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        基于原型測量的極地航行船舶船體冰載荷分析

        2017-04-21 01:09:46劉瀛昊佟福山高良田
        振動與沖擊 2017年7期
        關(guān)鍵詞:外板正則肩部

        劉瀛昊, 佟福山, 高良田

        (哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院, 哈爾濱 150001)

        基于原型測量的極地航行船舶船體冰載荷分析

        劉瀛昊, 佟福山, 高良田

        (哈爾濱工程大學(xué) 船舶工程學(xué)院, 哈爾濱 150001)

        船體與海冰碰撞引起的冰載荷一直是破冰船領(lǐng)域研究的重點。根據(jù)S.A. AgulhasⅡ號極地科考補給船在南極海域的原型測量數(shù)據(jù),利用影響系數(shù)矩陣法和反演法對船體艉肩部的冰載荷進行分析。通過肋骨上不同應(yīng)變傳感器測得的剪應(yīng)變,在MATLAB中利用系數(shù)矩陣轉(zhuǎn)換,得到了不同肋骨上的冰載荷。通過建立艉肩部有限元模型,采用兩種不同的離散方式對載荷區(qū)域進行離散,并利用Tikhonov正則化求解反演方程,得到外板的冰載荷分布??朔藬?shù)據(jù)處理過程中解的不適定性,使得兩種方法得到的計算結(jié)果也極為相近。

        冰載荷;原型測量;影響系數(shù)矩陣法;反演法;Tikhonov正則化

        近年來,隨著全球氣候變暖,人們在極地區(qū)域的活動越來越頻繁,對極地航行船舶的操縱性、安全性和舒適性要求也越來越高。船舶在極地航行中會受到來自于海浪、海冰、機械以及螺旋槳等多方面的動態(tài)激勵[1]。以往研究表明,當船體與海冰發(fā)生碰撞時產(chǎn)生的振動等級最高[2]。因此,船體冰載荷的研究尤為重要。測量冰載荷的方法通常為模型試驗和原型測量。與模型試驗相比,原型測量雖然成本高昂,卻是得到實際冰載荷最為精確的方法,對于冰載荷特性研究及規(guī)范的補充完善都具有重大意義[3]。但在原型測量中,船舶與海冰碰撞產(chǎn)生的沖擊載荷并不能通過直接測量得到,只能測得船體其它部位的結(jié)構(gòu)響應(yīng)。

        根據(jù)已知結(jié)構(gòu)響應(yīng),建立系統(tǒng)反演模型,重構(gòu)該環(huán)境下的輸入激勵屬于結(jié)構(gòu)動力學(xué)中的載荷識別問題[4-5]。動載荷識別法主要分為頻域法和時域法[6]。頻域法是通過系統(tǒng)響應(yīng)函數(shù)頻率與測量得到的結(jié)構(gòu)響應(yīng)之間的關(guān)系來確定輸入激勵的頻譜,或利用模態(tài)坐標的變換來計算模態(tài)力的特性[7]。頻域法主要適用于平穩(wěn)隨機載荷及動載荷的識別。時域法是根據(jù)卷積形式下載荷與系統(tǒng)響應(yīng)的關(guān)系,利用運動方程得到載荷的時間歷程,可用于非平穩(wěn)性及沖擊性載荷的識別,其結(jié)果直觀性好,更適合于工程應(yīng)用[8]。近年來,時域法在車輛交通等領(lǐng)域的研究應(yīng)用已取得一定成果:LIU等[9-10]采用形函數(shù)法和時域內(nèi)的格林函數(shù)法,快速有效地解決了車門動載荷識別問題;朱濤[11]提出了一種基于動態(tài)規(guī)劃的非迭代載荷反演時域法,避免了反演過程中的誤差累積,并運用于高速列車輪軌接觸力的識別;ROMPANEN[12]研究了一種傳感反演法,通過的系統(tǒng)模型的離散變換,成功求得了造紙機滾筒的線性載荷分布。

        然而,受極地環(huán)境,船舶特殊性等因素影響,時域法在極地船舶領(lǐng)域的應(yīng)用并不常見。由于人們對冰載荷的特性了解十分有限,船級社規(guī)范對于極地航行船舶設(shè)計冰載荷的計算也僅局限于簡單的近似方法[13]。本文針對極地科考補給船AgulhasⅡ號在南極海域的原型測量數(shù)據(jù),應(yīng)用時域法中的影響系數(shù)矩陣法和Tikhonov正則化法對船體艉肩部肋骨處和外板處受到的冰載荷進行了識別分析,避免了反演問題的病態(tài)性,得到了極地船舶航行時船體受到的冰載荷分布變化形式及轉(zhuǎn)移過程。

