四維度規(guī)：

這一結果對束縛在可見膜上的標準模型場具有深刻的影響。RS-1模型假設Higgs粒子被束縛在可見膜上，相應的Higgs場的作用量是用誘導度規(guī)寫出的：

由量綱分析可知λ是無量綱的，而v0具有質(zhì)量量綱，是五維時空中Higgs場的真空期望值。此時，五維時空中Higgs場的基本質(zhì)量為=

為了得到膜上物理的（有效的）耦合常數(shù)，需要將誘導度規(guī)e-2krcπgμν替換成物理度規(guī)gμν，結果是

顯然，Higgs場的動能項-e-2krcπgμν?μH??νH 不是正則的。定義正則的Higgs場 ?H=e-krcπH，則

其中v=e-krcπv0為四維膜上Higgs場的物理真空期望值。此時，四維膜上Higgs場的有效質(zhì)量為

該公式表明在卷曲額外維的影響下，四維膜上Higgs粒子的有效質(zhì)量 mH相較于五維 Higgs場的基本質(zhì)量發(fā)生了“紅移”。這一結果可以被進一步推廣為：可見膜上任一基本質(zhì)量m0與其所對應的物理質(zhì)量m之間均存在如下關系：

另一方面，在標準模型中，Higgs真空期望值設定了弱作用耦合強度即費米耦合系數(shù)

而實驗結果要求該耦合系數(shù)為GF≈11.66 TeV-2，即要求Higgs真空期望值v≈246 GeV，這個能標稱為電弱能標。因此，與Higgs質(zhì)量層次同理，只要選取額外維半徑rc～10/k，則五維基本的電弱能標v0(～MPl)在可見膜上被“紅移”為TeV量級的有效電弱能標v。

3.RS-1模型中的引力子

RS-1模型假設只有引力在高維時空中傳播，因此只有引力場具有KK模式。前面已經(jīng)提到，引力子可以由度規(guī)的張量漲落描述：

其中y=rcφ，且引力漲落（張量漲落）hμν(x,y)是橫向無跡的?μhμν=0=。將此度規(guī)代入RS-1模型的五維作用量(30)式，得[20]：

變分可得運動方程：

以及邊界條件

對引力漲落進行KK分解

方程(56)是一個Sturm-Liouville方程，波函數(shù)滿足如下正交歸一條件：

先看零模(m0=0)，波函數(shù)的通解為：

將KK分解和零模波函數(shù)的解代入引力作用量Sg中，動能項可寫為

相對于五維平直度規(guī)，無質(zhì)量模式沿額外維的分布為

因此四維引力子局域在紫外膜上[16]。

當mn/=0時，KK模式的通解為

由于ke-πkrc～TeV，所以RS-1模型中KK引力子具有TeV量級的質(zhì)量。另一方面，將KK引力子的波函數(shù)代入RS-1模型的作用量，可導出TeV膜上標準模型場與引力子KK模式的耦合為：

其中Λπ=MPle-πkrc也在TeV量級。由于RS-1模型的KK激發(fā)態(tài)的質(zhì)量和耦合常數(shù)都在TeV量級，因此如果它們存在，則可以作為共振態(tài)在大型強子對撞機LHC中被探測到。目前實驗上并沒有明顯的證據(jù)表明存在超出標準模型的共振態(tài)，這可以給RS-1模型的參數(shù)（k/Pl和第一激發(fā)態(tài)的質(zhì)量m1）給出限制。根據(jù) 2014年粒子物理數(shù)據(jù)[21]，對于 k/MPl=0.1，ATLAS和CMS實驗組給出KK引力子第一激發(fā)態(tài)的質(zhì)量下限分別是2.47 TeV和2.39 TeV。

B.RS-2模型

如前所述，在KK理論或ADD模型中基本能標和有效的普朗克能標之間滿足(20)式：

顯然，為了得到有限的普朗克能標，額外維的半徑rc必須有限。在彎曲時空中則不然，以RS-1模型為例，普朗克能標和基本能標之間的關系是（見(42)式）

因此，即便rc無限大，我們?nèi)阅艿玫揭粋€有限的MPl。受此啟發(fā)，Randall和Sundrum在RS-1模型的基礎上進一步考慮了無限大的彎曲額外維模型中引力的局域化問題，這就是RS-2模型。由于RS-2模型的目的不是解決層次問題，而是要分析如何在彎曲的五維時空中產(chǎn)生局域在可見膜上的四維引力。因此，與RS-1模型相比，RS-2模型主要有兩個不同之處：

1)假設我們生活在y=0處的膜上，而y=πrc處的膜世界是不可見的。

2)額外維無限大，即 rc→ +∞，因此 RS-2模型中的KK譜是連續(xù)譜。這等同于將TeV膜移到無限遠處。

1.RS-2模型中四維牛頓引力的產(chǎn)生

RS-2模型的解可以通過對 RS-1解取極限 rc→+∞得到。因此，RS-2模型的度規(guī)解為[16]

在III.A.3節(jié)中，我們已經(jīng)知道RS-1模型的引力子譜為

在RS-2模型中由于rc→+∞，譜將變?yōu)檫B續(xù)的，并且m1→0，即激發(fā)態(tài)與零模之間是無間隙的。引力零模將給出膜上兩個質(zhì)點間的牛頓引力勢。但是，由于RS-2引力譜中存無間隙的激發(fā)模式，因此還需要考慮所有的 KK激發(fā)態(tài)對牛頓引力勢的修正。這是因為引力的本質(zhì)就是引力子的交換，因此需要考慮交換無窮多有質(zhì)量KK引力模式產(chǎn)生的引力。經(jīng)過計算，Randall和Sundrum發(fā)現(xiàn)對于膜上（y=0）相距為|→x|的兩個質(zhì)點m1,m2，四維牛頓引力勢具有如下形式：

其中，第一項來自引力零模，是標準的牛頓引力勢；第二項是所有有質(zhì)量引力KK模式的貢獻，是對牛頓引力勢的修正。隨著距離 |→x|的增大，修正項將快速地衰減。額外維效應的特征尺度為普朗克長度：1/k～1/MPl～lPl。因此，Randall和Sundrum證明了即使存在無限大的額外維，只要時空按照一定的方式彎曲，我們?nèi)詫⒌玫接行У乃木S牛頓引力。

2.RS-2模型中標量場的（準）局域化

由上一節(jié)我們知道在RS模型中引力零模在普朗克膜上有峰值，因此引力局域化在普朗克膜上。一個很重要的問題是探討其它自旋的場是否能被局域化在膜上。下面考慮標量場在膜上的局域化問題，關于費米子的局域化問題可參考文獻[22,23,24]。為了方便起見，從本節(jié)開始，高維時空中的量不再加尖冒。

考慮一個無質(zhì)量自由的五維實標量場，其運動方程為[24,25]：

對標量場進行KK分解

則φ(n)(x)和ζ(n)(y)滿足下面的方程：

下面分析零模（m0=0）是否存在。零模滿足的方程為

上式的解為ζ=ζ0，ζ0是常數(shù)。不過，還需要看零模在額外維無限大時是否可歸一化（即要看有效的四維動能項是否能歸一化）。動能項歸一化形式為：

可以看出當額外維無限大時對 y的積分仍然收斂，即RS背景下標量場可以局域化在膜上，雖然在y坐標下，標量場波函數(shù)為常數(shù)（如果考慮共形的額外維坐標r(ekydy=dr)，則波函數(shù)在普朗克膜上有峰值）。然而，以上討論中假定質(zhì)量項（或五維標量勢）為零，這對標量場來說是不自然的。如果有五維標量勢，額外維無限大時，解會變成什么樣呢？有標量勢時標量場的運動方程為：

顯然，上式?jīng)]有零模解。為了看零模到底變成了什么，需要考慮全部的連續(xù)質(zhì)量譜[26]。 五維標量勢為質(zhì)量項m2Φ2時，四動量為pμ的KK模式的運動方程為

正如前面提到的，p2=0不是該方程的解，所以不存在零模。起初，我們想也許零模會從五維質(zhì)量項中挑選出一個滿足p2=-m2的質(zhì)量來，但p2=-m2也不是五維方程的解。因此，零模到底去哪兒了？在y比較大時，由五維質(zhì)量得到的額外的質(zhì)量項m2不重要，此時連續(xù)質(zhì)量譜可以完全由 y確定。 因此，除了在y比較小時波函數(shù)會扭曲外，有質(zhì)量時的質(zhì)量譜和m2=0時的質(zhì)量譜一樣。上式的一般解為Hankel函數(shù)：

當五維質(zhì)量m比較小時，上式的解為：

因此，我們發(fā)現(xiàn)模式的局域化質(zhì)量不是m，而是m0，即局域化質(zhì)量將移到m0處，且有虛部，即存在壽命有限的分立模式，該模式也稱為準局域化模式。如果壽命足夠長，則該模式和一般的四維局域化模式類似。不過，在膜上待上一段時間后，它終將消失成為五維的KK模式。該模式也可解釋為連續(xù)KK質(zhì)量譜中的一個共振態(tài)，而不是單個的有復質(zhì)量的模式。通過計算系統(tǒng)的有效火山勢可以很好地理解該模式。束縛在火山勢中的這種模式的隧穿振幅有限，因而其寬度和存活時間都有限。

總之，短時間內(nèi)存在有效的局域化的四維粒子，該粒子在膜上待一段時間后，將消失在額外維中。如果該場是帶五維規(guī)范電荷的，則從四維觀者的角度來看，電荷將不守恒。當然，從五維理論來看，因為考慮連續(xù)KK模式（該模式被抑制在膜上），電荷還是守恒的。這只是額外維體積無限時的最簡單的準局域化例子。也有人嘗試考慮引力的準局域化模式，這將非常激動人心，因為這將說明引力子不是嚴格的無質(zhì)量的，而是有有限寬度的。例如文獻[27]中的GRS模型，文獻[28]中的DGP模型。然而，它們或者有質(zhì)量譜的內(nèi)在不穩(wěn)定性問題，或者有四維引力子在大距離時的不可重構性問題（后一問題還在爭論中），因此并不完全令人滿意。

