馮 偉， 宋漢文

(同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092)

基于速度反饋控制的自激振動特性研究

馮 偉， 宋漢文

(同濟大學 航空航天與力學學院，上海 200092)

工程中自激振動常被作為不利因素而加以抑制，然而在振動能量捕獲等振動利用研究中，自激振動也有振幅響應大、抗干擾能力強等優(yōu)點，利用自激振動作為振動驅動將具有極大的優(yōu)勢。以懸臂梁為研究對象，通過模態(tài)參數(shù)與測點組合條件，導出了基于速度反饋控制下各階模態(tài)的變化模式，得到了產生自激振動的數(shù)值判據(jù)，并對單模態(tài)進入自激振動以后的非線性極限環(huán)現(xiàn)象進行了討論。通過理論建模、數(shù)值仿真和控制實驗及數(shù)據(jù)處理，驗證了該研究的正確性。

自激振動；反饋控制；模態(tài)分析；極限環(huán)

經典結構動力學主動控制領域的研究始于20世紀50年代，取得了豐富的研究成果[1]，廣泛應用在航空航天、高速鐵路、土木工程[2]等領域。主動控制的研究目的大多是基于減振降噪、使響應過程快速衰減或增加系統(tǒng)穩(wěn)定性意義下的最優(yōu)控制律的構造與實現(xiàn)問題。如通過對受電弓主動控制來抑制弓網耦合振動[3]，利用主動平衡解決高速轉子的同步振動問題[4]、抑制噪聲和振動提高可居住性、舒適性[5]等。而對于含控制結構的動力學特性研究不多見。對于流固耦合、干摩擦、轉子動力學、氣動彈性及伺服控制等復雜環(huán)境載荷激勵下的一系列涉及自激振動的研究中，其數(shù)學、力學模型與主動控制是完全一致的，但其控制律卻是非人工主動構建的、也是未知的。對于人為構建的主動控制結構，已有學者將主動控制應用到諸多方面[6-8]。高志遠等[9]提出一種結合前饋自適應控制器和反饋自適應控制器的混合自適應振動主動控制方法；SERRAND等[10]提出了一種基于速度反饋的兩通道隔振器，通過改變系統(tǒng)有效阻尼從而調整隔振效果。

在主動結構的研究過程中，張景繪等[11]針對主動結構的理論研究、定義概念和數(shù)值計算進行了奠基性的工作。MALAS等[12]進行了基于繼電反饋的自激振動系統(tǒng)的理論建模與優(yōu)化控制，劉海標等[13]研究了主動結構的控制律辨識，對基于非特定目的的主動控制行為，辨識來自環(huán)境控制的未知控制律。為自激振動的形成機理、參數(shù)辨識等研究提供支持。WARMINSKI等[14]研究了在自激振動和外部激勵下非線性梁的主動振動控制，給出了負阻尼對結構的影響以及控制結構的參數(shù)。鄭兆昌提出了關于線性和非線性系統(tǒng)內在的本質聯(lián)系，揭示了高自由度線性振動和非線性振動都是以線性主模態(tài)呈現(xiàn)其運動規(guī)律。

本文研究基于速度反饋控制的自激振動特性。在自激振動系統(tǒng)中，激振力為系統(tǒng)動力學(位移、速度、加速度及應力應變等)的函數(shù)。通過對多自由度理論建模，探究自激振動產生的條件與控制方法，為自激振動利用與控制提供理論依據(jù)。

1 動力學模型

多自由度線性系統(tǒng)動力學方程為

(1)

(2)

(3)

1.1 動力學模型分析

設系統(tǒng)依質量歸一化后的振型矩陣為[Φ]

{x(t)}=[Φ]{q(t)}

(4)

采用實模態(tài)假定，解耦后的動力學方程為

(5)

對于速度反饋增益矩陣[D]，不同測量點和控制點的選取會導致[D]中元素位置和大小的變化。一般地，討論單測量點、單激勵點模式，將系統(tǒng)中第j個測點上的速度響應反饋到第i個測點上。則

代入后，式(5)變?yōu)?/p>

對于系統(tǒng)中任一階(第r階)模態(tài)，其動力學方程為

(6)

由此，得到了模態(tài)方程， 右端為由系統(tǒng)各階模態(tài)速度疊加而成的廣義力。將右端激勵中的第r項

移項至左端合并同類項。若fr取值合適，則會導致系統(tǒng)出現(xiàn)負阻尼，引起系統(tǒng)響應發(fā)散。整理后第r階模態(tài)方程為

(7)

