馬洪亮

剪拼折移轉(zhuǎn)，玩轉(zhuǎn)四邊形

馬洪亮

中考數(shù)學試卷中關(guān)于四邊形的操作類試題層出不窮，如圖形的剪拼、折疊、平移、旋轉(zhuǎn)等，這類試題主要考查同學們的實踐能力、推理與判斷能力、空間想象能力，而解決這類問題則要通過觀察與操作、比較與猜測、分析與綜合、抽象與概括等實踐活動與思維過程，去探索、發(fā)現(xiàn)結(jié)論，從而解決問題.

例1（2009·義烏）（1）如圖1，正方形網(wǎng)格中有一個平行四邊形，請在圖中畫一條直線把平行四邊形分成面積相等的兩部分；（2）把圖2中的平行四邊形分割成四個全等的四邊形（要求在圖2中畫出分割線），并把所得的四個全等的四邊形在圖3中拼成一個軸對稱圖形或中心對稱圖形，使所得圖形與原圖形不全等且各個頂點都落在格點上.

圖1

圖2

圖3

【分析】（1）把平行四邊形分成面積相等的兩部分，只要這條直線經(jīng)過平行四邊形的對稱中心就可以.

（2）此問題具有一定的開放性，解決問題的方案有多種，只要符合要求即可.下面給出幾種設計方案：

【解答】（1）經(jīng)過對角線交點任作一直線即可（如圖4）.

圖4

圖5

（2）分割線如圖5所示.拼圖方法不唯一，圖6是拼成軸對稱圖形的兩種方案，圖7是拼成中心對稱圖形的兩種方案.

圖6

圖7

【點評】剪拼方法是以數(shù)學知識與思維方法作支撐的，本題只要抓住中心對稱與軸對稱的特點，便可找到解決問題的策略.

例2（2016·威海）如圖8，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，連接CF，則CF的長為（）.

圖8

【分析】連接BF交AE于H，根據(jù)三角形的面積公式求出BH，得到BF的長，根據(jù)直角三角形的判定得到∠BFC=90°，根據(jù)勾股定理求出答案.

【點評】本題主要考查了翻折變換和矩形的性質(zhì)，折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱.抓住折疊前后圖形的形狀和大小不變，對應邊和對應角相等是解題的關(guān)鍵.

例3（2014·茂名）如圖9，矩形OABC的邊OA、OC分別在x軸、y軸的正半軸上，且OA= 3，OC=2，將矩形OABC向上平移4個單位得到矩形O1A1B1C1.

圖9

（2）將矩形O1A1B1C1向左平移得到OABC，當點O、B在反比例函數(shù)y=的圖

222222像上時，求平移的距離和k3的值.

2

（2）設將矩形O1A1B1C1向左平移a個單位得到O2A2B2C2，根據(jù)向左平移，橫坐標相減，縱坐標不變，得到點O（2-a，4），B（23-a，6），由點O、B在反比例函數(shù)y=的圖像上，得出k=

223-4a=6（3-a），解方程即可求出a與k3的值.

【點評】平移時，圖形中的每個點都沿著相同的方向平移了相同的距離.表現(xiàn)在平面直角坐標系中，當一個點上下平移時，橫坐標不變，縱坐標變化；當一個點左右平移時，縱坐標不變，橫坐標改變.抓住了平移的特征，便容易寫出點B1、B2、O1、O2的坐標，進一步在第（2）問中就可以根據(jù)條件建立出關(guān)于平移距離a的方程.

例4如圖10，已知菱形AEFB是由菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，連接DE，CF，求證：四邊形CDEF為矩形.

圖10

【分析】EF與CD均與AB平行且相等，所以CD∥EF，CD=EF，于是可得四邊形CDEF是平行四邊形，由菱形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的特征以及等腰三角形的三線合一性質(zhì)等可以得出∠CDE=90°，從而得四邊形CDEF為矩形.

證明：∵菱形AEFB是由菱形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)得到的，

∴AB=CD=AD=AE=EF，

∠DAB=∠EAB，CD∥AB，AB∥EF，

∴CD=EF，CD∥EF，∠1=∠2.

∴四邊形CDEF是平行四邊形.

∵AD=AE，∠DAB=∠EAB，

∴AB⊥ED，∴∠1=90°，∴∠2=90°.

∴平行四邊形CDEF是矩形.

圖11

【點評】我們在解決有關(guān)旋轉(zhuǎn)的問題時，要抓住旋轉(zhuǎn)的特征，分析圖形中的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.旋轉(zhuǎn)時圖形中的每個點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了相同的角度，旋轉(zhuǎn)前后的兩個圖形全等，因而就會有對應邊相等，對應角相等.

小試身手

（2016·蘇州）如圖12，在矩形ABCD中，AB=6cm，AD=8cm，點P從點B出發(fā)，沿對角線BD向點D勻速運動，速度為4cm/s，過點P作PQ⊥BD交BC于點Q，以PQ為一邊作正方形PQMN，使得點N落在射線PD上，點O從點D出發(fā)，沿DC向點C勻速運動，速度為3cm／s，以O為圓心，0.8cm為半徑作⊙O，點P與點O同時出發(fā)，設它們的運動時間為t（單位：s）（0＜t＜）.

（1）連接DQ，當DQ平分∠BDC時，求t的值.

圖12

（2）如圖13，連接CM，若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形，求t的值；

圖13

圖14

（3）請你繼續(xù)進行探究，并解答下列問題：

①證明：在運動過程中，點O始終在QM所在直線的左側(cè)；

②如圖14，在運動過程中，當QM與⊙O相切時，求t的值；并判斷此時PM與⊙O是否也相切，說明理由.

（作者單位：江蘇省寶應縣實驗初級中學）

掃二維碼關(guān)注“初中生世界”公眾號，回復“2017年4月數(shù)學”獲取答案。