圖5.RS模型與厚膜模型的卷曲因子示意圖。

C.厚膜—彎曲時空中的疇壁世界

RS-2模型給我們帶來的一個啟發(fā)是，只要我們將疇壁世界的時空背景由平直時空換為彎曲時空，就有可能同時實現(xiàn)物質(zhì)場和引力場在疇壁上的局域化。目前，在很多引力理論中都已經(jīng)找到了解析的疇壁解。這些疇壁解一般是光滑、無奇異的，并在一定的極限條件下這些解能退回到RS-2薄膜解。所以通常也把彎曲時空中的疇壁叫做厚膜。下面我們集中介紹各種厚膜模型的解，以及引力和物質(zhì)場在厚膜上的局域化。

1.簡單厚膜模型的構造

最簡單的厚膜模型可以在最小耦合的標量-愛因斯坦引力中構造。該模型的作用量是

假設度規(guī)與RS-2度規(guī)類似

其中a(y)≡eA(y)是額外維的一個任意函數(shù)，稱為卷曲因子，其具體形式依賴于具體的模型（即拉氏量的形式）。RS模型的度規(guī)解是A=-k|y|的特殊情況。

由作用量(82)和度規(guī)(83)出發(fā)可導出厚膜模型的愛因斯坦方程：

以及靜態(tài)標量場滿足的方程：

實際上，我們可以從愛因斯坦方程直接導出標量場的運動方程。所以三個方程中僅有兩個是獨立的，而我們有三個未知變量：A(y),φ(y),V(φ)。因此必須先給定其中一個變量，才能求出另外兩個。為了找到厚膜解，文獻中一般采用一階方法[17]，即定義超勢W(φ)使得

其中Wφ≡dW/dφ。將上式代入愛因斯坦方程，可得標量勢函數(shù)為

根據(jù)對稱性分析可知，要使得A和φ分別為偶函數(shù)和奇函數(shù)，超勢W 只能是φ的奇函數(shù)。顯然φ4型的厚膜模型要求W ～φ2，因此，若用超勢方法，則在廣義相對論中的正則標量場模型不存在滿足要求的φ4型厚膜解。后面我們將看到，在f(R)引力中，可以存在φ4型的厚膜解。

為了得到解析的厚膜解，可以選擇W = ksinφ[29]。 與之相應的卷曲因子和標量場的解分別為

顯然，當 y→ ±∞ 時，A(y)→ -k|y|，我們將得到 RS-1模型的卷曲因子解。因此厚膜只是對 RS-2模型在y=0處做了光滑和非奇異的處理。選擇其它形式的超勢可以得到不同的厚膜解。

2.線性漲落：穩(wěn)定性及引力局域化

在得到一個厚膜解之后，我們首先要討論解在線性漲落下的穩(wěn)定性和引力的局域化問題。 為了便于研究線性漲落，一般會對額外維坐標進行共形變換：dr=a-1dy，從物理坐標y變到共形坐標r。在(xμ,r)坐標系下，對平直膜來說度規(guī)是共形平直的：

在厚膜模型中，除了要考慮度規(guī)的漲落δgMN(xP)外，還要考慮標量場的漲落δφ(xP)。 為方便起見，我們將度規(guī)的漲落改寫成 δgMN≡a2hMN，并對 hMN引入如下的標量-矢量-張量分解 (scalar-tensor-vector decomposition，以后簡記為STV分解)5這種分解的合理性及其在宇宙學中的應用，可參閱[30]。：

其中Cμ和Gμ是橫向的（transverse）矢量漲落，滿足：

而Dμν是橫向且無跡的（transverse and traceless）張量漲落：

這里，所有指標均由ημν升降，因此?μ≡ημν?ν.

作用量所具有的廣義協(xié)變性，可等效為線性漲落方程具有的規(guī)范對稱性（詳細討論請參閱文獻[31]）。所以，可以選取適當?shù)囊?guī)范條件消除部分漲落模式。常用的規(guī)范條件是縱向規(guī)范（the longitude gauge）：

在此規(guī)范下，矢量漲落滿足的方程為[32]

張量漲落（即引力子）的方程為

標量漲落的方程為：

注意，本小節(jié)中撇號表示對r取導數(shù)。

在得到漲落方程后，我們可以對不同類型的漲落模式分別進行KK分解：

其中?μ,κμν分別表示極化矢量和極化張量，它們都是與坐標無關的常量。將KK分解代入漲落方程中，并利用p2=-m2，可得到v(r),t(r),s(r)滿足的方程：

第一個方程表明矢量漲落只有零模，而另外兩個方程說明張量和標量漲落的KK模式沿額外維的部分滿足類Schr?dinger方程。當m2v,m2t,m2s≥0時，我們說背景解是線性穩(wěn)定的。如果存在m2＜0的本征態(tài)（快子態(tài)），則解是不穩(wěn)定的。顯然，任何背景解在矢量漲落下都是穩(wěn)定的。為了判斷解在張量和標量漲落下的穩(wěn)定性，可以引入因子化方法，即把方程組(105)-(106)改寫為：

代入解(89)-(90)不難發(fā)現(xiàn)張量零模局域在膜上（見圖6），而標量零模不能局域在膜上。由量子力學的知識可知，當哈密頓量可以寫成因子化的形式時，本征值必然是非負的。所以任意靜態(tài)厚膜解在張量和標量漲落下也都是穩(wěn)定的。

具體到Sine-Gordon厚膜解，從方程(105)可知引力子感受到的有效勢函數(shù)是[29]

圖6.有效引力勢Vt和相應的歸一化的引力零模式t0。

這與RS模型的結果是類似的。因此，Sine-Gordon厚膜模型可以很好地實現(xiàn)引力零模的局域化，并在宏觀尺度產(chǎn)生牛頓引力。

IV.厚膜上物質(zhì)場的局域化

本節(jié)要討論的問題是：如果我們的世界真的只是五維時空中的一個四維疇壁，那么如何從五維彎曲時空中的場得到我們所熟悉的四維平直時空中的場？為了簡單起見，可以在厚膜背景解的基礎上考慮具有不同自旋的五維自由場。通過對這些場的作用量進行KK約化就可以得到相應的四維有效作用量。這里我們忽略物質(zhì)場對時空背景的反作用（事實上，通常一個五維的基本粒子對時空背景的影響微乎其微，就像四維時空中一個粒子對時空背景的影響很小一樣），所以整個時空的幾何（即度規(guī)解）并不因為物質(zhì)場的引入而改變。本文僅討論研究中常見的幾種物質(zhì)場。為了便于統(tǒng)一討論，我們將這些場分為兩類，即q-形式場（包括標量場、矢量場、Kalb-Ramond場等）與費米場。

A.q-形式場局域化概述

q-形式場是指含有 q個自由指標的全反對稱張量場XM1M2...Mq，特別地，q=0,1,2的形式場分別對應于標量場、矢量場和Kalb-Ramond場（簡稱KR場）。q-形式場的場強為

因此D=p+2維時空中自由的q-形式場XM1M2...Mq的作用量可以寫為：

膜世界只需要考慮q=0,1,2,···,[p/2]的形式場的局域化問題[33]，這是因為q-形式場可以對偶到(p-q)-形式場。這里p代表厚膜的空間維數(shù)，例如五維時空中的厚膜具有3個空間維度。我們稱空間維數(shù)為p的膜為p-膜。

仍假設D維時空中厚膜的線元具有如下共形平直的形式：

在此線元下，q-形式場的運動方程為

顯然，作用量(116)在下面的規(guī)范變換下不變：

其中ΛM2M3...Mq是一個反對稱張量場[33]。 為了去除規(guī)范自由度，可以選擇Xμ1...μq-1r=0作為規(guī)范條件，然后對場的剩余分量Xμ1μ2...μq進行KK分解[5]：

將 (122)、 (123)兩式代到運動方程 (118)式中，可以得到 ?X(xμ)和U(n)(r)滿足的方程。其中U(n)(r)的方程是一個一維類Schr?dinger方程：

有效勢函數(shù)為

在給定背景度規(guī)解后，就可求出V(r)的具體形式。

另一方面，假設額外維部分的場函數(shù)U(m)滿足如下正交歸一化條件：

則利用 KK分解 (121)，可由高維作用量 (116)得到q-形式場膜上的有效作用量：

注意這里的求和是指對分立的KK模式而言，如果KK模式是連續(xù)的，則求和代表積分。可以看出，該有效作用量代表膜上不同的KK模式，即能夠局域化在膜上的KK模式。由于正交歸一化條件(126)是導出有限的有效作用量的關鍵，因此從類Schr?dinger方程中所求解出來的KK模式，只有滿足此條件時，才有可能被局域化在膜上（只有當KK模式沿額外維的分布主要集中在厚膜所在的區(qū)域且滿足歸一化條件時才稱該模式局域化在膜上）。

先看最簡單的零模式，即m20=0的KK模式。根據(jù)(124)式，零模沿額外維部分的解為：

1.標量場（q=0）

q=0時，作用量(116)簡化為一個無質(zhì)量的自由標量場Φ(xμ,r)的作用量，此時KK分解為

其類Schr?dinger方程(124)相應的有效勢函數(shù)為：

在正交歸一化條件∫drχmχn=δmn下，標量場在膜上的有效作用量為：

這表明，我們有可能從一個高維無質(zhì)量的自由標量場，通過KK約化得到膜上無質(zhì)量和一系列有質(zhì)量的自由標量場。

注意到V0(r)與張量漲落的有效勢函數(shù)(113)具有相同的形式（p=3時）。因此，零模

也與引力零模具有相同的形式。只要引力零模能局域化（如前面提到的Sine-Gordon厚膜），則標量場零模也能局域化。

2.矢量場（q=1）

我們用Aμ來表示q=1的矢量場。由于存在規(guī)范自由度，我們先選擇規(guī)范 Ar=0，再進行KK分解

最終可得與矢量場 KK模式的類 Schr?dinger方程(124)相應的有效勢函數(shù)為[34]：

在正交歸一化條件

的假設下，矢量場的有效作用量為：

其中 fμ(nν)=?μa(νn)-?νa(μn)是膜上矢量場的場強。因此，從高維無質(zhì)量自由矢量場的作用量出發(fā)，經(jīng)過KK約化后可能得到膜上無質(zhì)量以及一系列有質(zhì)量的自由矢量場。零模局域化的前提是零模滿足歸一化條件，即積分 ∫drρ20有限。由(128)式知，矢量零模為

