程 琳， 楊 杰， 鄭東健， 任 杰

(1. 西安理工大學(xué) 西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，西安 710048； 2. 河海大學(xué) 水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098)

基于強(qiáng)震觀測(cè)和ARMAV模型的混凝土壩模態(tài)識(shí)別

程 琳1,2， 楊 杰1， 鄭東健2， 任 杰1

(1. 西安理工大學(xué) 西北旱區(qū)生態(tài)水利工程國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室培育基地，西安 710048； 2. 河海大學(xué) 水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 210098)

采用混凝土壩的實(shí)測(cè)振動(dòng)響應(yīng)識(shí)別結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)是進(jìn)行結(jié)構(gòu)動(dòng)力特性研究的一種可行的方式。基于混凝土壩的強(qiáng)震觀測(cè)數(shù)據(jù)，提出采用矢量自回歸滑動(dòng)平均模型(Auto-Regressive Moving Average Vector，ARMAV)和穩(wěn)態(tài)圖法來(lái)進(jìn)行混凝土壩結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別。研究了結(jié)構(gòu)實(shí)測(cè)振動(dòng)響應(yīng)時(shí)間序列的ARMAV模型表達(dá)形式，并通過(guò)引入輔助變量(Instrumental Variable，IV)技術(shù)，來(lái)求解模型中的未知系數(shù)；通過(guò)研究ARMAV模型系數(shù)矩陣與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)矩陣的關(guān)系，以便為結(jié)構(gòu)模態(tài)識(shí)別提供理論依據(jù)；根據(jù)綜合了各測(cè)點(diǎn)觀測(cè)信息的平均標(biāo)準(zhǔn)化功率譜(Average Normalized Power Spectrum Density，ANPSD)來(lái)對(duì)傳統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)圖法進(jìn)行改進(jìn)，以實(shí)現(xiàn)強(qiáng)震激勵(lì)下混凝土壩的系統(tǒng)定階和虛假模態(tài)剔除。通過(guò)一個(gè)數(shù)值算例和一個(gè)工程實(shí)例，驗(yàn)證了提出的基于強(qiáng)震觀測(cè)和ARMAV模型的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法的精度、有效性和工程適用性。