        1 AgulhasⅡ號原型測量數(shù)據(jù)

        1.1 應(yīng)變儀安裝位置

        本次原型測試在S.A. AgulhasⅡ號破冰船上完成。該破冰船在芬蘭Rauma船廠建造完成,是芬蘭STX公司專門為南極海域設(shè)計的具有PC-5級破冰能力的極地科考補給船,其主尺度見表1。

        表1 S.A. AgulhasⅡ號的主尺度

        為了監(jiān)測和評估S.A. AgulhasⅡ號在冰區(qū)航行時船體受到的冰載荷,在船艏、艏肩以及艉肩部位安裝了應(yīng)變傳感器來測量船體形變(見圖1)。本文僅研究作用在船體艉肩部的冰載荷。如圖2所示,艉肩部區(qū)域共有14個應(yīng)變傳感器,8個位于肋骨上,6個位于板殼上,主要信息見表2。

        圖1 應(yīng)變傳感器安裝位置Fig.1 The strain sensors location

        安裝應(yīng)變傳感器的肋骨分別為#39+400、#40、#40+400以及#41,除了位于#40+400肋骨上的傳感器朝向船體左舷側(cè),其余傳感器均朝向右舷側(cè)。每個肋骨上的傳感器均由兩個與水平方向呈45°的應(yīng)變儀構(gòu)成,用來測量剪應(yīng)變。用來測量正應(yīng)變的傳感器位于兩個肋骨中間的船殼內(nèi)側(cè)。應(yīng)變儀的測量范圍為±4 000 μstrain,誤差為±2 μstrain,相對于南極海域的航行測試來說并未超出傳感器的測量范圍。所有傳感器的樣本頻率fs為200 Hz,為了消除噪音和動力振蕩等短波的影響,需要使用100 Hz的低頻過濾器作為測量數(shù)據(jù)的單位過濾器。艉肩部各個應(yīng)變儀測得的應(yīng)變數(shù)據(jù)經(jīng)低頻過濾后,即可用于后續(xù)載荷計算。

        圖2 艉肩部應(yīng)變傳感器位置(右手邊為船艉方向)Fig.2 The strain sensors location on stern shoulder

        應(yīng)變儀名稱位置與水平方向夾角/(°)朝向SS16.1#41肋骨+45船艏SS16.2#41肋骨-45船艏SS17.1#41肋骨+45船艏SS17.2#41肋骨-45船艏SS18.1#40+400肋骨+45船艉SS18.2#40+400肋骨-45船艉SS19.1#40+400肋骨+45船艉SS19.2#40+400肋骨-45船艉SS20.1#40肋骨+45船艏SS20.2#40肋骨-45船艏SS21.1#40肋骨+45船艏SS21.2#40肋骨-45船艏SS22.1#39肋骨+45船艏SS22.2#39肋骨-45船艏SS23.1#39肋骨+45船艏SS23.2#39肋骨-45船艏SS24.0#40+400與#41間船殼0內(nèi)側(cè)SS25.0#40與#40+400間船殼0內(nèi)側(cè)SS26.0#40與#40+400間船殼0內(nèi)側(cè)SS27.0#40與#40+400間船殼0內(nèi)側(cè)SS28.0#40與#40+400間船殼0內(nèi)側(cè)SS29.0#39+400與#40間船殼0內(nèi)側(cè)

        1.2 應(yīng)變實測數(shù)據(jù)

        S.A. AgulhasⅡ號于2013-11-28從南非開普敦起航,在南極海域進行了為期78d的航行測試和極地科考,其中從2013-12-07/2014-02-01這段時間內(nèi)可以觀測到明顯的海冰。當船只在層冰中轉(zhuǎn)彎時,船的艉部會與海冰邊緣發(fā)生碰撞,即艉肩部會受到明顯的冰載荷作用;當船只開辟航道時,為了使船身前部能夠破冰,船舵的操縱力要比轉(zhuǎn)彎時還大,亦即作用在艉肩部的冰載荷也就更大。本文選取了兩種海冰與船體右舷發(fā)生碰撞時,艉肩部承受的冰載荷進行分析,并將兩次撞擊分別命名為碰撞1和碰撞2,具體參數(shù)見表3,應(yīng)變數(shù)據(jù)見圖3和圖4。