對五維時空中 (p=3)，有 ρ0=eA/2，再利用關系dr=e-Ady得

因此，如果在物理坐標系中額外維y無限大，則上面的積分發(fā)散，矢量零模對任意的背景度規(guī)解都是不能局域化的。目前已知的矢量場能夠局域化的模型主要包括一些六維厚膜模型[35]、額外維有限的 de Sitter（德西特，簡稱為 dS）厚膜模型[36]以及外爾幾何下的厚膜模型[37]。文獻[38]通過利用Chumbes-Holf da Silva-Hott機制來實現(xiàn)矢量場的局域化，而文獻[39]則基于類Stueckelberg作用量來實現(xiàn)局域化。此外，也可以通過假設矢量場與曲率之間存在耦合[40]或者幾何的Yukawa耦合[41]來實現(xiàn)矢量場的局域化。

3.Kalb-Ramond場（q=2）

用Bαβ來表示q=2的Kalb-Ramond場。這種二階反對稱張量場最初是在弦理論中引入的，是一種無質(zhì)量的模式。KR場（NS-NS B-場）與度規(guī)張量場和伸縮子場（dilaton）為閉弦的無質(zhì)量激發(fā)，與KR場耦合的弦的作用量為-∫dxMdxNBMN（類似于在電磁場中運動的帶電粒子的作用量-∫dxMAM）。后來在Einstein-Cartan理論中，KR場被用來描述時空的撓率。在四維時空中KR場與標量場對偶，而在高維時空中KR場則代表著新的粒子。所以有必要研究這種場在膜世界中的局域化問題。

按照前面的方法對高維自由KR場進行KK分解

同樣能得到KR場的KK模式滿足的類Schr?dinger方程(124)，相應的有效勢函數(shù)為：

同時，結合正交歸一化條件，可導出膜上的有效作用量為：

在五維時空中，KR場的零模解正比于e-A，而標量場的零模解正比于e3A/2。因此，對于卷曲因子e2A指數(shù)收斂的情況，標量場能夠被局域化在膜上，而KR場不能。為了使KR場能夠局域化，可以引入它與背景標量場的耦合，例如文獻[42,43]假設KR場與背景標量場的耦合為：

其中ζ是耦合常數(shù)，π是背景標量場，HMNL是KR場的場強。當耦合常數(shù)ζ滿足一定條件時，KR場就可以被束縛在膜上。 此外，文獻[44,45]研究了 KR場在RS薄膜模型中的局域化。其它的相關研究可參見[46-50]。

4.膜上的q-形式場的局域化與Hodge對偶

在D=p+2維時空中，一個無質(zhì)量的q-形式場與無質(zhì)量的(p-q)-形式場對偶：

該對偶也可寫為

例如，在五維時空中，0-形式場（標量場）與3-形式場對偶，1-形式場（矢量場）與2-形式場對偶。

D=p+2維時空中一個無質(zhì)量的q-形式場的作用量為

其中∫M≡∫dDxSusskind等人給出了下面的假設[51]

于是Y[q+1]=?Y[q+1]，且對RS膜，膜上的作用量為

因此，q-形式場在RS膜上的局域化需要上式中對y的積分要收斂，即要求

于是假設 (146)意味著對五維情況，只有 0-形式場（標量場）可以局域化在 RS膜上，而更高形式的場則不能。 這與五維時空中0-形式場與 3-形式場之間的Hodge對偶相矛盾。

為了解決該悖論，Duff等人對不同的q選擇了不同的假設[52]：

該假設使得高維時空中的Hodge對偶和膜上無質(zhì)量模式的Hodge對偶得到了保持。 然而，該假說只對零模有效，因此得不到有質(zhì)量KK模式之間的Hodge對偶。

為了解決上述困難，付春娥和劉玉孝等提出了沒有作規(guī)范選擇的一般的KK分解[53]：

其中a1=a2=(2q-p)/2。把上面的KK分解(150)代入到q-形式場的作用量得到如下四維有效作用量：

其中第n個KK模式的四維有效作用量為

它們可寫為類Schr?dinger方程

其中有效勢為

上面兩個方程可以重新寫為

其中算子Q為Q=?r+A′(r)。因此有以下結論：

?不存在負本征值的態(tài)，即總有m2n≥0。

它們的作用量為

因此只有一個零模，q-形式零?；?(q-1)-形式零模，能局域化在 RS膜上。 對于對偶的 (p-q)-形式場，我們有

因此，如果有一個局域化的q-形式零模，則一定有一個局域化的對偶零模，即(p-q-1)-形式零模。如果有一個局域化的(q-1)-形式零模，則一定有一個局域化的(p-q)-形式零模。把q-形式場和(p-q)-形式場的KK分解代入高維時空中的Hodge對偶關系，則得到膜上的對偶關系：

膜上的Hodge對偶表明：

?無質(zhì)量q-形式場與(p-q-1)-形式場對偶，或者

?無質(zhì)量(q-1)-形式場與(p-q)-形式場對偶。

由此可見，零模的Hodge對偶始終得到滿足?？梢宰C明，相應的有效作用量是相同的：

或者

對于q-形式場的第n個KK模式，其有效作用量為

它在下面的規(guī)范變化下是不變的：

于是我們可以選擇下面的規(guī)范

從而，上面的有效作用量為兩種KK模式的作用量：

?一個有質(zhì)量的 n-level q-形式場模式（質(zhì)量為mn），以及

?一個無質(zhì)量的n-level(q-1)-形式場模式。

另一方面，q-形式場和它的對偶(p-q)-形式場的有效勢具有如下關系：

KK模式的關系為：

(p-q)-形式場的KK模式的有效作用量為

該有效作用量也是兩種KK模式的作用量：

?一個有質(zhì)量的n-level(p-q)-形式模式，以及

?一個無質(zhì)量的n-level(p-q-1)-形式模式。

把場的分解代入到高維時空中的 Hodge對偶關系 (144)，則可得到膜上兩組 n-level KK模式之間的對偶關系：

利用這些對偶關系，可以證明下面兩個有效作用量是相等的：

因此，我們可以列出兩組KK模式之間的對偶：

?一個具有質(zhì)量mn的n-level q-形式KK模式和一個無質(zhì)量n-level(q-1)-形式模式；

?一個具有相同質(zhì)量mn的n-level(p-q)-形式KK模式和一個無質(zhì)量n-level(p-q-1)-形式模式。

高維時空中及膜上形式場的對偶關系的總結見表II。

表II.高維時空中及膜上形式場的對偶關系(?表示對偶)

B.費米場的局域化

下面我們介紹費米場的局域化機制。費米場的局域化是各種物質(zhì)場局域化中研究得最多的。研究發(fā)現(xiàn)，為了使自旋為1/2的旋量場能夠被束縛在厚膜上，一般需要引入旋量場與背景標量場的耦合L(Ψ,φ)。在含有多個實標量場的厚膜模型中，可設五維Dirac費米子的作用量為：

其中DM=?M+ωM，ωM是自旋聯(lián)絡。對共形平直度規(guī)

我們有

五維時空中的Γ矩陣為[54-56]

其中γμ和γ5是通常的四維Dirac γ矩陣。耦合項L的具體形式取決于背景標量場的奇偶性。通常，我們考慮的厚膜具有Z2對稱性，因此，為了使得費米子KK模式的有效勢具有相應對稱性，即有效勢為額外維的偶函數(shù)，則當背景標量場是奇函數(shù)時一般取Yukawa型耦合[54,57-62]

其中F最終是額外維r的奇函數(shù)。此時，Ψ的運動方程為

而當背景標量場是偶函數(shù)時，需要引入新的耦合形式[63]

其中F(φ,···,ρ)是實標量場φ,···,ρ的函數(shù)，η是耦合常數(shù)。文獻[63]首次引入了這種新型的耦合方式。此時，Ψ的運動方程為

對旋量場Ψ進行如下手征分解

將(181)式代入運動方程(178)和(180)中，可知兩種情況下KK模式都滿足下面的類Schr?dinger方程組：

而對新型耦合(179)，有效勢為[63]

不論取哪種耦合形式，如果要導出膜上四維無質(zhì)量和有質(zhì)量 Dirac費米子的有效作用量，都必須要求fLn(r)和fRn(r)滿足如下正交條件：

由類Schr?dinger方程容易求出兩種耦合形式下，左、右手征的費米零模fL0,R0(r)的解析表達式：

?對Yukawa耦合為[54]

?對微分耦合為[63]

零模的歸一化條件為

顯然，當額外維無限大時左、右手征零模中最多只能有一個可以被局域在膜上。這正是標準模型所需要的，而額外維為圓環(huán)的KK理論則不能給出四維無質(zhì)量手征費米子。因此在物質(zhì)場能在整個高維時空中傳播的額外維理論中，額外維的Z2對稱性具有重要意義。左、右手費米零模中的一個能在膜上局域化的條件通常為：耦合常數(shù)η大于某一個臨界值，或者耦合常數(shù)大于零，這取決于厚膜模型和費米子與背景標量場的耦合方式。

上面考慮的兩種耦合方式有一個前提，即厚膜是由背景標量場產(chǎn)生的。但是，某些厚膜模型中并沒有背景標量場（如文獻[65]考慮的f(R)引力中的純幾何厚膜）。這種情況下需要引入新的耦合才能使費米子局域化在膜上。最近，文獻[66]提出了費米子與時空曲率耦合的一種機制：

其中F(R)為五維時空標曲率R的函數(shù)，得到了比較豐富的結果。

以上討論只是各種場的零模的局域化。文獻中還討論了有質(zhì)量的KK模式的局域化和質(zhì)量譜。通常質(zhì)量譜分為三種情況：

?有效勢具有火山的形狀，只有零模能局域化，有質(zhì)量的KK模式都不能局域化，質(zhì)量譜是連續(xù)的，從零開始。

?有效勢具有有限深方勢阱類似的形狀，在邊界上趨于正的值V(∞)。這時零模和有限多個有質(zhì)量的分立的KK模式能局域化在膜上，而質(zhì)量平方大于有效勢在邊界上取值（即m2＞V(∞)）的那些KK模式不能局域化。質(zhì)量譜為分立部分和連續(xù)部分，存在質(zhì)量間隙。