強(qiáng)震觀測(cè)；模態(tài)識(shí)別；矢量自回歸滑動(dòng)平均模型；輔助變量；平均標(biāo)準(zhǔn)化功率譜

模態(tài)參數(shù)識(shí)別可應(yīng)用于結(jié)構(gòu)的損傷診斷、動(dòng)力模型修正和抗震分析等領(lǐng)域，具有重要的研究意義[1]。大壩強(qiáng)震觀測(cè)[2-3]是利用安裝在大壩和自由場(chǎng)上的強(qiáng)震儀，測(cè)量的“大壩-水庫(kù)-地基”系統(tǒng)在地震激勵(lì)下的動(dòng)力響應(yīng)，是一種特殊的結(jié)構(gòu)振動(dòng)觀測(cè)數(shù)據(jù)。大壩強(qiáng)震觀測(cè)符合結(jié)構(gòu)的實(shí)際工況及邊界條件，由其識(shí)別的模態(tài)參數(shù)能真實(shí)地反映結(jié)構(gòu)工作狀態(tài)下的動(dòng)力特性?；趶?qiáng)震觀測(cè)進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別屬于結(jié)構(gòu)運(yùn)行模態(tài)分析(Operational Modal Analysis，OMA)的范疇，其通過(guò)對(duì)環(huán)境激勵(lì)進(jìn)行一定假設(shè)，實(shí)現(xiàn)基于實(shí)測(cè)振動(dòng)響應(yīng)數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別。在水利工程領(lǐng)域，寇立夯等[4]和譙雯等[5]采用帶輸入的自回歸(Auto Regressive eXogenous，ARX)模型，分別根據(jù)二灘拱壩和水口重力壩的強(qiáng)震觀測(cè)識(shí)別了大壩的模態(tài)參數(shù)；張力飛等[6]對(duì)龍羊峽拱壩的地震響應(yīng)實(shí)測(cè)資料進(jìn)行了分析，對(duì)拱壩的頻率、阻尼、振型等模態(tài)參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別，并和原型激振試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行了對(duì)比；LOH等[7]采用隨機(jī)子空間識(shí)別(Stochastic Subspace Identification，SSI)方法，基于強(qiáng)震觀測(cè)資料對(duì)翡翠拱壩的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行了識(shí)別，并研究了庫(kù)水位對(duì)模態(tài)參數(shù)的影響；DARBRE等[8-9]分別采用頻域法研究了拱壩的系統(tǒng)識(shí)別問(wèn)題。環(huán)境激勵(lì)下的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法主要包括頻域類(lèi)方法、時(shí)域類(lèi)方法、盲源分離法和時(shí)頻分解算法等[10-11]。在時(shí)間域內(nèi)，根據(jù)結(jié)構(gòu)的隨機(jī)振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行模態(tài)識(shí)別，是近十幾年來(lái)隨著計(jì)算機(jī)技術(shù)發(fā)展起來(lái)的一種方法，具有魯棒性強(qiáng)和識(shí)別精度高等諸多優(yōu)點(diǎn)。時(shí)域的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法包括特征系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)算法(Eigensystem Realization Algorithm，ERA)[12]、隨機(jī)子空間識(shí)別方法和時(shí)間序列模態(tài)方法。混凝土壩是一種體型巨大的工程結(jié)構(gòu)，結(jié)構(gòu)的自由度高，模態(tài)密集，受工作環(huán)境干擾的影響顯著，給結(jié)構(gòu)的模態(tài)分析帶來(lái)了很大困難。此外，作為激勵(lì)源的地震本身性質(zhì)也十分復(fù)雜，可能存在優(yōu)勢(shì)的頻率成分，可能難以滿足常規(guī)模態(tài)識(shí)別方法中的高斯白噪聲假設(shè)，給結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別帶來(lái)虛假模態(tài)剔除和系統(tǒng)定階的困難。

鑒于此，本文基于混凝土壩的強(qiáng)震觀測(cè)，提出了一種基于矢量自回歸滑動(dòng)平均模型(Auto-Regressive Moving Average Vector，ARMAV)[13-14]和穩(wěn)態(tài)圖法的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法。采用ARMAV模型將混凝土壩各通道的強(qiáng)震觀測(cè)表達(dá)為矢量時(shí)間序列模型，通過(guò)引入輔助變量(Instrumental Variable，IV)[15-17]來(lái)進(jìn)行模型的求解；通過(guò)研究ARMAV模型系數(shù)矩陣和結(jié)構(gòu)系統(tǒng)矩陣的關(guān)系，進(jìn)一步研究結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)的識(shí)別方法。然后采用平均標(biāo)準(zhǔn)化功率譜(Average Normalized Power Spectrum Density，ANPSD)來(lái)對(duì)傳統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)圖進(jìn)行改進(jìn)，以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)定階和虛假模態(tài)剔除。文章通過(guò)一個(gè)數(shù)值算例和一個(gè)混凝土重力壩的工程實(shí)例，對(duì)提出的模態(tài)識(shí)別方法進(jìn)行了驗(yàn)證。

1 振動(dòng)時(shí)間序列的ARMAV模型

如果假定地震激勵(lì)uk和觀測(cè)噪聲wk均為帶限白噪聲，線性一般黏性阻尼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)可以采用狀態(tài)空間模型來(lái)進(jìn)行表達(dá)。通過(guò)離散采樣(采樣間隔為Δt)，結(jié)構(gòu)的振動(dòng)可以采用隨機(jī)離散狀態(tài)空間模型來(lái)進(jìn)行表達(dá)，即

(1)

