任 敏，張光輝

（宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000）

隨機(jī)環(huán)境中具有配對單元遷移的兩性分枝過程的極限性質(zhì)

任 敏，張光輝

（宿州學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，安徽 宿州 234000）

文章研究隨機(jī)環(huán)境中具有配對單元遷移的兩性分枝過程，在獨(dú)立同分布的隨機(jī)環(huán)境下，建立具有配對單元遷移的兩性分枝過程{Zn,n≥0}且遷移的配對單元數(shù)與當(dāng)前人口數(shù)有關(guān)，證得此過程是隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈，并給出每個配對單元平均增長率的極限性質(zhì).

隨機(jī)環(huán)境；兩性分枝過程；平均增長率；極限性質(zhì)

0 引言

1968年，Daley首次引入兩性分枝過程的模型，隨后諸多概率論工作者研究它的極限性質(zhì)、滅絕概率等問題［1-4］.為描述更復(fù)雜的物種模型，一些改進(jìn)的兩性分枝過程模型被引入，如具有遷入的兩性分枝過程［5］，配對依賴人口數(shù)的兩性分枝過程［6］，伴有移民的兩性分枝過程［7］，具有配對單元移出的兩性分枝過程［8］等等.本文在前人研究基礎(chǔ)上，研究隨機(jī)環(huán)境中具有配對單元遷移的兩性分枝過程模型，并且遷移的配對單元數(shù)和當(dāng)前人口數(shù)有關(guān)，給出過程的馬氏性和每個配對單元平均增長率的性質(zhì)，推廣經(jīng)典兩性分枝過程的相關(guān)結(jié)論.

設(shè)(Ω,F,P)是概率空間，(Θ,Σ)是可測空間，N是非負(fù)整數(shù)集，配對函數(shù)L(?,?):N2→N關(guān)于每個分量單調(diào)不減且是上可加的.設(shè)ξ→={ξ,n≥0}和{(Fn,Mn)}n≥1是定義在(Ω,F,P)上分別取值于(Θ,Σ)和N2的隨機(jī)變量序列，{(fξn,i,mξn,i)}n≥1是在給定環(huán)境ξn下取值于N2的獨(dú)立同分布的二維隨機(jī)變量序列.

定義1 若{Zn,n≥0}滿足下列條件

（1） Zn=N0∈N，

（2）(Fn,Mn)=

（3）Zn+1=L(Fn+1,Mn+1)+Yn+1(L(Fn+1,Mn+1))

則稱{Zn,n≥0}為隨機(jī)環(huán)境中具有配對單元遷移的兩性分枝過程，其中 fξn,iIξn,i,mξn,iIξn,i表示第n代的第i個配對單元在環(huán)境ξn下生成的雌性個體數(shù)和雄性個體數(shù)；Fn+1,Mn+1表示第n代所有配對單元生成的雌性總數(shù)和雄性總數(shù).在環(huán)境ξn下，若第n代的第i個配對單元移出，則Iξn,i=0；若第n代的第i個配對單元不移出，則Iξn,i=1.Yn+1(L(Fn+1,Mn+1))表示第n+1代移入的配對單元數(shù)，并且移入的配對單元數(shù)與當(dāng)前配對人口數(shù)有關(guān).{Iξn,i,i≥1}在給定的環(huán)境ξn下是獨(dú)立同分布的，且與{fξn,i,mξn,i}i≥1獨(dú)立.

定義2 若隨機(jī)環(huán)境中的兩性分枝過程的配對函數(shù)是上可加的，即則稱該過程是上可加的.

記Fn(ξ?)=(Z0,Z1,…,Zn,ξ0,ξ1,…,ξn,…),n=0,1,2,…,且對任意的x,y∈N,有L(x,y)與Fn(ξ?)相互獨(dú)立.

1 馬氏性

定理1.1 設(shè)ξ?={ξn,n≥0}獨(dú)立同分布，則{Zn,n≥0}是隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈，其一步轉(zhuǎn)移概率為

證明 由{Zn,n≥0}的定義知，P(Z0=N0|ξ?)=P(Z0=N0|ξ0)，因?yàn)長(x,y)與Fn(ξ?)相互獨(dú)立，對任意的i1,i2,…,in-1,i∈N，有

由隨機(jī)環(huán)境中馬氏鏈的定義可知，{Zn,n≥0}是隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈.

定理1.2 設(shè)ξ?={ξn,n≥0}獨(dú)立同分布，則{Fn+1,Mn+1}是隨機(jī)環(huán)境中的馬氏鏈，其一步轉(zhuǎn)移概率是

類似于定理1.1可以證得定理1.2.

2 極限性質(zhì)

定義2.1 設(shè){Zn,n≥0}是隨機(jī)環(huán)境中具有配對單元遷移的兩性分枝過程，當(dāng)其第n代配對單元數(shù)為k時(shí)，稱為第n代每個配對單元的平均增長率.