?有效勢在邊界上發(fā)散，類似于諧振子勢。這時所

有模式都能局域化在膜上，質(zhì)量譜為分立譜。

對于質(zhì)量譜中包含連續(xù)譜的情況，如果有效勢存在準勢阱，則可能存在共振態(tài)。受文獻 [54]的啟發(fā)，Almeida等人[67]研究了費米子在雙場厚膜上的局域化，首先提出了尋找共振態(tài)的方法及定義，即利用箱歸一化的KK模式ψ(r)在額外維坐標原點r=0的值的模方 |ψ(0)|2來尋找共振態(tài)，|ψ(0)|2為KK模式的質(zhì)量的函數(shù)曲線，該曲線的每一個峰對應一個共振態(tài)。這種方法只適用于尋找偶宇稱的共振態(tài)。

隨后，劉玉孝和楊捷等人在文獻[60]中提出了相對概率法解決了該問題，因此現(xiàn)在被廣泛采用。對于任意一個質(zhì)量為m的KK模式ψ(r)，其在膜上出現(xiàn)的相對概率定義為[60]

其中rb取為厚膜的寬度，而rm不失一般性的可以選為rb的10倍。對于那些質(zhì)量平方遠大于有效勢的所有取值的KK模式ψ(r)，其形狀幾乎和平面波差不多，因此其相對概率接近0.1。而質(zhì)量平方小于有效勢最大值的某些KK模式在膜上的某些區(qū)間的波函數(shù)取值可能遠遠大于其在遠離膜的區(qū)域的取值，這些KK模式將有較大的相對概率（有的甚至接近1）。由于不同質(zhì)量的KK模式的構形不同，因此相對概率是質(zhì)量的函數(shù)。由此把存在局域最大值和半高寬的KK模式稱為共振態(tài)，因為它們在膜上具有一定的壽命。對于存在準勢阱的有效勢，可能存在有限多個共振態(tài)，通常質(zhì)量小的KK共振態(tài)具有較大的相對概率和較長的壽命。

此外，還有文獻考慮了一種新的物質(zhì)場 -Elko旋量場（電荷共軛算符的本征旋量）[68,69]的局域化[70[68,69]，而五維Elko的局域化性質(zhì)與標量場和費米子也大不一樣[70]。

V.厚膜模型的新發(fā)展

除了使用標準的（正則）標量場來構造膜世界，很多文獻也嘗試著使用各種非標準（非正則）的標量場來構建厚膜模型。另一方面，隨著宇宙學和引力理論的發(fā)展，人們研究了各種擴展引力理論的新性質(zhì)。因此尋找各種擴展引力下的厚膜解也將對認識擴展引力和厚膜的性質(zhì)有一定的意義。此外還有很多工作研究膜上具有非零宇宙學常數(shù)，即彎曲膜的情況。本節(jié)將對這些厚膜模型做一個簡單的介紹。

A.非正則標量場產(chǎn)生的厚膜解

正則標量場是指標量場的拉格朗日密度為 L= X-V(φ)的標量場。任何與正則情況不同的標量場都可以稱為非正則標量場。非正則標量場的拉氏密度一般含有標量場φ及其一階、二階乃至更高階導數(shù)的耦合項，即L=L(φ,?Mφ,?M?Nφ,···)。但是，為了保證運動方程是二階的，拉氏密度L中最多只允許出現(xiàn)φ的二階微分項。 目前，運動方程為二階的最廣泛的非正則標量場論是Horndeski理論[73-75]。本文僅介紹一類比較簡單的非正則標量場，即K-場的厚膜解。

1.K-場模型

K-場是指拉氏量為L=L(φ,X)的標量場。這種形式的標量場最早是用于宇宙學暴漲模型中[76-78]，后來被應用于厚膜的研究中。在廣義相對論中引入K-場可以得到最簡單的厚K-膜模型：

相應的愛因斯坦方程組為：

當給定L的具體形式后我們可以采用一階方法來構造解析解。

文獻[79]對K-場的線性穩(wěn)定性問題作了系統(tǒng)的研究，主要結論是：

1)K-場和正則標量場產(chǎn)生的厚膜具有相同形式的矢量和張量漲落方程。這是因為標量、矢量和張量漲落是相互獨立演化的，而K-場只是在正則標量場的基礎上修改了標量場部分，因此矢量和張量漲落方程并不會受到影響。

2)在取縱向規(guī)范，并且拉氏量滿足如下條件時，我們得到了K-場厚膜的標量漲落方程，其形式與標準情況時的方程（即(99)式）類似：

其中，變量θ定義為

點號“ ˙”代表對坐標 r?求導數(shù)，而 r?的定義為：

顯然當LX=1,LXX=0時，θ=a5/2φ′/a′,r?= r。 因此，當條件(195)成立時，K-場厚膜解在標量漲落下是穩(wěn)定的。所以(195)式是一個K-膜解穩(wěn)定的充分條件。

3)對任意的K-場模型，標量漲落的零模都不能被局域在膜上，因此不會產(chǎn)生由標量零模所傳播的第五種力。

下面介紹一類常見的K-場厚膜模型：

以此為出發(fā)點，可由愛因斯坦方程導出

不難看出?yφ與Wφ之間并沒有很簡單的關系，因此一般得不到φ(y)的解析表達式。所以Bazeia等人考慮了0＜α?1的情況，通過取W=3asin(bφ)得到了如下近似的解析解：

通過分析文獻[80]我們注意到，要求A的一階方程與標準厚膜情況一致并不是必須的。因此，我們嘗試了保持φ的一階方程不變，即

并由此導出了下面的一階方程組[81]：

文獻[81]還進一步分析了該模型物質(zhì)場的局域化性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)當α較小時，零質(zhì)量的左手費米子和零質(zhì)量引力子都可以局域化在膜上。

2)幽靈場(phantom)模型

文獻[82]考慮了以宇宙學中用來解釋暗能量的幽靈場作為“材料”構建膜世界。系統(tǒng)的作用量為

其中標量場動能項與正常情況相差一個負號，稱為幽靈場（phantom）。由度規(guī)假設(83)，對該作用量變分可得運動方程

其解為

3)快子場 (tachyon)模型

快子(tachyon)是玻色弦理論中存在的一種超光速粒子?？熳訄龊衲さ南嚓P工作有[83,84]。在[84]中作者研究了快子場構建的厚膜模型，相應的作用量為

其中V(T)為快子場勢函數(shù)。此時假設膜上為dS時空，則度規(guī)可寫為：

其中膜上共形時間 τ與坐標時 t的關系由坐標變換 dτ=a-1(t)dt聯(lián)系，a(t)=eHt，而 H為哈勃常數(shù)。運動方程為

而該模型的解為

而對于該模型，自旋為1/2的費米子可以局域化在膜上。

6注意：由于本文中取=1，因此得到的解與文獻[81]略有不同。

B.擴展引力中的厚膜解

1.標量-張量引力

雖然愛因斯坦建立廣義相對論時受到馬赫原理的啟發(fā)，但廣義相對論并不遵從馬赫原理。1961年，Brans和Dicke根據(jù)馬赫原理提出了一個引力理論，稱為 Brans-Dicke引力[85]。在該理論中存在一個與引力非最小耦合的標量場。在弦理論中也存在一個與引力非最小耦合的標量場-伸縮子場(dilaton)。Brans-Dicke引力是標量-張量引力的一種特殊情況。在厚膜世界理論中，很多文獻也探討了在標量-張量引力下的膜世界模型[86-88]。下面考慮一種簡單的作用量

其中要求F(φ)是標量場φ的一個光滑正定的函數(shù)。而由度規(guī)假設(83)，可得運動方程為：

文獻[89]中對于F(φ)=1-αφ2的形式給出了一個解析解：

在文獻[88]中，作者對F(φ)更多的形式給出了解析解，證明了這些模型在張量漲落和標量漲落下的穩(wěn)定性，并指出零質(zhì)量引力子可以局域化在膜上。

2.f(R)引力

f(R)引力是一種常見的高階引力理論，它假設引力的拉格朗日量正比于標曲率 R的一個任意函數(shù) f(R)。f(R)理論最早是在宇宙學的研究中引入的[90-92]，目前也主要應用于宇宙學中[93-97]。膜世界提出后，人們開始在f(R)理論中研究薄膜[98-103]以及厚膜[104-112]的相關問題。文獻 [104-112]中的f(R)厚膜都是由背景標量場產(chǎn)生的。這一類f(R)厚膜模型的張量漲落滿足比較簡單的方程，具體討論見文獻 [113]，而標量漲落方程比較復雜，目前僅文獻[114]討論過含背景標量場的f(R)厚膜的標量漲落問題。

一種比較簡單的情況是不含標量場的純度規(guī)f(R)理論，這類理論與最小耦合的愛因斯坦-標量理論是等價的。這種等價性使得我們能夠直接在純度規(guī)f(R)理論中找到厚膜解而不需要再引入背景標量場。更重要的是，在愛因斯坦框架下，我們可以很容易地分析厚膜解的穩(wěn)定性。目前在純f(R)引力中研究厚膜解的工作有[115,116,65]。 在文獻[115]中，作者得到了幾個f(R)厚膜的數(shù)值解。而解析的厚膜解第一次出現(xiàn)于文獻[116]中。隨后在[65]中我們給出了一種尋找解析解的簡單方法，并系統(tǒng)地討論了靜態(tài)厚膜解的線性穩(wěn)定問題。

下面先介紹[65]中給出的兩個f(R)厚膜的解析解。純引力f(R)平直厚膜的作用量為

度規(guī)仍為

此時，獨立的運動方程只有一個：

其中fR≡。如果先給定一個簡單的A(y)的表達式，則可通過運動方程解出fR(y)，再利用R=R(y)就能得到f(R)的最終表達式（見文獻[113]）。利用這個方法容易得到兩個比較簡單的解析解[113]：

?f(R)為雙曲函數(shù)