式中：A為離散狀態(tài)空間矩陣；B為離散輸入矩陣；G為觀測(cè)矩陣；zk為狀態(tài)變量。隨機(jī)激勵(lì)wk和觀測(cè)噪聲vk滿足式(2)

(2)

同時(shí)，n自由度的線性系統(tǒng)，激勵(lì)與響應(yīng)之間的關(guān)系還可用高階微分方程來(lái)描述，在離散時(shí)間域內(nèi)，該微分方程變成由一系列不同時(shí)刻的時(shí)間序列表示的差分方程(組)。如果假定地震激勵(lì)和觀測(cè)噪聲均為白噪聲序列，實(shí)測(cè)的l個(gè)通道的大壩強(qiáng)震響應(yīng)時(shí)間序列yk∈Rl可以采用ARMAV時(shí)序模型方程來(lái)進(jìn)行表達(dá)，即

(3)

式中：αj為自回歸模型對(duì)應(yīng)的參數(shù)；βj為滑動(dòng)平均模型對(duì)應(yīng)的參數(shù)；ek為零均值高斯序列，用來(lái)模擬地震激勵(lì)和觀測(cè)噪聲；f為模型階數(shù)。

(4)

2 基于IV技術(shù)求解ARMAV模型和結(jié)構(gòu)模態(tài)識(shí)別

2.1 IV技術(shù)

(5)

(6)

(7)

定義Hankel矩陣

(8)

和

(9)

(10)

α可以根據(jù)最小二乘方法進(jìn)行估算

(11)

2.2 模態(tài)識(shí)別

為了進(jìn)行模態(tài)參數(shù)識(shí)別，需要研究α與結(jié)構(gòu)系統(tǒng)矩陣A的關(guān)系。對(duì)H(0)進(jìn)行奇異值分解H(0)=USVT；代入式(11)可以得到

(12)

將H(0)的奇異值分解改寫(xiě)為以下的形式

(13)

式中：Sn為n個(gè)最大特征值為對(duì)角元素的對(duì)角矩陣；Un和Vn為對(duì)應(yīng)的特征向量。

根據(jù)SSI法的理論推導(dǎo)，可以得到

(14)

根據(jù)式(13)可以得到

(15)

和以下的Moore-Penrose廣義逆

(16)

考慮到UUT=I，結(jié)合式(10)和式(14)，可以得到

(17)

令Φ和Ψ分別是矩陣A和α的特征向量，則可以推導(dǎo)出矩陣A和α的特征向量之間存在以下關(guān)系

(18)

根據(jù)離散系統(tǒng)矩陣A和連續(xù)系統(tǒng)矩陣Ac的關(guān)系A(chǔ)=eAcΔt，可以得到離散系統(tǒng)的特征值λi和連續(xù)系統(tǒng)特征值λci間的關(guān)系λi=eλciΔt，(i= 1,2,…,n)。這時(shí)，結(jié)構(gòu)的自振頻率fi和阻尼比ξi可以采用以下的式進(jìn)行計(jì)算

(19)

式中：Real{λi}和lm{λi}分別計(jì)算λi的實(shí)部和虛部。

根據(jù)觀測(cè)方程可知，l個(gè)測(cè)量自由度對(duì)應(yīng)的振型的分量由以下表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算

(20)