1.2 等效模態(tài)阻尼的取值區(qū)間與系統(tǒng)響應特征的關系

第r階方程中的等效模態(tài)阻尼模態(tài)為

討論系統(tǒng)僅有第r階模態(tài)發(fā)散的情況。文獻[15]指出，對于任一多自由度系統(tǒng)，在共振狀態(tài)下，可以用起主導作用的各階線性模態(tài)化為單自由度非線性系統(tǒng)，從而實施定性與定量分析。

本文采用單模態(tài)自激振動判據(jù)，系統(tǒng)中只有第r階模態(tài)阻尼為負，系統(tǒng)將在第r階模態(tài)發(fā)生發(fā)散性自激振動。同時其它階模態(tài)都將是小阻尼的非共振受迫振動，其貢獻相對第r階可忽略不計。此時，第r階模態(tài)起主導作用，系統(tǒng)振動可以簡化為等效模態(tài)單自由度系統(tǒng)進行定性與定量分析。

1.3 系統(tǒng)單模態(tài)發(fā)散后的非線性響應特性

對于真實系統(tǒng)，一旦產生自激振動，系統(tǒng)將由于響應的逐漸增大而導致崩潰。但是，在隨后的實驗中觀察到，當滿足上述單模態(tài)自激振動判據(jù)2ξpωp/φipφjp>dij>2ξrωr/φirφjr時，系統(tǒng)響應增大到一定數(shù)值后，趨于一個穩(wěn)定的極限環(huán)。在負阻尼條件下，隨著系統(tǒng)響應的不斷增大，此時系統(tǒng)以不再遵守微振動假設，其幾何非線性特性不可忽略?？紤]系統(tǒng)幾何非線性阻尼，將該階模態(tài)的動力學方程修正為

(8)

式中，b>0為三次非線性阻尼的系數(shù)，具體數(shù)值可由實驗數(shù)據(jù)中擬合得到。

2 實驗研究

考慮一個具有集中質量的不銹鋼懸臂梁(見圖1)。參數(shù)設置為：長l=30 cm、寬b=2.7 cm、厚度h=0.1 cm。密度ρ=7.9 g/cm3，E=209 GPa，均勻梁質量為0.064 kg，實驗原理見圖2。

圖1 實驗裝置圖Fig.1 Diagram of experimental setup

圖2 實驗原理圖Fig.2 Diagram of experimental schematic

3.1 系統(tǒng)建模

將系統(tǒng)離散為6自由度模型，在3號測點布置一個集中質量30 g，同時將6個加速度傳感器也視為集中質量考慮。剛度矩陣[K]由柔度矩陣求逆獲得，阻尼矩陣[C]通過實測各階模態(tài)阻尼比、固有頻率和模態(tài)振型重構。求得系統(tǒng)的質量歸一化陣型矩陣為[Φ]。

將上述系統(tǒng)及參數(shù)進行仿真計算，獲得系統(tǒng)各階固有頻率、阻尼比(見表1)，特征向量矩陣等參數(shù)，模態(tài)振型見圖3，由上述判據(jù)計算2ξrωr/φirφjr的數(shù)值匯于表2。

通過表2，獲得了所有控制點與反饋點完備組合下的速度反饋控制規(guī)律，可以找到使任意一階模態(tài)發(fā)散或收斂的最優(yōu)控制位置；也可以在任意指定的控制及反饋測點下，預測每一階模態(tài)的控制效果。值得特別指出的是，若取增益系數(shù)dij<0，上述發(fā)散和收斂特性將可互換，于是，表2中，取絕對值最小的組合配合dij的正負選擇，將是最優(yōu)的控制組合。

表1 仿真系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)

本文選擇第2點控制、第6點反饋展開仿真和實驗研究，取增益系數(shù)dij<0的負反饋控制模式，此時各階2ξrωr/φirφjr見表3。仿真結果顯示，第1階、3階、6階模態(tài)阻尼將比控制前增大；取0>dij>-0.613 9，第2階、4階、5階模態(tài)阻尼將比控制前模態(tài)阻尼為小(但尚保持正數(shù))；若-0.631 9>dij>-3.506 0，可實現(xiàn)僅使第2階模態(tài)響應發(fā)散，其余模態(tài)保持穩(wěn)定。取dij=-1.5，僅對第2階模態(tài)進行仿真，若取非線性阻尼系數(shù)b=0，系統(tǒng)將發(fā)散，經嘗試，取非線性阻尼系數(shù)b=5.7。

圖3 模態(tài)振型曲線Fig.3 Curve of mode shape

表2 2ξrωr/φirφjr的數(shù)值分布Tab.2 Value of 2ξrωr/φirφjr

表3 2ξrωr/φirφjr的數(shù)值分布

2.2 實驗過程

首先通過模態(tài)分析測得的懸臂梁模態(tài)參數(shù)見表4。

表4 實驗系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)