?f(R)為多項式

注意到文獻[116]也討論了f(R)為雙曲函數(shù)的情況，同時分析了解在張量漲落下的穩(wěn)定性，但沒有討論標量和矢量漲落。主要是由于f(R)引力是一個高階引力理論，因此直接導出標量漲落方程比較困難。文獻[113]利用共形變換的方法分析了純f(R)引力厚膜的標量、矢量和張量漲落問題。這一方法的基本原理是可通過共形變換將純f(R)引力等價地改寫為一個最小耦合的愛因斯坦-標量理論，而后者的線性漲落問題比較容易處理。最終的結論是：這兩個純引力f(R)厚膜解 (219)～(222)在三種線性漲落下都是穩(wěn)定的，并且相應的引力零模都能被局域在厚膜上7事實上，任何滿足fR(y)＞0的解都是線性穩(wěn)定的。，而有質(zhì)量的KK引力子產(chǎn)生的牛頓勢修正與距離的立方成反比，因此在大尺度上能夠得到四維牛頓引力（具體內(nèi)容可參考[117,65]）。

由于厚膜模型中費米場的局域化一般需要有背景標量場，而純度規(guī)f(R)厚膜模型中沒有背景標量場>8前面提到過，即使沒有背景標量場，也可以構造費米子與時空曲率的耦合來實現(xiàn)費米子的局域化[66]。。因此要研究f(R)厚膜中費米場的局域化通常還需要考慮含標量場的f(R)厚膜，即考慮作用量

其中φ為背景標量場，V(φ)為相互作用勢。文獻[122]研究了非正則標量場產(chǎn)生的f(R)厚膜。這里我們僅考慮正則標量場情況，度規(guī)仍取為(217)。此時對于靜態(tài)厚膜解，獨立的運動方程為

由于系統(tǒng)有四個未知變量f(R),A,φ,V，而只有兩個獨立的運動方程，我們可以選定其中兩個變量求出另外兩個。

文獻[105]在f(R)=R+αR2的情況下得到了一個簡單厚膜解。在此情況下，如果將勢函數(shù)取為

則可得到解

其中

文獻[105]還研究了引力零模和費米場在厚膜上的局域化問題，結論是：張量漲落的額外維部分仍滿足一個類Schr?dinger方程

相應的有效勢函數(shù)UT(r)為

3.f(T)引力

f(T)引力是平行引力 (teleparallel gravity)的推廣，為此我們先簡單介紹平行引力的基本知識[118,119]。在時空流形的任意一點xM的切空間總可以用正交標架eA(xM)為基矢展開，大寫字母A,B,C,···= 0,1,2,3,5為切空間指標。顯然，標架eA(xM)是切空間中的矢量，它在坐標空間中的分量為eAM。

時空度規(guī)可以用標架表示為

其中ηAB=diag(-1,1,1,1,1)是切空間中的閔氏度規(guī)。由方程(228)可得

在平行引力中不再使用常見的 Levi-Civita聯(lián)絡Γρμν，而是用Weitzenbck聯(lián)絡：

利用Weitzenb?ck聯(lián)絡可定義撓率（torsion）張量：

兩種聯(lián)絡之差定義為

則可將平行引力的作用量寫為

其中e=det(eAM)=M?是五維時空中的基本能標，這里取M?=1。研究發(fā)現(xiàn)平行引力與廣義相對論的作用量之間只相差一個邊界項。在這個意義下，平行引力與廣義相對論是等價的。因此，要研究撓率對標準厚膜解的影響就需要對平行引力進行推廣，例如考慮如下作用量

這里f(T)是撓率標量T的一個光滑函數(shù)，LM代表物質(zhì)場的拉氏密度。這種理論稱為f(T)引力，最早是由Bengochea和Ferraro提出并用來解釋宇宙的加速膨脹[120]。

對標架場變分可得運動方程：

文獻[121,122]研究了f(T)=T+αTn情況下的厚膜模型，并得到了兩個解析的厚膜解：

1)n=0或者n=1/2時場方程退化為與廣義相對論相同的形式，因此可以得到廣義相對論下的厚膜解：

這里u=1-72αb2k2；參數(shù)b,k＞0；F(y;q),E(y;q)分別是第一類和第二類橢圓積分。對第二個解，為了使標量場φ為實的，要求α≤1/(72k2b2)。

當 y→ ±∞ 時 A(y)→ -bk|y|，所以時空是漸近AdS的。相應的宇宙學常數(shù)為

上面兩個解所對應的能量密度分別為

研究發(fā)現(xiàn)[122]，當1+2b+72α＜0時膜開始發(fā)生劈裂，并且劈裂的程度隨著|1+2b+72α|的增加而增加。

文獻[121]對自旋為1/2的費米子局域化問題也進行了分析，發(fā)現(xiàn)膜上只存在一個無質(zhì)量的左手費米子束縛態(tài)，而增加撓率效應的強度后，勢阱的深度也將逐漸增加，相應的左手KK費米子共振態(tài)數(shù)目也逐漸增多。

文獻[122]研究了f(T)厚膜解的張量漲落問題。首先考慮標架的漲落

利用正交關系(229)并保留至線性項，可得標架的逆為

利用(228)式得

張量漲落滿足橫向-無跡條件：

對標架場，上式等價于

利用上面的關系最終可導出共形平直坐標系 dr= e-Ady中張量漲落方程為[122]：

這里

對張量漲落進行如下KK分解

易知?μν(xρ)和ψ(r)分別滿足

其中m是KK引力子的質(zhì)量，有效勢U定義為

Schr?dinger方程(250)也可寫為如下形式：

這意味著m2≥0，所以任意f(T)理論中的解析厚膜解在橫向無跡的張量漲落下都是穩(wěn)定的。引力零模具體有如下解析形式：

其中N0是歸一化系數(shù)。文獻[122]證明了n=2時無質(zhì)量引力子可以局域化在膜上。

4.EiBI引力

廣義相對論是一個純度規(guī)理論，也就是說 Einstein-Hilbert作用量只是度規(guī)的泛函。而 1924年，Eddington提出了一個基于純聯(lián)絡的引力理論，該理論等價于含有宇宙學常數(shù)的廣義相對論[123,124]。但是該理論由于沒有考慮物質(zhì)場，因此不是一個完整的理論。2010年，Ban?ados和Ferreira受Eddington引力的啟發(fā)，提出了一種Palatini理論，稱為Eddingtoninspired Born-Infeld（EiBI）引力理論。在該理論中，度規(guī)和聯(lián)絡都是獨立的場（Palatini體系），而物質(zhì)場也被包含在該引力中，與引力場以最小形式進行耦合[125]。該引力理論因為能夠克服均勻各向同性宇宙早期的奇點問題而受到眾多關注。在文獻 [126,127]中，作者在EiBI引力下研究了膜世界模型的性質(zhì)。

EiBI引力的作用量為：

其中κ=8πG5，b是一個量綱為宇宙學常數(shù)倒數(shù)的常數(shù)，RMN(Γ)代表由聯(lián)絡Γ構造的Ricci張量的對稱部分，而SM(g,Φ)為只與度規(guī)耦合的物質(zhì)場作用量。λ為非零的無量綱參數(shù)。

引入一個輔助度規(guī)qMN后，作用量(254)對度規(guī)場g和聯(lián)絡場Γ的變分給出運動方程：當bRMN很大時，EiBI作用量(254)趨近于Eddington作用量；而反之，當bRMN很小時，EiBI作用量可以退回到宇宙學常數(shù)為 Λeff的 Einstein-Hilbert作用量。特別地，在無物質(zhì)場時，真空中EiBI作用量等價于一個宇宙學常數(shù)為ΛG=(n/2-1)(λ-1)/b 的Einstein-Hilbert作用量。但當背景時空中存在一個標量場時，EiBI理論將偏離愛因斯坦的廣義相對論。這里考慮物質(zhì)場為正則標量場。

引入膜世界度規(guī)假設(83)后，相應的輔助度規(guī)的形式為qMN=diag(-u,u,u,u,v)，其中u和v是額外維y的函數(shù)。則運動方程化為

由于這三個方程并不是完全獨立的，故引進一個簡單的限制條件?yφ(y)=Ka2(y)（K為常數(shù)）后，可以得到

其中，

該解為一個扭結(kink)解，相應的構型為一個單膜結構。

而[127]中還考慮了另一個限制條件

并對運動方程進行了數(shù)值求解，發(fā)現(xiàn)當K2?1時，該解為一個單膜解，而K2→1時，該解則變?yōu)殡p膜解，膜具有內(nèi)部結構。

文獻[126,127]中對該模型的線性張量漲落也進行了分析，指出上述模型在張量漲落下是穩(wěn)定的，而無質(zhì)量引力子可以局域化在膜上。特別地，膜上的低能有效四維引力是愛因斯坦引力。

C.多標量場厚膜模型

上面的模型中，厚膜由一個標量場產(chǎn)生。事實上，厚膜也可以通過多個標量場作為“材料”所產(chǎn)生。在[42,128,129,130]中，作者考慮了在五維時空中引入兩個標量場產(chǎn)生厚膜的情況。該模型作用量為

而假設線元的形式為

由該度規(guī)假設可得相應的運動方程為：

引入超勢W(φ)后可將運動方程化為一階形式

其中b為一個正的常數(shù)。

對于一個特殊的超勢[42,128]

經(jīng)過簡單計算即可得相應的解為：

對于該模型，文獻[130]指出：對于自旋為1/2的費米子，通過引入其與背景標量場的耦合ηˉΨeλπφΨ，在參數(shù)b/=1時，零質(zhì)量左手費米子可以被局域化在膜上；而對于自旋為1的矢量粒子，引入耦合eτπFMNFMN后，參數(shù)τ和b在一定的取值范圍內(nèi)，零質(zhì)量的矢量粒子可以被局域化在膜上。

在文獻[131]中，作者研究了六維時空中兩個標量場產(chǎn)生的厚膜解。更一般地，文獻[132]討論了p+n維時空中，n個背景標量場產(chǎn)生的(p-1)-膜的情況。此外，文獻[133]還研究了由多個非正則標量場產(chǎn)生的平直厚膜。

D.彎曲厚膜

前面介紹的厚膜幾乎都假定在四維膜上時空是平直的，在RS模型提出后不久，DeWolfe等人[17]就考慮了膜上具有dS幾何與AdS幾何這兩種簡單的非平直情況，相應的四維度規(guī)分別為：