        表3 船冰碰撞時的冰況數(shù)據(jù)

        圖3 碰撞1的應(yīng)變數(shù)據(jù) Fig. 3 Strain data of ramming 1

        圖4 碰撞2 的應(yīng)變數(shù)據(jù) Fig. 4 Strain data of ramming 2

        2 冰載荷計算方法

        2.1 肋骨處冰載荷計算

        根據(jù)船體上安裝的V型應(yīng)變傳感器測得的數(shù)據(jù),應(yīng)用影響系數(shù)矩陣法即可得到肋骨受到的載荷[14]。每個肋骨上裝有兩個應(yīng)變傳感器,用來測量肋骨上部和肋骨下部的剪應(yīng)變,同一肋骨上不同應(yīng)變儀測得的剪應(yīng)變之差與影響系數(shù)矩陣相乘,就可以得到肋骨上的剪力(即冰載荷)。

        {Fi}=[a]{Δγj) }

        (1)

        式中:Δγ為肋骨上部和下部剪應(yīng)變之差;a為影響系數(shù)矩陣。

        Δγ=γupper-γlower

        (2)

        [aij]=ΔγjFi

        (3)

        式中:Δγj(j=1…n)為肋骨j上測得的剪應(yīng)變之差,n為安裝應(yīng)變傳感器的肋骨的數(shù)目;Fi為肋骨i上產(chǎn)生的力。a的系數(shù)由每個時間點上肋骨產(chǎn)生的力F,以及這一時間點上作用在結(jié)構(gòu)上的Δγ確定。通過艉肩部的肋骨矯正測量,即在肋骨上同時加載拉力并測量感應(yīng)器的應(yīng)變數(shù)據(jù),就可得到影響系數(shù)矩陣a的值為

        隨后將其代入式(1)即可得到作用在肋骨處的冰載荷。

        2.2 外板處冰載荷的計算

        在結(jié)構(gòu)動力學(xué)中,當輸出響應(yīng)(應(yīng)變)和結(jié)構(gòu)模型(有限元模型)已知,輸入激勵(冰載荷)未知時,求解該類問題的方法即為反演法。為了避免反演問題解的不適定性,可以使用單值分解法、交叉法、迭代法或Tikhonov正則化等方法。本文選取Tikhonov正則化來求解外板處冰載荷方程,流程見圖5。

        圖5 反演法確定冰載荷流程圖Fig.5 Procedure of the inverse ice-induced load determination

        2.2.1 載荷離散

        船體與海冰碰撞產(chǎn)生的冰載荷分布是不均勻,可能呈線性分布或散點狀分布。多種研究表明,作用在兩個肋骨間的板中央?yún)^(qū)域的壓力通常要小于或等于肋骨區(qū)域的壓力[15-16]。而極地規(guī)范只是簡單的指出載荷作用區(qū)域為一個矩形。

        鑒于測量區(qū)域應(yīng)變傳感器數(shù)量的限制,為了提高冰載荷計算結(jié)果的精度,需要將冰載荷進行離散化。離散后的載荷分布應(yīng)具有其本身的自然特性。此外,還需增加一些前期假設(shè)以避免反演計算的病態(tài)結(jié)果。首先假設(shè)載荷是垂直加載在結(jié)構(gòu)上。當冰與船體法向滑動時產(chǎn)生的剪應(yīng)力忽略不計。其次假設(shè)載荷的方向始終是非負的,正方向為進入船體的方向。最后假設(shè)冰載荷的作用區(qū)域為0.8 m高的條狀壓力帶,分布在兩塊板的中間位置(如圖2)。之所以選擇條狀壓力帶,是因為設(shè)計水線(Design Waterline, DWL)位于板的上半部分,船舶在航行時水線的位置要低于設(shè)計水線;此外,兩塊板之間肋骨上的剪應(yīng)變傳感器也是對稱放置的。

        本文采用了兩種不同的載荷離散方式。第一種離散方式如圖6,固定加載區(qū)被分為8個獨立的載荷區(qū)域,所有單位均為mm。這種離散方式雖然粗糙,且會降低冰載荷分布自然特性的模擬,但卻能簡單快速地解決Tikhonov方程最小化問題。安裝應(yīng)變傳感器的區(qū)域在圖4中分別標記為左側(cè)(#39+400與#40之間),中間(#40與#40+400之間),右側(cè)(#40+400與#41之間)。