觀測(cè)矩陣G可以從矩陣O的前l(fā)行的子塊中得到。

3 改進(jìn)的穩(wěn)態(tài)圖法

混凝土壩結(jié)構(gòu)本身的自由度是無(wú)限的，但由于振動(dòng)激勵(lì)和數(shù)據(jù)采樣的原因，實(shí)際可識(shí)別的結(jié)構(gòu)模態(tài)階數(shù)n是有限的。如何確定模態(tài)階數(shù)n，并有效剔除地震激勵(lì)中優(yōu)勢(shì)頻率引起的虛假模態(tài)是利用強(qiáng)震觀測(cè)進(jìn)行結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別的一個(gè)重要問(wèn)題。穩(wěn)態(tài)圖法[18]是目前解決系統(tǒng)定階和剔除虛假模態(tài)問(wèn)題最具有優(yōu)勢(shì)的方法。穩(wěn)態(tài)圖法的基本思路是依次假定模型系統(tǒng)的階次為dmin，dmin+ 2，…，dmax(dmin和dmax均為偶數(shù))，可以得到相應(yīng)于不同階數(shù)的狀態(tài)空間模型，逐次對(duì)各個(gè)階次的模型進(jìn)行模態(tài)參數(shù)辨識(shí)，再將所有得到的模態(tài)參數(shù)繪制于同一幅圖上。用在某一模型階數(shù)下估計(jì)得到的特征頻率、阻尼比和模態(tài)振型與取前一更小模型階數(shù)時(shí)得到的估計(jì)值進(jìn)行比較，以此類(lèi)推，如果所得差值一直保持在預(yù)先設(shè)定的穩(wěn)定準(zhǔn)則范圍內(nèi)，則認(rèn)為估計(jì)得到的模態(tài)特征是穩(wěn)定的物理模態(tài)。隨模型階次的增加，圖中各穩(wěn)定極點(diǎn)會(huì)排列為一條縱向直線，稱(chēng)為穩(wěn)定軸。相反，虛假模態(tài)的極點(diǎn)隨著階數(shù)的增加變得分散，并非穩(wěn)定。

在傳統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)圖中，橫坐標(biāo)為頻率，縱坐標(biāo)為系統(tǒng)矩陣的階數(shù)，背景曲線通常采用功率譜密度函數(shù)SXX(ω)。隨機(jī)信號(hào)x(t) 的自功率譜密度函數(shù)(自譜)是隨機(jī)信號(hào)自相關(guān)函數(shù)Rxx(t)的傅里葉變換。

(21)

(22)

4 算例

4.1 數(shù)值驗(yàn)證

采用本文提出的ARMAV時(shí)間序列模型法對(duì)圖1所示的4自由度集中質(zhì)量系統(tǒng)的模態(tài)參數(shù)進(jìn)行識(shí)別。其中的參數(shù)：m1=m2=m3=1.0 kg，m4=0.9 kg，k1=k3=7 000 N/m，k2=k4=8 000 N/m，c1=c2=0.6 N·s2/m，c3=c4=0.55 N·s2/m，系統(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)為零。地震激勵(lì)ag(t)采用Koyna地震波(x向)。結(jié)構(gòu)的振動(dòng)觀測(cè)物理量是絕對(duì)加速度，采用加速度響應(yīng)的計(jì)算結(jié)果加上一定水平的噪聲來(lái)模擬。結(jié)構(gòu)振動(dòng)響應(yīng)的計(jì)算采用Runge-Kutta 算法來(lái)實(shí)現(xiàn)，模擬加速度觀測(cè)的采樣頻率是100 Hz。模擬強(qiáng)震響應(yīng)信號(hào)見(jiàn)圖2。四階模態(tài)參數(shù)，自振頻率、阻尼比和模態(tài)振型的理論值見(jiàn)表1。

圖1 受地震激勵(lì)的四自由度集中質(zhì)量系統(tǒng)