常數(shù)H與四維宇宙學常數(shù)Λ4滿足關系Λ4=±3H2，其中“+”號和“-”分別對應dS和AdS情況。我們稱膜上具有dS幾何的膜為 dS膜，類似地可以定義AdS膜。dS膜和AdS膜統(tǒng)稱為彎曲膜，平直膜對應于H=0的情況。

考慮到彎曲膜的情況，我們將厚膜的度規(guī)統(tǒng)一寫為如下形式：

對彎曲膜的研究目前主要集中于標準的標量-愛因斯坦引力這種簡單情況：

Kobayashi等人首先研究了這類彎曲厚膜的解以及解的線性漲落問題[134]，不過他們的解在一般情況下需要借助數(shù)值方法來研究。比較好的解析解是王安忠首先給出的：對dS膜情況，解為[135]：

AdS厚膜模型的解為[135]：

其中0≡參數(shù)δ滿足δ＞1或者δ＜0。這個解描述了一個分布于r=0附近的AdS厚膜，且額外維是有限的-rm≤r≤+rm，其中 rm=

可以看出，王安忠的解在H→0極限下并不能得到平直的厚膜解。為了得到存在平直膜極限的彎曲厚膜解，Bazeia小組提出了通過引入超勢W(φ)來尋找解析的彎曲膜解的方法[136]。 他們得到的dS厚膜解為：

s和 a是實參數(shù)。將 dS厚膜解中的參數(shù) H2替換為-H2可以得到AdS厚膜解；而取H→0則得到平直厚膜解。因此，文獻[136]將平直膜和彎曲膜的解統(tǒng)一起來了。

在得到彎曲厚膜的解析解之后，仍然要討論解在線性漲落下的穩(wěn)定性問題，以及各種物質(zhì)場的局域化。標量-愛因斯坦理論下，彎曲厚膜的線性漲落問題已經(jīng)有文獻進行了系統(tǒng)的研究，具體請看[134]。另外，各種場在彎曲膜上的局域化可參考文獻[137]。

也有一些工作研究諸如非正則標量場產(chǎn)生的彎曲厚膜[138]，Weyl幾何下的彎曲膜[139]等。但對于超出愛因斯坦引力和正則標量場的彎曲厚膜模型，不論是尋找解析解還是分析線性漲落都將變得更為困難。文獻[140]給出了臨界引力（一種高階引力理論）中平直膜、dS膜和AdS膜的薄膜和厚膜解。

E.厚膜的劈裂

大多數(shù)厚膜模型都是RS-2模型的推廣。在此情況下，厚膜的能量密度只有一個峰值。但是，在有的厚膜模型中，能量密度峰的個數(shù)會隨著參數(shù)的變化而增加，這種現(xiàn)象被稱為膜的劈裂，或者說膜具有了內(nèi)部結構。在有的模型中，隨著膜的劈裂標量場將由原來的單扭結變成一個雙扭結；而在另外一些模型中即使標量場仍保持單扭結的構型，能量密度也會隨著參數(shù)的改變而發(fā)生劈裂。伴隨著厚膜的劈裂，可能會出現(xiàn)各種場在膜上的準局域化形成有限壽命的共振態(tài)。造成厚膜劈裂的原因有很多，常見的有以下幾類：

1)標量場自耦合。Bazeia等人發(fā)現(xiàn)[141]在標準的標量-愛因斯坦理論下的厚膜模型中，如果取如下超勢：

其中p=1,3,5,···，則背景標量場的解為

當 p=1時，背景標量場的解是一個單扭結，而當p=3,5,···時，背景標量場將變?yōu)殡p扭結。一些文獻研究了各種場的局域化性質(zhì)將隨參數(shù)p的變化而變化，具體可參看[50,142,143,144]。

2)多個背景標量場的耦合。最典型的多場厚膜模型是布洛赫膜（Bloch brane）[129]，作用量為

這里 φ=φ(y),χ=χ(y)是兩個靜態(tài)標量場。 文獻[145]系統(tǒng)地研究了對稱和不對稱布洛赫厚膜解情況下費米場和引力場的局域化和共振態(tài)問題，除此以外，文獻 [38,48,146,147,148,149,150]也深入研究了雙場厚膜中的膜劈裂現(xiàn)象。在雙場厚膜模型中，膜的劈裂一般不需要標量場具有雙扭結結構。

3)標量場與其微分項的耦合。在標量場與其微分項有耦合的模型中，也可能出現(xiàn)厚膜的劈裂現(xiàn)象。例如，文獻[151]研究了耦合項為(1+βφ2n)(?φ)2的厚膜模型，發(fā)現(xiàn)當β和n增大時，厚膜的能量密度會發(fā)生劈裂。文獻[151]還進一步討論了引力場、dilaton場和費米場的局域與準局域問題。

4)標量場與標曲率的耦合。在非最小耦合的標量-愛因斯坦理論或更廣泛的標量-張量理論中厚膜也可能會出現(xiàn)劈裂[87]。

5)撓率導致的劈裂。前面關于f(T)理論的討論中已經(jīng)提到過，撓率也能導致膜的劈裂[121,152]。

6)高階曲率項。在含有高階曲率項的厚膜模型中也可以出現(xiàn)膜劈裂的現(xiàn)象，如 f(R)引力[108]、臨界引力[140]等。

7)有限溫度效應。在厚膜中考慮有限溫度效應后，厚膜也可能發(fā)生劈裂[61,153,154]。

VI.總結與展望

額外維的概念從提出到現(xiàn)在已經(jīng)歷將近百年的歷史，不論在理論上還是實驗上，物理學家都已對額外維開展了深入而細致的研究。近幾年的《粒子物理學數(shù)據(jù)》中還收錄了額外維研究的最新進展，這表明額外維的研究已經(jīng)從早期的純理論探索發(fā)展到現(xiàn)在的實驗探測階段。盡管目前仍沒有直接的證據(jù)表明存在額外的空間維度，但額外維的思想有助于我們了解新的物理現(xiàn)象。本文側重于介紹額外維理論研究中的一個分支，即厚膜理論的相關問題。

近年來隨著宇宙學理論的發(fā)展，各種新型的引力理論和非正則標量場被相繼提出。在這些新理論中尋找解析厚膜解，將對理解這些新理論有所幫助，同時也將加深我們對厚膜的理解。本文介紹了一些常見的厚膜模型，包括由一個（或多個）正則（或非正則）標量場產(chǎn)生的平直厚膜以及標量-張量引力、f(R)引力、f(T)引力和EiBI引力中的平直厚膜解，另外還介紹了廣義相對論中由單標量場產(chǎn)生的彎曲膜（即dS膜和AdS膜）。此外，我們還簡單介紹了各種厚膜模型的背景解、厚膜在線性漲落下的穩(wěn)定性以及各種物質(zhì)場在膜上的局域化機制。

目前國際上對厚膜的研究已經(jīng)取得了大量的研究成果。在解析解方面除了成功找到了本文中提到的f(R)引力、f(T)引力和EiBI引力中的厚膜解和正則或非正則標量場產(chǎn)生的平直（或彎曲）厚膜解之外，還得到了包括 Gauss-Bonnet引力[155]、臨界引力 [156,157,140]、Weyl（外爾）幾何 [37,158,139]等擴展引力理論下的平直或彎曲厚膜解。這些厚膜解中的大多數(shù)都具有比較簡單的張量漲落方程，因此引力的局域化問題基本上都被比較完整地討論過。

物質(zhì)場在厚膜上的局域化一般只與厚膜解（一般是卷曲因子和背景標量場）的具體形式有關。例如，標量場的局域化在數(shù)學上等同于引力場的局域化（當引力作用量為愛因斯坦-希爾伯特作用量時），因此從卷曲因子的形式就可以判斷標量場和引力場的零模是否能夠被局域在膜上；而要判斷自旋為1/2的費米場是否能局域化，一般既要知道卷曲因子也要知道背景標量場的形式，同時還要根據(jù)背景標量場的奇偶性選擇費米場與標量場的耦合方式。而矢量場的局域化目前還沒有公認的局域化方案，目前已知的矢量場能夠局域化的模型主要包括一些六維厚膜模型[35]、額外維有限的dS厚膜模型[36]以及外爾幾何下的厚膜模型[37]。另外也可以通過假設矢量場與曲率之間存在耦合來實現(xiàn)矢量場的局域化[40]。

因此，今后至少可以在以下幾個方面對厚膜開展進一步的研究：

1)尋找新理論下的解析厚膜解。隨著宇宙學和引力理論的發(fā)展，還會提出各種新型的引力理論和標量場論（例如近年來研究較多的 Horndeski理論[73,159]）。在這些新理論中找到形式簡單的解析厚膜解，將對理解這些理論有所幫助。

2)厚膜解線性漲落的研究。目前大多數(shù)厚膜模型的張量漲落方程都可以化簡成一個單變量的二階類Schr?dinger方程，且該方程的具體形式一般與背景標量場的拉氏量形式無關，這在很大程度上簡化了討論。但是要判定一個厚膜解是線性穩(wěn)定的，除了要分析張量漲落，還要討論矢量漲落和標量漲落。標量漲落問題是厚膜研究中的一大難點。因為標量漲落方程除了與引力理論有關，還與產(chǎn)生厚膜的標量場的個數(shù)以及拉氏量的形式密切相關。當背景標量場的個數(shù)增加時我們將得到多個標量漲落方程，此時需要構造矩陣方程來判斷解的穩(wěn)定性（可參考[114]）。對于高階的臨界引力[156]，厚膜模型的標量漲落是穩(wěn)定的[157]，但由于張量漲落滿足四階微分方程，不能轉(zhuǎn)化成一個二階的類Schr?dinger方程，因此目前還不清楚厚膜的張量漲落是否穩(wěn)定。

3)物質(zhì)場的局域化的研究。主要包括探索其它物質(zhì)場（如 q-形式場[3453]、Elko場[70]）在厚膜上的局域化問題，以及阿貝爾或非阿貝爾規(guī)范場的局域化機制。

4)溫度效應對厚膜的影響。厚膜是平直時空中的疇壁解在彎曲時空中的一個推廣。通過有限溫度場論的方法可以分析溫度對疇壁性質(zhì)的影響，因此也可以考慮溫度對厚膜將產(chǎn)生什么影響。目前還沒有利用彎曲時空中的有限溫度場論直接分析厚膜溫度效應的工作，不過有些工作通過假設背景標量場勢函數(shù)中的某些項是溫度的函數(shù)來初步分析在有限溫度下厚膜性質(zhì)的變化[61,153,154]。