反饋作動器為壓電陶瓷片，利用第6測點加速度響應通過積分方法其轉換為速度信號，經功率放大后施加到第2測點位置進行作動。逐漸增大反饋信號的增益，使系統(tǒng)出現(xiàn)負阻尼導致發(fā)散的自激振動。

反饋點的實驗與仿真見圖4和圖5，控制點實驗響應見圖6。

圖4 反饋點實驗響應圖Fig.4 Response diagram of feedback point in experiment

圖5 反饋點仿真響應圖Fig.5 Response diagram of feedback point in simulation

圖6 控制點仿真響應圖Fig.6 Response diagram of control point in experiment

實驗使用壓電陶瓷片作動器，目前的技術無法測得其對系統(tǒng)的激勵力(矩)信號，信號放大器及功率放大器的增益系數(shù)也無法精確獲得。選取的仿真參數(shù)dij=-1.5,b=5.7，是經由實驗數(shù)據(jù)多次試算匹配得到的。

當系統(tǒng)處于穩(wěn)定的自激振動狀態(tài)時，測取系統(tǒng)加速度信號。在實驗中觀測到系統(tǒng)從微幅振動開始到系統(tǒng)穩(wěn)定，有如下特征(實驗與仿真的振型對比見圖7)：

1) 控制回路閉環(huán)時，施加初擾動，反饋增益較小時，系統(tǒng)在初始擾動下響應逐漸衰減，系統(tǒng)仍為正阻尼振動系統(tǒng)。

2) 逐次增大反饋增益，系統(tǒng)在初始擾動下振動響應逐漸增大；增益達到某一臨界值后的一段區(qū)間內，系統(tǒng)響應趨于穩(wěn)定，我們認為接近極限環(huán)，其振動波形與簡諧力激勵下的受迫振動相似。

3) 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)振動時，其振動頻率為30.85 Hz，接近系統(tǒng)第二階固有頻率32.75 Hz。

4) 系統(tǒng)穩(wěn)定振動時，與第二階固有振型相似。

圖7 實驗與仿真振型對比圖Fig.7 Comparison diagram of experiment and simulation modes

5) 系統(tǒng)達到穩(wěn)態(tài)極限環(huán)振動時，用外力強行阻止響應后再松開，在較短的時間內，系統(tǒng)可自動回到穩(wěn)定運動狀態(tài)，說明自激振動具有較強抗干擾能力和魯棒性。

6) 繼續(xù)增大反饋增益，系統(tǒng)響應增大較快，導致傳感器脫落，實驗中斷。

3 結 論

本文研究了基于速度信號控制下系統(tǒng)響應模式和自激振動產生的條件，給出了反饋控制系統(tǒng)的動力學響應特征與反饋參數(shù)(參考點、激勵點、增益)及系統(tǒng)模態(tài)參數(shù)(固有頻率、阻尼比、振型系數(shù))的關系與判據(jù)。利用該判據(jù)，在已知系統(tǒng)各階模態(tài)參數(shù)的前提下，可以通過反饋控制來調整原系統(tǒng)的穩(wěn)定性，設計并實現(xiàn)使原系統(tǒng)任意階模態(tài)響應加速收斂或加速發(fā)散的最優(yōu)控制位置和最佳增益?；蛘叻催^來，可以預測任意可行的參考點、激勵點及增益組合下系統(tǒng)的動力學響應特性。通過仿真和實驗對所提出的理論進行了驗證。

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Characteristics of self-excited vibration based on speed feedback control

FENG Wei，SONG Hanwen

(School of Aerospace Engineering and Applied Mechanics, Tongji University, Shanghai 200092, China)

Self-excited vibration is often suppressed as an unfavorable factor in many engineering fields. However, some special characteristics of self-exited vibration, such as, large amplitude response and strong anti-disturbances capability make it be an ideal driver for vibration utilization study, specifically, vibration energy harvesting. Herer, varying patterns of each mode and numerical criteria of self-excited vibration under control of velocity feedback were derived in studying cantilever beams with constraints of modal parameters and test points. One phenomenon, i.e., the nonlinear limit-cycle produced by a single mode self-exited vibration was discussed as well. The correctness of this study was verified with theoretical modeling, numerical simulation, control tests and data processing.

self-excited vibration; feedback control; modal analysis; limit cycle

國家自然科學基金面上項目(11272235)

2015-07-22 修改稿收到日期： 2016-02-14

馮偉 男，本科，1993年生

宋漢文 男，博士，教授，博士生導師，1961年生

TB53；O323；TB123

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.013