        圖6 離散一Fig.6 Discretization 1

        第二種離散方式(圖7)共有20個獨立的固定載荷區(qū)域。與離散一相比,離散二的網(wǎng)格更為精細和復(fù)雜,因此也更為符合冰載荷分布的自然特性。

        圖7 離散二Fig.7 Discretization 2

        由于船殼上的正應(yīng)變傳感器均位于中央?yún)^(qū)域,所以離散一和離散二在中央?yún)^(qū)域的網(wǎng)格都更為密集。根據(jù)實際觀測和攝像記錄,大部分的冰載荷都作用在0.622 m的區(qū)域內(nèi),因此可將離散區(qū)域的縱向高度由0.8 m縮減到0.622 m,可有效地縮減離散區(qū)域高度,降低邊界載荷對結(jié)果的影響。

        2.2.2 有限元模型

        根據(jù)芬蘭STX船廠提供的S.A. AgulhasⅡ號圖紙,利用FEMAP有限元軟件進行幾何建模及網(wǎng)格劃分,由253 700個四邊形和三角形單元組成,船殼、肋骨及舷側(cè)縱桁等簡單幾何區(qū)域為四邊形單元;肋骨和船殼連接處等復(fù)雜的幾何區(qū)域使用三角形單元。圖8和圖9分別模型的內(nèi)部和外部視圖。中央深色區(qū)域為安裝應(yīng)變傳感器的監(jiān)控區(qū)域,在網(wǎng)格劃分上更為細致,以提高計算精度。

        圖8 船體內(nèi)側(cè)的有限元模型 Fig.8 Finite element model from the inner side of the hull

        圖9 船體外側(cè)的有限元模型 Fig.9 Finite element model from the outer side of the hull

        圖10中用三角符號標示出了有限元模型的邊界條件。在內(nèi)側(cè)中央位置的兩條縱向邊界是用來連接舷側(cè)縱桁和船殼內(nèi)側(cè)的。有限元模型的邊界均設(shè)為固定邊界。由于邊界距離應(yīng)變儀安裝區(qū)域較遠,因而對離散區(qū)域的結(jié)果影響很小。

        圖10 有限元模型的邊界條件Fig.10 Boundary conditions of the finite element model

        艉肩部結(jié)構(gòu)材料為NV AH-50、NV DH-50及NV AH36,船殼板厚度范圍為7~21 mm,材料屬性見表4。

        表4 艉肩部材料屬性

        2.2.3 系數(shù)影響矩陣

        利用有限元模型的計算結(jié)果,可得到離散一和離散二的系數(shù)影響矩陣。Romppanen在2008年通過試驗研究得到了固定邊界離散的系數(shù)影響矩陣Z為

        式中:m為傳感器的數(shù)量;n為離散區(qū)域數(shù)量。兩種離散方式的m和n值見表5。矩陣Z中的元素為固定值,可根據(jù)有限元模型中施加在每個壓力區(qū)域的單位載荷punit確定。元素Zij根據(jù)傳感器的不同類型的值由式(4)或式(5)確定

        (4)

        (5)

        式中,γij或εij為單位載荷punit施加在壓力區(qū)域j上時,傳感器i產(chǎn)生的剪應(yīng)變或正應(yīng)變。即影響矩陣Z中的元素值為在區(qū)域j中,傳感器i的響應(yīng)與受到的載荷的比。

        表5 傳感器與離散區(qū)域的數(shù)量

        2.2.4 Tikhonov正則化

        選取Tikhonov正則化方法求解冰載荷方程。作為反演法的一種,Tikhonov正則化最早由前蘇聯(lián)院士 在1977年提出,可以有效地克服方程的不適定性并極為簡便地得到方程的優(yōu)化解[17]。冰載荷的求解方程為pice(f,t)=argminf{‖Z(f)2-e(t)‖2+λD(f)22

        (6)