5)厚膜在加速器中的新物理效應。在厚膜理論中，所有的場都為高維時空中的場，它們局域化在膜上的零模為四維時空中的粒子，而有質(zhì)量的KK模式通常代表新粒子，這些新粒子通常是不能局域化在膜上的。零模與KK模式之間的相互作用將給出加速器中的新物理效應。目前相關的研究主要集中于薄膜模型或者沒有考慮引力的普適額外維模型（Universal Extra Dimensions）[14]，厚膜方面的相關研究仍很少見，主要原因可能在于關于額外維的重疊積分帶來了相當大的困難，例如文獻[160]考慮了厚膜對庫侖勢的修正用到了重疊積分。

致謝

本文涉及的部分工作受到國家自然科學基金（項目號：11375075、11522541和11605127）、中央高?；究蒲袠I(yè)務費（項目號：lzujbky-2016-k04）、教育部新世紀優(yōu)秀人才支持計劃和中國博士后基金（項目號：2016M592770）的資助。

參考文獻

[1]Nordstr?m G.Phys.Z,1914,15:504

[2]Kaluza T.Sitzungsber Preuss Akad Wiss Berlin (Math Phys),1921,966

[3]Klein O.Zeits.Phys.,1926,37:895

[4]Appelquist T,Chodos A,and Freund P G O.Modern Kaluza-Klein Theories.Addison-Wesley Publishing Company,1987

[5]付春娥.膜世界中的物質(zhì)場及其KK模式.蘭州大學博士學位論文,2013

[6]Pope C N.Kaluza-Klein theory.Http://people. physics.tamu.edu/pope/ihplec.pdf

[7]Cheng H C.TASI 2009:Introduction to Extra Dimensions,2010

[8]Ponton E.TASI 2011:Four Lectures on TeV Scale Extra Dimensions,2012

[9]Rubakov V A and Shaposhnikov M E.Phys.Lett.B, 1983,125:136

[10]Zwiebach B.A First Course in String Theory Second Edition.Cambridge University Press,2009

[11]Arkani-Hamed N,Dimopoulos S,Dvali G.Phys.Lett. B,1998,429:263

[12]Kapner D J,Cook T S,Adelberger E G,Gundlach J H,Heckel B R,Hoyle C D,Swanson H E.Phys. Rev.Lett.,2007,98:021101

[13]Rubakov V A.Phys.Usp.,2001,44:871

[14]Raychaudhuri S and Sridhar K.Particle Physics of Brane Worlds and Extra Dimensions.Cambridge University Press,2016

[15]Randall L,Sundrum R.Phys.Rev.Lett.,1999,83: 3370.

[16]Randall L,Sundrum R.Phys.Rev.Lett.1999,83: 4690.

[17]DeWolfe O,Freedman D Z,Gubser S S,Karch A. Phys.Rev.D,2000,62:046008

[18]Csaki C,Erlich J,Hollowood T J,Shirman Y.Nucl. Phys.B,2000,581:309

[19]Gremm M.Phys.Lett.B,2000,478:434

[20]Gherghetta T.Tasi lectures on a holographic view of beyond the standard model physics,2010.

[21]Olive K A et al.Chin.Phys.C,2014,38:090001

[22]Grossman Y and Neubert M.Phys.Lett.B,2000 474: 361

[23]Nucl.Phys.B,2000,586:141

[24]Bajc B,Gabadadze G.Phys.Lett.B,2000,474:282

[25]Goldberger W D,Wise M B.Phys.Rev.D,1999,60: 107505

[26]Dubovsky S L,Rubakov V A,Tinyakov P G.Phys. Rev.D,2000,62:105011

[27]Gregory R,Rubakov V A,Sibiryakov S M.Phys.Rev. Lett,2000.84:5928

[28]Dvali G R,Gabadadze G,Porrati M.Phys.Lett.B, 2000,485:208

[29]Gremm M.Phys.Rev.D,2000,62:044017

[30]Weinberg S.Cosmology.Oxford University Press, 2008

[31]Mukhanov V.Physical Foundations Of Cosmology. Cambridge University Press,2005

[32]Giovannini M.Phys.Rev.D,2001,64:064023

[33]Mukhopadhyaya B,Sen S,SenGupta S.Phys.Rev.D, 2007,76:121501

[34]Fu C E,Liu Y X,Yang K,Wei S W.J.High Energy Phys..2012.10:060

[35]Oda I.Phys.Lett.B,2000,496:113

[36]Liu Y X,Guo H,Fu C E,Li H T.Phys.Rev.D,2011, 84:044033

[37]Liu Y X,Zhang L D,Wei S W,Duan Y S.J.High Energy Phys.,2008 08:041

[38]Zhao Z H,Liu Y X,and Zhong Y.Phys.Rev.D,2014, 90(4):045031

[39]Vaquera-Araujo C A,Corradini O.Eur.Phys.J.C, 2015,75(2):48

[40]Zhao Z H,Xie Q Y,Zhong Y.Class.Quant.Grav., 2015,32(3):035020

[41]Alencar G,Landim R R,Tahim M O,Costa Filho R N.Phys.Lett.B,2014,739:125

[42]Tahim M O,Cruz W T,Almeida C A S.Phys.Rev. D,2009,79:085022

[43]Liu Y X,Fu C E,Guo H,Li H T.Phys.Rev.D,2012, 85:084023

[44]Mukhopadhyaya B,Sen S,SenGupta S.Phys.Rev. Lett.,2002,89:121101[Erratum:Phys.Rev.Lett., 2002,89:259902]

[45]Mukhopadhyaya B,Sen S,Sen S,SenGupta S.Phys. Rev.D,2004,70:066009

[46]Christiansen H R,Cunha M S,Tahim M O.Phys. Rev.D,2010,82:085023

[47]Christiansen H R,Cunha M S.Eur.Phys.J.C,2012, 72:1942

[48]Cruz W T,Maluf R V,Almeida C A S.Eur.Phys.J. C,2013,73:2523

[49]Du Y Z,Zhao L,Zhong Y,Fu C E,Guo H.Phys.Rev. D,2013,88:024009

[50]Cruz W T,Tahim M O,Almeida C A S.Europhys. Lett.,2009,88:41001

[51]Kaloper N,Silverstein E,and Susskind L.J.High Energy Phys.,2001,0105:031

[52]Duff M,Liu J T.Phys.Lett.B,2001,508:381

[53]Fu C E,Liu Y X,Guo H,Zhang S L.Phys.Rev.D, 2016,93:064007

[54]Liu Y X,Zhang L D,Zhang L J,Duan Y S.Phys. Rev.D,2008,78:065025

[55]Liu Y X,Zhang X H,Zhang L D,Duan Y S.J.High Energy Phys.,2008,02:067

[56]Liu Y X,Fu C E,Guo H,Wei S W,Zhao Z H.JCAP, 2010,1012:031

[57]Ringeval C,Peter P,Uzan J P.Phys.Rev.D,2002, 65:044016

[58]Melfo A,Pantoja N,Tempo J D.Phys.Rev.D,2006, 73:044033

[59]Liu Y X,Fu C E,Zhao L,Duan Y S.Phys.Rev.D, 2009,80:065020

[60]Liu Y X,Yang J,Zhao Z H,Fu C E,Duan Y S.Phys. Rev.D,2009,80:065019

[61]Zhao Z H,Liu Y X,Wang Y Q,Li H T.J.High Energy Phys.,2011,06:045

[62]Liang J,Duan Y S.Phys.Lett.B,2009,681:172

[63]Liu Y X,Xu Z G,Chen F W,Wei S W.Phys.Rev. D,2014,89(8):086001

[64]Liu Y X,Guo H,Fu C E,Li H T.Phys.Rev.D,2011, 84:044033

[65]Zhong Y,Liu Y X.Eur.Phys.J.C,2016,76(6):321

[66]Li Y Y,Zhang Y P,and Liu Y X.Localization of fermion on thick branes with gravity coupling.arXiv: 1701.02429[hep-th]

[67]Almeida C A S,Ferreira Jr.M M,Gomes A R,Casana R.Phys.Rev.D,2009,79:125022

[68]Ahluwalia-Khalilova D V,Grumiller D.JCAP,2005, 07:012

[69]Ahluwalia-Khalilova D V,Grumiller D.Phys.Rev.D, 2005,72:067701

[70]Liu Y X,Zhou X N,Yang K,Chen F W.Phys.Rev. D,2012,86:064012

[71]Jardim I C,Alencar G,Landim R R,Costa Filho R N.Phys.Rev.D,2015,91:048501

[72]Jardim I C,Alencar G,Landim R R,Costa Filho R N.Phys.Rev.D,2015,91:085008

[73]Horndeski G W.Int.J.Theor.Phys.,1974,10:363

[74]Charmousis C.Lect.Notes.Phys.,2015,892:25

[75]Joyce A,Jain B,Khoury J,Trodden M.Phys.Rept., 2015,568:1

[76]Armendariz-Picon C,Damour T,Mukhanov V F. Phys.Lett.B,1999,458:209

[77]Garriga J,Mukhanov V F.Phys.Lett.B,1999,458: 219

[78]Armendariz-Picon C,Mukhanov V F,Steinhardt P J. Phys.Rev.D,2001,63:103510

[79]Zhong Y,Liu Y X.Phys.Rev.D,2013,88:024017

[80]Bazeia D,Gomes A R,Losano L,Menezes R.Phys. Lett.B,2009,671:402

[81]Zhong Y,Liu Y X,Zhao Z H.Phys.Rev.D,2014,89: 104034

[82]Koley R,Kar S.Mod.Phys.Lett.A,2005,20:363

[83]Bazeia D,Brito F A,Nascimento J R.Phys.Rev.D, 2003,68(8):085007

[84]Pal S,Kar S.GenRelGrav,2009,41:1165

[85]Brans C,Dicke R H.Phys.Rev.,1961,124:925

[86]Bogdanos C,Dimitriadis A,Tamvakis K.Phys.Rev. D,2006,74:045003

[87]Guo H,Liu Y X,Zhao Z H,Chen F W.Phys.Rev.D, 2012,85:124033

[88]Liu Y X,Chen F W,Guo H,Zhou X N.J.High Energy Phys.,2012,05:108

[89]Farakos K,Koutsoumbas G,Pasipoularides P.Phys. Rev.D,2007,76:064025

[90]Buchdahl H A.Mon.Not.Roy.Astron.Soc.,1970, 150:1

[91]Barrow J D,Ottewill A C.J.Phys.A,1983,16:2757

[92]Barrow J D,Cotsakis S.Phys.Lett.B,1988,214:515

[93]Mukhanov V F,Kofman L,Pogosian D Y.Phys.Lett. B,1987,193:427

[94]Cognola G,Elizalde E,Nojiri S,Odintsov S D,Sebas-tiani L,Zerbini S.Phys.Rev.D,2008,77:046009