定理2.1 設(shè)隨機(jī)環(huán)境 ξ?={ξn,n≥0}是獨(dú)立同分布，配對函數(shù) L(x,y)是上可加的并且滿足L(x,y)≤x+y. 若 {Yn(k)}k≥0滿 足 P(Yn(k+1)≤Yn(k))=1,0＜E(Yn(k))＜∞,0＜E(fξn,1Iξn,1,mξn,1Iξn,1)＜∞ ，則

證明 分以下幾步證明結(jié)論：

第1步，由強(qiáng)大數(shù)定律可得，

第2步，證明k-1L{k(E(fξn,iIξn,i),E(mξn,iIξn,i))}的極限存在.令ak=k-1L{k(E(fξn,iIξn,i),E(mξn,iIξn,i))},則

即ak有界，故極限存在且與E(fξn,iIξn,i),E(mξn,iIξn,i)有關(guān)，記為

第3步，證明r(x,y)是D={(x,y)|x≥0,y≥0}上的二元連續(xù)函數(shù)，對任意的ε＞0有

其中

類似可證

令ε↓0,則δ↓0,可得

又因?yàn)?/p>

所以有

即r(x,y)在D上是二元函數(shù).

所以，對任意ε,依概率1存在k0∈N，當(dāng)k≥k0時(shí)，有

由L(x,y)的單調(diào)不減性可得

令k→∞有

令ε↓0，因?yàn)長(x,y)是連續(xù)函數(shù)，所以有

第5步，證明

因?yàn)長(x,y)≤x+y，所以

由強(qiáng)大數(shù)定律得

所以當(dāng)k充分大時(shí)，有

由控制收斂定理可得

令φk=k?rk,θ,?k,j∈N有

φk是上可加的，故

故

定理2.2 設(shè)隨機(jī)環(huán)境是ξ?={ξn,n≥0}獨(dú)立同分布的，配對函數(shù)L(x,y)和Yn(?)是上可加的，則存在非負(fù)隨機(jī)變量W使

證明 對任意的n≥0，由Wn的定義知

從而Wn是一個非負(fù)上鞅，又因?yàn)?/p>

由鞅收斂定理知，存在一個非負(fù)有限隨機(jī)變量W，使得

記σk,θ:=k-1Var[Zn+1|Zn=k,ξn=θ],k=1,2,…;n=0,1,2,…,則

設(shè)存在序列σξn,n=0,1,2,…,使σk,ξn≤σξn,k=1,2,3,…

定理2.3 設(shè)隨機(jī)環(huán)境是 ξ?={ξn,n≥0}獨(dú)立同分布的，配對函數(shù)L(x,y)和Yn(?)是上可加的，若則存在一個非負(fù)隨機(jī)變量W，使得

由上式遞推可得

由引理2.1和定理2.3知

由上式遞推可得

參考文獻(xiàn)：

［1］ALSMEYER G，ROSLER U.The bisexual Galton-Waston process with promiscuous mating：Extinction probabilities in the supercitical case［J］.Ann Appl Probab，1996，6：922-939.

［2］DALEY D J.Extinction conditions for certain bisexual Galton-Waston process［J］.Z Wahrscheinlichkeits Theorie Verw Geb，1968，9：315-322.

［3］GONZALEZ M，MOLINA M.On the convergence of a superadditive bisexual Galton-Waston branching process［J］.J Appl Probab，1997，34：575-582.

［4］GONZALEZ M，MOLINA M，MOTA M.Nonparametric estimation of the offspring distribution and the mean vector for a bisexual Galton-Waston process［J］.Comm Statist Theory Methods，2001，30：497-516.

［5］GONZALEZ M，MOLINA M，MOTA M.BisexualGalton-Waston branching processwith immigration of females and males：Asymptotic behaviour［J］.Markov Process Relat Fields，2002，8：651-663.

［6］MOLINA M，MOTA M，RAMOS A.Limit behaviour for a supercritical bisexual Galton-Waston branching process with population-size dependent mating［J］.Stochastic Process Appl，2004，112：309-317.

［7］宋明珠.隨機(jī)環(huán)境中伴有移民兩性分枝過程的極限性質(zhì)［J］.應(yīng)用數(shù)學(xué)，2012，25（3）：667-671.

［8］劉宣，張杰華.具配對單元移出的兩性分支過程的滅絕性［J］.生物數(shù)學(xué)學(xué)報(bào)，2015，30（3）：463-468.

The Limit Properties of the Bisexual Branching Process with Migration of Mating Units in Independent Random Environment

REN Min，ZHANG Guanghui
（School of Mathematics and Statistics，Suzhou University，234000，Suzhou，Anhui，China）

The purpose of this paper is to study the bisexual branching process with population-size-dependent migration of mating units in random environments.The process follows Markov chains in independent and identically distributed random environments.We derive limit properties of the mean growth rate per mating unit.The results extend and improve known results about classical bisexual branching process in random environments.

random environments；bisexual branching process；the mean growth rate；limit properties

O 211.62

A

2095-0691（2017）01-0007-06

2016-12-19

國家自然科學(xué)基金面上項(xiàng)目（11371029）；安徽省高校自然科學(xué)研究項(xiàng)目（KJ2016A770）；安徽省優(yōu)秀青年人才支持計(jì)劃重點(diǎn)項(xiàng)目（gxyqZD2016340）；宿州學(xué)院教學(xué)研究項(xiàng)目（szxy2015jy09）;宿州學(xué)院重點(diǎn)科研項(xiàng)目（2016yzd05）

任 敏（1982- ），女，安徽淮北人，講師，碩士，研究方向：隨機(jī)環(huán)境中的隨機(jī)過程.