        式中:pice(f,t)為離散的冰載荷,f為方程的解向量(2.2.1中前期假設(shè)冰載荷方向始終為正,因此式(6)中用(f)2代替f以保證解的非負性);Z為系數(shù)影響矩陣;e(t)為隨時間變化的應(yīng)變響應(yīng);λ為正則化參數(shù);D為載荷區(qū)域的獨立系數(shù)矩陣。正則化參數(shù)λ用來保證方程式(6)等號右側(cè)的兩部分范數(shù)在同一數(shù)量級上。在取值上,λ過小會引起解的不穩(wěn)定性,過大又會導(dǎo)致解不精確[18]。λ初始值的公式為

        (7)

        將不同的初始值代入式(6)中,比較方程的優(yōu)化結(jié)果,選取合適的正則化參數(shù)λ。以碰撞一為例,應(yīng)用第二種離散方式測試不同的初始值,結(jié)果如圖11所示,當λ=0及λ=λ0/10時,載荷結(jié)果均出現(xiàn)了不合理載荷波動,隨著λ值的增大,意外波動消失的同時,載荷的幅值也相應(yīng)下降,當λ=λ0時,其載荷幅值明顯變小。而當λ≤λ0/2時,在0.63 s與0.72 s處,載荷結(jié)果十分相近,表明此時λ值的變化對合理峰值處的結(jié)果影響并不敏感。因此,綜合考慮,離散二中的正則化參數(shù)取λ=λ0/2=1.652×10-19。

        圖11 不同正則化參數(shù)下單位載荷的對比Fig. 11 The comprasion of ice pressure with different regularization parameters

        而在測試離散一的正則化參數(shù)值時發(fā)現(xiàn),λ值的變化對結(jié)果并未產(chǎn)生明顯影響,這可能是由于離散網(wǎng)格過于稀疏導(dǎo)致,因此對于第一種離散情況,取λ=0。

        3 計算結(jié)果對比

        3.1 肋骨處載荷結(jié)果

        將碰撞1和碰撞2測量的原型數(shù)據(jù)代入式(1),可得到作用在肋骨處的載荷隨時間的變化,如圖12。對于撞擊1來說,#40和#40+400肋骨承受的冰載荷最大,冰載荷的主要作用時間為0.6~0.8 s;在0.63 s時,#40.5肋骨受到最大的冰載荷約為57 kN。作用在兩側(cè)肋骨(#39+400和#41)上的冰載荷均小于30 kN。對于碰撞2來說,作用于兩側(cè)肋骨的冰載荷明顯大于中央肋骨上的;在1 s時,#41肋骨承受最大的冰載荷為267 kN,隨后,載荷開始作用于位于中央的兩個肋骨上,其最大值約為峰值的2/3;在1.7 s時,#39.5肋骨承受約200 kN的載荷,其它肋骨此時的載荷幾乎可以忽略不計。于碰撞1和碰撞2而言,雖然載荷作用的時長和大小均各不相同,但是隨著時間推進,冰載荷均首先作用于#41肋骨上,然后向中央兩個肋骨推移,最后作用于#39+400肋骨上,即作用在肋骨上的冰載荷隨著船只移動,從艏部方向開始逐漸向艉部方向轉(zhuǎn)移,表明該計算結(jié)果是合理的。

        圖12 肋骨上的冰載荷曲線Fig.12 Ice load of the frames

        3.2 外板處載荷結(jié)果

        根據(jù)圖5的流程,將原型測量數(shù)據(jù)代入式(6),即可得到兩種離散模式下每個離散區(qū)域的冰載荷隨時間的變化,并將其代入式(8)和式(9)

        (8)

        (9)

        式中:a=400 mm;b=155.5 mm(如圖6所示);f為冰載荷單位壓力,上角標d1、d2分別為離散一和離散二,下角標i為冰載荷作用的離散區(qū)域;Qd1和Qd2即為船體與海冰碰撞期間內(nèi)外板載荷的變化,如圖13所示。 由于我們只關(guān)心船體承受的最大冰載荷,因此在計算過程中過濾掉了小幅波動的載荷。

        從圖13可以看出,離散一和離散二得到的結(jié)果十分相近,載荷的峰值均發(fā)生在同一時刻,但離散一的計算結(jié)果比離散二更大一些。在碰撞1發(fā)生時,在外板處共產(chǎn)生了2次載荷波動,分別為0.63 s和0.72 s時,離散一得到的最大值為70 kN,離散二計算出的峰值為48 kN。在碰撞2的過程中,離散一在1.47 s時達到峰值321 kN,此時離散二也達到最大值214 kN,隨后在1.7 s時離散二出現(xiàn)了第二次波動,其載荷值達到108 kN,而離散一得到的其余載荷值均在50 kN以下。