[95]De Felice A,Tsujikawa S.Living Rev.Rel.,2010,13: 3

[96]Sotiriou T P,Faraoni V.Rev.Mod.Phys.,2010,82: 451

[97]Nojiri S,Odintsov S D.Phys.Rept.,2011,505:59

[98]Parry M,Pichler S,Deeg D.JCAP,2005,0504:014

[99]Deruelle N,Sasaki M,Sendouda Y.Prog.Theor. Phys.,2008,119:237

[100]Balcerzak A,Dabrowski M P.JCAP,2009,0901:018

[101]Balcerzak A,Dabrowski M P.Phys.Rev.D,2008,77: 023524

[102]Hoff da Silva J,Dias M.Phys.Rev.D,2011,84: 066011

[103]Carames T,Guimaraes M,Hoff da Silva J.Phys.Rev. D,2013,87(10):106011

[104]Afonso V I,Bazeia D,Menezes R,Petrov A Y.Phys. Lett.B,2007,658:71

[105]Liu Y X,Zhong Y,Zhao Z H,Li H T.J.High Energy Phys.,2011,06:135

[106]Bazeia D,Menezes R,Petrov A Y,da Silva A.Phys. Lett.B,2013,726:523

[107]Bazeia D,Lob?ao A S,Menezes R,Petrov A Y,da Silva A.Phys.Lett.B,2014,729:127

[108]Xu Z G,Zhong Y,Yu H,Liu Y X.Eur.Phys.J.C, 2015,75(8):368

[109]Gu B M,Guo B,Yu H,Liu Y X.Phys.Rev.D,2015, 92:024011

[110]Bazeia D,Lob?ao A,Menezes R.Phys.Lett.B,2015, 743:98

[111]Bazeia D,Lob?ao A,Losano L,Menezes R,Olmo G J. Phys.Rev.D,2015,91(12):124006

[112]Yu H,Zhong Y,Gu B M,Liu Y X.Eur.Phys.J.C, 2016,76:195

[113]Zhong Y,Liu Y X,Yang K.Phys.Lett.B,2011,699: 398

[114]陳風偉.臨界引力和非最小耦合引力中的膜世界模型.蘭州大學博士學位論文,2015.

[115]Dzhunushaliev V,Folomeev V,Kleihaus B,Kunz J. J.High Energy Phys.,2010,04:130

[116]Liu H,Lu H,Wang Z L.J.High Energy Phys.,2012, 02:083

[117]鐘淵.非正則標量場和f(R)引力中的疇壁解.蘭州大學博士學位論文,2015.

[118]Hayashi K,Shirafuji T.Phys.Rev.D,1979,19(12): 3524

[119]Aldrovandi R,Pereira J G.Teleparallel Gravity:An Introduction.Springer,2013

[120]Bengochea G R,Ferraro R.Phys.Rev.D,2009, 79(12):124019

[121]Yang J,Li Y L,Zhong Y,Li Y.Phys.Rev.D,2012, 85:084033

[122]Guo W D,Fu Q M,Zhang Y P,Liu Y X.Phys.Rev. D,2016,93(4):044002

[123]Eddington A S.The Mathematical Theory of Relativity.Cambridge University Press,1924

[124]Schr?dinger E.Space-time Structure.Cambridge University Press,1950

[126]Liu Y X,Yang K,Guo H,Zhong Y.Phys.Rev.D, 2012,85:124053

[127]Fu Q M,Zhao L,Yang K,Gu B M,Liu Y X.Phys. Rev.D,2014,90(10):104007

[128]Kehagias A,Tamvakis K.Phys.Lett.B,2001,504: 38

[129]Bazeia D,Gomes A R.J.High Energy Phys.,2004, 05:012

[130]Fu C E,Liu Y X,Guo H.Phys.Rev.D,2011,84: 044036

[131]Dzhunushaliev V,Folomeev V,Singleton D,Aguilar-Rudametkin S.Phys.Rev.D,2008,77(4):044006

[132]Olasagasti I,Vilenkin A.Phys.Rev.D,2000,62: 044014

[133]Bazeia D,Lob?ao A S,Losano L,Menezes R.Phys. Rev.D,2013,88:045001

[134]Kobayashi S,Koyama K,Soda J.Phys.Rev.D,2002, 65:064014

[135]Wang A.Phys.Rev.D,2002,66:024024

[136]Afonso V I,Bazeia D,Losano L.Phys.Lett.B,2006, 634:526

[137]郭恒.厚膜世界上引力場和物質(zhì)場的研究.蘭州大學博士學位論文,2012

[138]Liu Y X,Zhong Y,Yang K.Europhys.Lett.,2010,90: 51001

[139]Liu Y X,Yang K,Zhong Y.J.High Energy Phys., 2010,10:069

[140]Zhong Y,Liu Y X,Chen F W,Xie Q Y.Eur.Phys. J.C,2014,74(12):3185

[141]Bazeia D,Furtado C,Gomes A R.JCAP,2004,0402: 002

[142]Cruz W,Gomes A,Almeida C.Europhys.Lett.,2011, 96:31001

[143]Cruz W T,Gomes A R,Almeida C A S.Eur.Phys. J.C,2011,71:1790

[144]Cruz W T,Almeida C A S.Eur.Phys.J.C,2011,71: 1709

[145]Xie Q Y,Yang J,Zhao L.Phys.Rev.D,2013,88: 105014

[146]de Souza Dutra A,de Faria AC Amaro J,Hott M. Phys.Rev.D,2008,78:043526

[147]Zhao Z H,Liu Y X,Li H T.Class Quant.Grav.,2010, 27:185001

[148]Cruz W T,Lima A R P,Almeida C A S.Phys.Rev. D,2013,87(4):045018.

[149]de Souza Dutra A,de Brito G P,and Hoff da Silva J M.Europhys.Lett.,2014,108:11001

[150]Xie Q Y,Guo H,Zhao Z H,Du Y Z,Zhang Y P.Class Quant.Grav.,2017,34(5):055007

[151]Zhong Y,Liu Y X,Zhao Z H.Brane structure and metastable graviton in five-dimensional model with (non)canonical scalar field,arXiv:1404.2666[hep-th]

[152]Menezes R.Phys.Rev.D,2014,89:125007

[153]Campos A.Phys.Rev.Lett.,2002,88(14):141602

[154]Zhao Z H,Liu Y X,Li H T,Wang Y Q.Phys.Rev. D,2010,82:084030

[155]Giovannini M.Phys.Rev.D,2001,64:124004

[156]Lu H,Pope C N.Phys.Rev.Lett.,2011,106:181302

[157]Chen F W,Liu Y X,Zhong Y,Wang Y Q,Wu S F. Phys.Rev.D,2013,88:104033

[158]Barbosa-Cendejas N,Herrera-Aguilar A,Reyes Santos M A,Schubert C.Phys.Rev.D,2008,77:126013

[159]Deffayet C,Steer D A.Class Quant.Grav.,2013, 30(21):214006

[160]Guo H,Herrera-Aguilar A,Liu Y X,Malagon-Morejon D,Mora-Luna R R.Phys.Rev.D,2013,87(9):095011

An introduction to extra dimensions and thick brane models

Liu Yu-Xiao1,Zhong Yuan2,Yang Ke3

1.Institute of Theoretical Physics,Lanzhou University,Lanzhou 730000,People’s Republic of China 2.School of Science,Xi’an Jiaotong University,Xi’an 710049,People’s Republic of China 3.School of Physical Science and Technology,Southwest University,Chongqing 400715,P.R.China

The concept of extra dimensions has been proposed for about one hundred years, but only until the last twenty years or so,our knowledge on extra dimensions began to change essentially.For instance,people start to notice that the size of extra dimensions can be as large as TeV-1scale or even infinitely large,without conflicting with nowadays experimental data. Some models on extra dimensions can offer completely new explanations to the hierarchy problem in particle physics and to the dark matter problem in cosmology.Besides,by regarding our four-dimensional world as a topological defect in higher-dimensional spaces,for example a fourdimensional domain wall in five-dimensional space-time,one would obtain various kinds of fourdimensional matter fields localized on the domain wall by using field theory methods.In order to localize the four-dimensional gravity on the wall,one usually needs to assume that the spacetime is curved in particular way.Such domain walls in curved space-time are called thick branes. The simplest analytic thick brane solution can be obtained in general relativity by introducing a minimally coupled background scalar field.With the development of cosmology,more and more extended gravity theories and non-minimally coupled scalar fields have been proposed and applied in many issues in high energy physics as well as in cosmology.Therefore,it is an interesting direction to study analytic thick brane solutions and the localization mechanism for different fields in various kinds of extended gravity theories and in non-minimally coupled scalar field theories. Nowadays,thick brane models have been extensively investigated both in China and abroad,and many results have been obtained.We are going to give a short introduction to the related results in this field.Firstly,we briefly introduce several typical models on extra dimensions,including the Kaluza-Klein theory,the large extra dimension model,the Randall-Sundrum model and the standard thick brane model,and analyze the linear perturbation as well as the localization of gravitational field.Then we discuss the localization mechanism of various matter fields in thick brane background.Finally,by using the non-canonical scalar field and several popular extensive gravitational theories,we introduce the development on the study of thick brane models.

Extra dimesions;Braneworld;Gravitational theory;Localization;Mass spectrum

O412

A

10.13725/j.cnki.pip.2017.02.001