(a) m1

(b) m2

(c) m3

(d) m4

表1 模態(tài)參數(shù)的理論值

設(shè)定系統(tǒng)自由度n=8，參數(shù)p=200，f=20，在不同信噪比(Signal Noise Ratio， SNR)水平下，采用ARMAV方法識(shí)別得到的自振頻率和模態(tài)置信因子(Modal Assurance Criteria，MAC)見(jiàn)表2。從表中可以看出，在SNR較高的情況下，ARMAV的模態(tài)識(shí)別精度較高；隨著SNR減小，模態(tài)參數(shù)識(shí)別精度有減小的趨勢(shì)，并且部分高階模態(tài)受噪聲的干擾無(wú)法識(shí)別出來(lái)。設(shè)置頻率、阻尼比和振型的誤差Tf、Tξ和Tm分別為1%，5%和5%，系統(tǒng)的最大階數(shù)dmax=24，采用改進(jìn)的穩(wěn)態(tài)圖來(lái)進(jìn)行虛假模態(tài)剔除。無(wú)噪聲和SNR=3 dB時(shí)的穩(wěn)態(tài)圖見(jiàn)圖3。由圖3和表2可以看出，采用改進(jìn)的穩(wěn)態(tài)圖后模態(tài)識(shí)別精度有所提高，而且各階模態(tài)均能識(shí)別出來(lái)。

表2 基于ARMAV模型的模態(tài)識(shí)別結(jié)果

(a) 無(wú)噪聲

(b) SNR=30 dB

4.2 工程實(shí)例

水口電站工程位于中國(guó)福建省閩江干流中游，樞紐工程是以發(fā)電為主，兼有航運(yùn)、過(guò)木等綜合利用的大型水利工程。水庫(kù)的正常蓄水位65.0 m，設(shè)計(jì)洪水位64.99 m。水電站樞紐是由大壩、電廠、船閘、升船機(jī)等建筑物組成。混凝土重力壩最大壩高101 m，壩頂全長(zhǎng)783 m，壩頂高程74 m。該工程臨近臺(tái)灣海峽強(qiáng)震帶，為了監(jiān)測(cè)強(qiáng)烈地震對(duì)大壩的影響，在大壩的19#壩段和25#壩段布置了強(qiáng)震儀進(jìn)行監(jiān)測(cè)，自由場(chǎng)測(cè)點(diǎn)設(shè)在右壩肩基巖上。19#壩段的強(qiáng)震儀分4個(gè)高程布置，具體布置見(jiàn)圖4和表3。

表3 19#壩段的強(qiáng)震儀

對(duì)各測(cè)量通道的4條強(qiáng)震記錄進(jìn)行分析。每一條記錄的樣本數(shù)為4 000，采樣頻率fs=100 Hz，因此Niquist頻率fniquist=50 Hz。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和結(jié)構(gòu)分析的結(jié)果，大壩前10階自振頻率在35 Hz以下，故截止頻率設(shè)定為fcutoff=35 Hz。在進(jìn)行分析前應(yīng)對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。這些處理包括漂移校正、去趨勢(shì)項(xiàng)和濾波。設(shè)置通帶為[0, 35]，對(duì)監(jiān)測(cè)數(shù)據(jù)進(jìn)行帶通濾波。處理后SE1水平順河向的四條強(qiáng)震記錄如圖5所示。

(a) 地震記錄Ⅰ，2007-10-16，震級(jí)3.8

(b) 地震記錄Ⅱ，2008-3-6，震級(jí)4.1

(c) 地震記錄Ⅲ，2008-3-6，震級(jí)4.8

(d) 地震記錄Ⅳ，2009-3-23，震級(jí)3.8

為了對(duì)模態(tài)識(shí)別結(jié)果進(jìn)行評(píng)價(jià)，我們建立了大壩19#壩段的有限元模型(見(jiàn)圖6)，采用有限元軟件MS.Marc進(jìn)行了模態(tài)分析，水體的影響采用附加質(zhì)量法來(lái)進(jìn)行模擬。有限元計(jì)算中的壩體材料參數(shù)根據(jù)現(xiàn)場(chǎng)試驗(yàn)獲得。混凝土材料的動(dòng)彈性模量、動(dòng)泊松比和密度分別為28.89 GPa，0.2和2 400 kg/m3。壩基巖石的動(dòng)彈性模量和動(dòng)泊松比分別為18.11 GPa和0.25?；A(chǔ)采用無(wú)質(zhì)量彈簧來(lái)進(jìn)行模擬，水庫(kù)水體的影響，采用附加質(zhì)量法來(lái)考慮。