        除了載荷大小的變化外,尚需關(guān)注冰載荷在外板處的分布。本文以兩次碰撞時最大載荷處為例,在圖14中呈現(xiàn)了艉肩部外板的壓力分布,圖中坐標原點的選取與圖6一致。

        圖13 外板承受冰載荷曲線圖Fig.13 Ice load of the hull

        從壓力分布圖可以看出,離散一與離散二得到的結(jié)果基本一致,由于離散二的網(wǎng)格劃分比離散一更細致,得到的結(jié)果也就更為精確。

        3.3 肋骨處與外板處載荷對比

        表6中呈現(xiàn)了同一時刻船體不同部位承受的冰載荷及其分布。在碰撞1中,冰載荷主要分布在#39+400與#40肋骨及其之間的外板上,肋骨承受的總載荷為58 kN,介于離散一(70 kN)和離散二(48 kN)之間。在碰撞2中,承受冰載荷的肋骨為#39+400、#40和#40+400,總載荷達316 kN,與離散一得到的外板處載荷值(321 kN)十分相近;從載荷分布來看,離散一僅分布在#39+400與#40之間的外板上,而離散二的兩個分布區(qū)域與肋骨上的載荷分布更為吻合。

        圖14 冰載荷峰值處外板壓力分布Fig.14 Pressure distributions of peak loads on the hull

        計算方法離散方法時間/s載荷分布載荷大小/kN碰撞1影響系數(shù)矩陣法0.72#39+400肋骨15#40肋骨43反演法離散一0.72#39+400與#40間下部外板70離散二0.72#39+400與#40間右下部外板48碰撞2影響系數(shù)矩陣法1.47#39+400125#4079#40+400112反演法離散一1.47#39+400與#40間上部外板321離散二1.47#39+400與#40間左上部外板214#40+400與#41間左上部外板214

        4 結(jié) 論

        本文基于S.A. AgulhasⅡ號破冰船于南極海域航行時的原型測量數(shù)據(jù),應(yīng)用影響系數(shù)矩陣法計算出艉肩部肋骨處的冰載荷隨時間的變化,又選用兩種離散方式對艉肩部外板區(qū)域進行劃分,利用Tikhonov正則化反演法得到外板處的冰載荷分布。由于離散網(wǎng)格精度不同,離散一和離散二的計算結(jié)果存在一定偏差,兩種碰撞情況下離散一的結(jié)果均偏大,表明離散區(qū)域數(shù)量的減少,降低了載荷分布的自然特性,其大小也會受到影響。整體來看,計算得到的肋骨處冰載荷與外板處的數(shù)量級相符,表明影響系數(shù)矩陣法和Tikhonov正則化反演法可以用于船體冰載荷的計算,且可相互驗證,計算結(jié)果較為可信。

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        Ice-induced load analysis for hull of an ice-going vessel based on full-scale measurement

        LIU Yinghao,TONG Fushan, GAO Liangtian

        (College of Shipbuilding Engineering, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

        The ice-induced load on a ship hull is a key point in the study field of icebreaker. Based on the full-scale measurement data here, the influence coefficient matrix method and the inverse method were applied to analyze the ice load on the stern shoulder area of the polar supply and research vessel S.A. AgulhasⅡ. The ice loads on different frames were therefore obtained by transforming the shear strain data measured with sensors attached on those frames and using the coefficient matrix in MATLAB. To get the ice load distribution, the finite element model in the stern shoulder area was built and two different discretization methods were used to discrete the load area. Tikhonov regularization was employed to solve the inverse equation, the ice load distribution on the outside plate was gained. The results showed that the two methods proposed can lead to similar solutions and overcome the ill-posed nature of solutions during data processing.

        ice-induced load; full-scaled measurement; influence coefficient matrix method; inverse method; Tikhonov regularization

        工信部高技術(shù)船舶項目(G014613002);國家自然科學(xué)基金(51509060);黑龍江省自然科學(xué)基金(QC2015059)

        2015-06-17 修改稿收到日期: 2016-08-29

        劉瀛昊 女, 博士生,1988年生

        高良田 男,教授,碩士生導(dǎo)師,1964年生

        U661.4

        A

        10.13465/j.cnki.jvs.2017.07.034

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