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        圖形變換讓四邊形更精彩

        2017-04-20 01:16:36陳志軍
        初中生世界 2017年15期
        關(guān)鍵詞:小試折痕菱形

        陳志軍

        圖形變換讓四邊形更精彩

        陳志軍

        初中階段圖形變換一般有平移、翻折、旋轉(zhuǎn)三種形式,中考對(duì)特殊四邊形的考查常借助于圖形變換將一些條件隱藏其中.因此,同學(xué)們?cè)诮忸}時(shí)要將圖形變換與特殊四邊形的性質(zhì)判定理解掌握,方能有效地解決此類問(wèn)題.

        一、旋轉(zhuǎn)變換中的四邊形

        例1(2016·婁底)如圖1,將等腰△ABC繞頂點(diǎn)B逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)α度到△A1BC1的位置,AB與A1C1相交于點(diǎn)D,AC與A1C1、BC1分別交于點(diǎn)E、F.

        (1)求證:△BCF≌△BA1D.

        (2)當(dāng)∠C=α度時(shí),判定四邊形A1BCE的形狀并說(shuō)明理由.

        (2)四邊形A1BCE是菱形.

        理由:∵∠C=∠A=α,

        ∴∠ABC=180°-2α,

        ∵∠A1BC=180°-2α+α=180°-α,

        ∴∠A1+∠A1BC=180°,∠C+∠A1BC=180°,

        ∴A1E∥BC,A1B∥CE,

        ∴四邊形A1BCE是平行四邊形,

        ∵A1B=BC,

        ∴?A1BCE是菱形.

        【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等,還考查了平行四邊形和菱形的判定定理.

        小試身手1.如圖2,已知△ABC中,AB= AC,把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△ADE,連接BD,CE交于點(diǎn)F.

        (1)求證:△AEC≌△ADB;

        (2)若AB=2,∠BAC=45°,當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí),求BF的長(zhǎng).

        圖1

        【解析】(1)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AB=BC,∠A=∠C,由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到A1B=AB= BC,∠A1=∠A=∠C,∠A1BD=∠CBC1,根據(jù)全等三角形的判定定理得到△BCF≌△BA1D;

        (2)由∠C=∠A=α,得到∠ABC=180°-2α,由旋轉(zhuǎn)角α度得到∠A1BC=180°-2α+α=180°-α,證得四邊形A1BCE是平行四邊形,由于A1B= BC,即可得到四邊形A1BCE是菱形.

        【解答】(1)略;

        圖2

        二、翻折變換中的四邊形

        例2(2016·新疆生產(chǎn)建設(shè)兵團(tuán))如圖3,在?ABCD中,AB=2,AD=1,∠ADC=60°,將?ABCD沿過(guò)點(diǎn)A的直線l折疊,使點(diǎn)D落到AB邊上的點(diǎn)D′處,折痕交CD邊于點(diǎn)E.

        (1)求證:四邊形BCED′是菱形;

        (2)若點(diǎn)P是直線l上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),請(qǐng)計(jì)算PD′+PB的最小值.

        圖3

        【解析】(1)利用翻折變換的性質(zhì)得出∠D=∠AD′E,AD=AD′=1,根據(jù)平行四邊形性質(zhì)得出∠D=∠B,得出∠AD′E=∠B,從而得出D′E∥BC;又根據(jù)D′B∥EC得到四邊形BCED′是平行四邊形.根據(jù)折疊和平行四邊形的性質(zhì)得到BC= BD′=1,然后根據(jù)菱形的判定定理得到結(jié)論.

        (2)如圖4,由四邊形DAD′E是平行四邊形,得到?DAD′E是菱形,推出D與D′關(guān)于AE對(duì)稱,連接BD交AE于P,則BD的長(zhǎng)即為PD′+ PB的最小值,過(guò)D作DG⊥BA于G,解直角三角形得到AG=,DG=,根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

        【解答】(1)證明:由軸對(duì)稱的性質(zhì)得:

        △AD′E≌△ADE,

        ∴∠D=∠AD′E,AD=AD′=1.

        ∵四邊形ABCD是平行四邊形,

        ∴∠D=∠B,AB∥CD,AD=BC=1,

        ∴∠AD′E=∠B,∴D′E∥BC,

        ∴四邊形BCED′是平行四邊形.

        ∵AB=2,AD=1,

        ∴D′B=BC=1,

        ∴?BCED′是菱形.

        (2)∵四邊形DAD′E是菱形,∴D與D′關(guān)于AE對(duì)稱.

        連接BD交AE于P,則BD的長(zhǎng)即為PD′+ PB的最小值.

        過(guò)D作DG⊥BA于G,∵CD∥AB,

        ∴∠DAG=∠CDA=60°,∵AD=1,

        圖4

        【點(diǎn)評(píng)】(1)考查了翻折變換的兩個(gè)圖形成軸對(duì)稱、成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形全等的性質(zhì),還考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定、菱形的判定.(2)考查了菱形的軸對(duì)稱性質(zhì)和最短距離問(wèn)題,正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

        小試身手2.如圖5,將矩形紙片ABCD(AD>AB)折疊,使點(diǎn)C剛好落在線段AD上,且折痕分別與邊BC,AD相交,設(shè)折疊后點(diǎn)C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)G,H,折痕分別與邊BC,AD相交于點(diǎn)E,F(xiàn).

        圖5

        (1)判斷四邊形CEGF的形狀,并證明你的結(jié)論;

        (2)若AB=3,BC=9,求線段CE的取值范圍.

        (作者單位:江蘇省寶應(yīng)縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué))

        掃二維碼關(guān)注“初中生世界”公眾號(hào),回復(fù)“2017年4月數(shù)學(xué)”獲取答案。

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