圖6 19#壩段有限元模型

采用SSI方法、ARMAV模型法結(jié)合改進(jìn)的穩(wěn)態(tài)圖，根據(jù)實(shí)測(cè)動(dòng)力響應(yīng)識(shí)別的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)和有限元分析的結(jié)果的對(duì)比見(jiàn)表4，識(shí)別得到的模態(tài)振型的對(duì)比見(jiàn)圖7。從圖和表中可以看出，ARMAV模型法的模態(tài)識(shí)別精度和SSI方法相近。自振頻率和振型識(shí)別結(jié)果與FEM計(jì)算結(jié)果有一定的誤差，主要是由有限元模擬誤差(材料和邊界條件等方面)和計(jì)算識(shí)別誤差等因素造成的。

5 結(jié) 論

采用IV技術(shù)來(lái)求解ARMAV模型，可有效提高模型參數(shù)估計(jì)的精度，為在復(fù)雜地震激勵(lì)和運(yùn)行環(huán)境下進(jìn)行混凝土壩模態(tài)參數(shù)識(shí)別提供了基礎(chǔ)；將ANPSD與穩(wěn)態(tài)圖向結(jié)合，可提高模態(tài)參數(shù)識(shí)別的精度。數(shù)值算例和工程實(shí)例表明，本文提出的基于強(qiáng)震觀測(cè)和ARMAV模型的水工混凝土結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法具有較高的模態(tài)識(shí)別精度，結(jié)合采用穩(wěn)態(tài)圖法可實(shí)現(xiàn)在性質(zhì)復(fù)雜、噪聲干擾強(qiáng)的地震激勵(lì)下結(jié)構(gòu)的模態(tài)參數(shù)識(shí)別。由于大壩強(qiáng)震觀測(cè)在水利工程中愈加受到重視，進(jìn)一步研究基于強(qiáng)震觀測(cè)的結(jié)構(gòu)模態(tài)識(shí)別方法，為結(jié)構(gòu)的健康監(jiān)測(cè)和抗震分析提供基礎(chǔ)，具有重要的理論意義和工程應(yīng)用價(jià)值。

表4 自振頻率識(shí)別結(jié)果對(duì)比

(a) 第一階振型

(b) 第二階振型

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Modal identification of concrete dams based on strong-motion records and an ARMAV model

CHENG Lin1,2, YANG Jie1, ZHENG Dongjian2, REN Jie1

(1. State Key Laboratory Base of Eco-hydraulic Engineering in Arid Area, Xi’an University of Technology, Xi’an 710048, China;2. State Key Laboratory of Hydrology-Water Resources and Hydraulic Engineering, Hohai University, Nanjing 210098, China)

It is a feasible way to study the dynamic properties of concrete hydraulic structures through modal identification using the vibration measurement of structures. In this paper, an auto-regressive moving average vector (ARMAV) model and stabilization diagram method was adopted to perform modal identification using the strong-motion observation of concrete dams. The vibration response time series were expressed by the ARMAV model at first, and the instrumental variable (IV) technique was adopted to improve estimation accuracy of unknown model coefficients. Then the relationship between the ARMAV model coefficient matrix and structural state space matrix was studied to provide theoretical basis for modal identification. The stabilization diagram was improved by the average normalized power spectrum density function, which integrated the modal information of all the measurement channels, to the determine system order and remove spurious modes. A numerical example and a practical engineering application were used to verify the accuracy, effectiveness and applicability of the proposed modal identification method based on strong-motion observation and the ARMAV model.

strong-motion observation; modal identification; auto-regressive moving average vector; instrumental variable; average normalized power spectrum density

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(51409205)；博士后自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015M572656XB)；陜西省重點(diǎn)科技創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)(2013KCT-015)；水文水資源與水利工程科學(xué)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室開(kāi)放研究基金(2014491011)

2015-11-05 修改稿收到日期：2016-04-06

程琳 男，講師，1986年生

TV32

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.08.035