黃傳杰

【基金項(xiàng)目】本文為福建省教育科學(xué)“十三五規(guī)劃2016年度立項(xiàng)課題‘核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)變式教學(xué)的行動(dòng)研究”（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)MJYKT2016-178）的階段性研究成果.

本文通過典例剖析的形式，主要?dú)w納、總結(jié)了求解有關(guān)復(fù)數(shù)問題時(shí)常用的數(shù)學(xué)思想方法，旨在幫助學(xué)生拓寬解題思維，提高分析、解決問題的實(shí)際能力.

一、“數(shù)形結(jié)合思想”的應(yīng)用

“數(shù)”與“形”是同一個(gè)事物的兩個(gè)方面，以“形”判“數(shù)”，以“數(shù)”論“形”的思想就是數(shù)形結(jié)合思想.“數(shù)”與“形”在一定條件下，可以相互轉(zhuǎn)化、相互滲透.華羅庚先生說過：數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔離分家萬事休.

例1設(shè)復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，若點(diǎn)Z在以原點(diǎn)O為圓心的單位圓上運(yùn)動(dòng)，則復(fù)數(shù)z+1+2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是（）.

A

B

C

D

解析設(shè)復(fù)數(shù)z+1+2i=x+yi（x，y∈R），則z=x-1+（y-2）i，又復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓上，所以，|z|=（x-1）2+（y-2）2=1，所以（x-1）2+（y-2）2=1.

于是，復(fù)數(shù)z+1+2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（x，y）的軌跡是以點(diǎn)（1，2）為圓心，以1為半徑的圓.故選A.

評(píng)注：本題設(shè)計(jì)比較新穎，主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義與圓的交匯知識(shí)，需要靈活運(yùn)用復(fù)數(shù)的代數(shù)形式加以求解.

二、“分類與整合思想”的應(yīng)用

在解答某些數(shù)學(xué)問題時(shí)，有時(shí)會(huì)遇到多種情況，需要對(duì)各種情況加以分類，并逐類求解，然后整合得解，這就是分類與整合思想.分類與整合思想主要體現(xiàn)了“化整為零”“各個(gè)擊破”的解題策略.進(jìn)行分類討論時(shí)，我們要遵循的原則是：標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不漏不重.

例2集合{in|n∈N}（其中i為虛數(shù)單位）中的元素共有（）.

A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)

解析因?yàn)閚∈N，所以當(dāng)n=4k，k∈N時(shí)，in=i4k=1；當(dāng)n=4k+1，k∈N時(shí)，in=i4k+1=i；當(dāng)n=4k+2，k∈N時(shí)，in=i4k+2=i2=-1；當(dāng)n=4k+3，k∈N時(shí)，in=i4k+3=i3=-i.

綜上，集合{in|n∈N}={1，-1，i，-i}，顯然其中共有4個(gè)元素.故選D.

評(píng)注：結(jié)合虛數(shù)單位i的特性（i4=1）可知，本題應(yīng)按正整數(shù)n除以4的余數(shù)（0或1或2或3）加以討論.

三、“轉(zhuǎn)化思想”的應(yīng)用

將未知的或難以解決的問題，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運(yùn)用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，轉(zhuǎn)化為在已知知識(shí)范圍內(nèi)已經(jīng)解決或容易解決的問題的思想叫作轉(zhuǎn)化思想.轉(zhuǎn)化思想的實(shí)質(zhì)是“尋求聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化”.

例3已知復(fù)數(shù)z=1+（1-ti），若復(fù)數(shù)z2在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

解析∵復(fù)數(shù)z2=[1+（1-t）i]2=1+（1-t）2i2+2i（1-t）=（2t-t2）+（2-2t）i，∴由該復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)（2t-t2，2-2t）在第二象限，得2t-t2<0，2-2t>0， 解得t<0.

故所求實(shí)數(shù)t的取值范圍是（-∞，0）.

評(píng)注：本題求解的關(guān)鍵在于，將復(fù)數(shù)z2對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限轉(zhuǎn)化為關(guān)于實(shí)數(shù)t的不等式組.

四、“函數(shù)與方程思想”的應(yīng)用

方程思想是從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，通過聯(lián)想與類比，將問題中的條件轉(zhuǎn)化為方程或方程組，然后通過解方程或方程組，從而使問題獲解.函數(shù)思想是從題目的條件出發(fā)，通過聯(lián)想，構(gòu)造函數(shù)模型，利用函數(shù)的性質(zhì)（定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等）和圖像，從而使問題獲解.

例4已知關(guān)于x的方程是x2-（tanθ+i）x-（2+i）=0.

（1）若該方程有實(shí)數(shù)根，求銳角θ和實(shí)數(shù)根；

（2）證明：對(duì)于任意θ≠kπ+π2（k∈Z），該方程沒有純虛數(shù)根.

解析（1）設(shè)該方程的實(shí)數(shù)根為a，則a2-（tanθ+i）a-（2+i）=0，

即a2-atanθ-2-（a+1）i=0.

∵a，tanθ∈R，∴a2-atanθ-2=0，a+1=0，

解得a=-1，tanθ=1.

又θ為銳角，所以θ=π4.

（2）若該方程存在純虛數(shù)根，設(shè)為bi（b∈R，b≠0），則有

（bi）2-（tanθ+i）bi-（2+i）=0，

即-b2+b-2+（-btanθ-1）i=0，

所以-b2+b-2=0，-btanθ-1=0， 易知此方程組無實(shí)數(shù)根.

綜上，可知：對(duì)于任意θ≠kπ+π2（k∈Z），該方程沒有純虛數(shù)根.

評(píng)注：根據(jù)題意靈活地“設(shè)”，是本題順利求解的切入點(diǎn)；根據(jù)復(fù)數(shù)相等的充要條件構(gòu)建方程組，是本題進(jìn)一步分析的關(guān)鍵.

綜上，關(guān)注常用數(shù)學(xué)思想方法在解題中的靈活運(yùn)用，有利于提升解題的技能技巧.