楊延祥

【摘要】本文分三部分論證“化圓為方”的作圖可能性及作圖方法.一是問(wèn)題的思考：說(shuō)明確定“化圓為方問(wèn)題”作圖可能的思維方法和研究方法.二是數(shù)學(xué)分析：三個(gè)定理的證明.定理Ⅰ證明“化圓為方”的作圖可能；定理Ⅱ、定理Ⅲ解決了“化圓為方”的作圖問(wèn)題.三是作圖：“化圓為方”作圖方法和作圖步驟.

【關(guān)鍵詞】化圓為方問(wèn)題；作圖可能；定理

一、問(wèn)題的思考

“化圓為方問(wèn)題”就是用尺規(guī)作一個(gè)正方形，使這個(gè)正方形的面積等于已知圓的面積.像解決“三等分角”問(wèn)題那樣，采用逆向思維方法，以已知圓為約束圖形作一個(gè)以已知圓的圓心為中心的正方形，設(shè)這個(gè)正方形的面積等于已知圓的面積，逐步求出與正方形的元素呈有理代數(shù)關(guān)系及開(kāi)平方關(guān)系的已知圓的元素.經(jīng)運(yùn)算，證明“化圓為方問(wèn)題”作圖可能.

二、數(shù)學(xué)分析

定理Ⅰ中心位于已知圓的圓心的正方形的邊已知，且圓形成的正方形外的弓形面積等于正方形的角與其所夾圓弧圍成的面積，則該正方形的面積等于已知圓的面積（如下圖）.

證設(shè)已知圓半徑為R，O為圓心，正方形ABCD的中心位于O，正方形的邊交圓于A1，A2，B1，B2，C1，C2，D1，D2，

S1為已知圓的面積，

S2為正方形ABCD的面積，

S3為A1A2的弓形面積，

S4為∠A2BB1與A2B1圍成的面積，

S5為S1，S2重疊部分的面積.

∵S3=S4，①

∴S1=S5+4S3=πR2，②

S2=S5+4S4=πR2，③

∴S1=S2=πR2.④

定理ⅡFG為以O(shè)為圓心，半徑ON=R的圓的內(nèi)接正方形的一邊，F(xiàn)G⊥ON交ON于N2，E為N2G上一點(diǎn)，且N2E∶EG=1∶2，EA2∥OG交圓于A2，過(guò)A2作平行于FG的直線分別交內(nèi)接正方形對(duì)角線的延長(zhǎng)線于A，B，則AB=πR（如上圖）.

證由定理Ⅰ.

∵S3=S4，①

AB=πR，②

N3為AB與ON的交點(diǎn)，

N3B=12AB=12πR.③

作圓的直徑MM1使MM1⊥NN1.④

作線段NM1交N2G于E，交OG于G2.

∵△NN2E≌△EG2G，⑤

∴NN2=N2E=EG2=G2G，⑥

NE=EG=2N2E，⑦

∴N2E∶EG=1∶2.⑧

過(guò)E，G分別作N3B的垂線交N3B于E′，G′.

∵N3B=N2G+G′B=N2G+E′A2=π2R，⑨

G′B=GG′=E′A2=N2N3，⑩

∴EA2∥GB，B11

∴AB=2（N3B）=πR.B12

反之，過(guò)E作OG的平行線交圓于A2，再過(guò)A2作FG的平行線分別交OF，OG的延長(zhǎng)線于A，B；則AB=πR.B13

定理Ⅲ如果正方形ABCD滿足定理Ⅰ、定理Ⅱ的約束條件，則等腰直角三角形A2BB1的三邊長(zhǎng)度之和等于2R，且A2G3∶A2B=1∶2.

證由定理Ⅰ、定理Ⅱ?yàn)橐阎獥l件作直角等腰△A2BB1，A2B1交OG于G3.

三、作圖（如上圖）

1.在以O(shè)為圓心，R為半徑的圓上作內(nèi)接正方形的一邊FG，半徑ON⊥OM1且使FG⊥ON.①

連接N，M1交FG與E.

2.過(guò)E作NM1的垂線交圓于A2，過(guò)A2作FG的平行線分別交OF，OG的延長(zhǎng)線于A，B，由定理Ⅱ知AB=πR.②

3.以AB為一邊作中心位于圓的圓心的正方形ABCD，得該正方形的面積