馬寶貴+常艷艷

在2016年的高考數(shù)學(xué)試題中突出了對(duì)創(chuàng)新應(yīng)用能力的考查，對(duì)學(xué)生的邏輯思維能力以及實(shí)踐能力進(jìn)行了深入的考查，體現(xiàn)出了數(shù)學(xué)本身所具備的理性?xún)r(jià)值和科學(xué)價(jià)值，重視的是對(duì)數(shù)學(xué)通性以及通法的考查.為了能夠?qū)?016年高考數(shù)學(xué)試題有更好的了解，并對(duì)一題多解有更加深刻的認(rèn)識(shí)，下面就以2016年高考數(shù)學(xué)題為例探討一題多解.

例（2016年全國(guó)高考理科Ⅰ卷第18題）如圖1，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的五面體中，面ABEF為正方形，AF=2FD，∠AFD=90°，且二面角D-AF-E與二面角C-BE-F都是60°.

（1）證明：平面ABEF⊥平面EFDC；

（2）求二面角E-BC-A的余弦值.

原題中的第一個(gè)小題很容易進(jìn)行證明，在這里就不再進(jìn)行論述.對(duì)于第二個(gè)小題，有的考生認(rèn)為點(diǎn)C難以確定，之所以會(huì)這樣，是因?yàn)樗麄儧](méi)有對(duì)題目中的“五面體”看清，也就是C、D、E、F是共面的，A、B、C、D共面，那么此時(shí)就可以根據(jù)AB∥EF來(lái)推導(dǎo)出AB與平面CDEF平行，接著就可以根據(jù)線面平行的相關(guān)性質(zhì)來(lái)推導(dǎo)出AB∥DC，然后推導(dǎo)出CD∥EF，并且還可以證明出∠CEF為二面角C-BE-F的平面角，那么∠CEF=60°，因此，C點(diǎn)的位置是可以確定的.

接下來(lái)主要就第二小題的解法進(jìn)行論述：

解法1

由（1）可知∠DFE=∠CEF=60°，因?yàn)锳B∥EF，AB平面CDEF，EF平面CDEF，所以EF∥平面ABCD，AB平面ABCD，因?yàn)槊鍭BCD∩面EFDC=CD，所以AB∥CD，所以CD∥EF，所以四邊形EFDC為等腰梯形.

如圖2所示，以E為原點(diǎn)，EF為x軸，EB為y軸，建立坐標(biāo)系，設(shè)FD=1，E（0，0，0），B（0，2，0），C12，032，A（2，2，0），EB=（0，2，0），BC=12，-2，32，AB=（-2，0，0），假設(shè)面BEC的法向量為m=（x1，y1，z1）.

則m·EB=0，m·BC=0， 也就是2y1=0，12x1-2y1+32z1=0.

取x1=3，y1=0，z1=-1，則m=（3，0，-1），假設(shè)面ABC的法向量為n=（x2，y2，z2），則

n·AB=0，n·BC=0， 也就是2x2=0，12x2-2y2+32z2=0.

取x2=0，y2=3，z2=4，n=（0，3，4），假設(shè)二面角E-BC-A的大小為θ.

cosθ=m·n|m||n|=-43+1·3+16=-21919.

點(diǎn)評(píng)：向量法以其操作簡(jiǎn)單的特點(diǎn)而被很多的學(xué)生采用，但是由于向量法有一個(gè)細(xì)節(jié)需要細(xì)心加以處理，即如何確定法向量的方向，如何讓兩個(gè)法向量之間的夾角能夠與二面角的平面角相等？其方法也十分簡(jiǎn)單，在兩個(gè)半平面上各取一點(diǎn)來(lái)構(gòu)造一個(gè)向量，使這個(gè)向量的內(nèi)積與兩個(gè)法向量?jī)?nèi)積同號(hào)就可以了.

解法2如圖3所示，作AG⊥BC，G點(diǎn)為垂足；作EH⊥BC，H點(diǎn)為垂足，則GA，HE之間的夾角也就是為二面角E-BC-A的平面角，假設(shè)GB=λBC，那即可得出GA=GB+BA=λBC+BA，因?yàn)镚A⊥BC，所以GA·BC=0.

同理，λ（BC）2+BA·BC=0，

也就是5λ+1=0，因此，λ=-15，

GA=-15BC+BA=-1512，-2，32+（2，0，0）=1910，35，-310，

同理可以得出HE=-25，-25，-235，

cosθ=GA·HE|GA||HE|=-4513810·205=-21919.

點(diǎn)評(píng)：選擇棱法向量法的好處就在于不用擔(dān)心兩個(gè)法向量之間的夾角與二面角之間的大小不一樣，但是使用該種方法的前提就是要保證兩個(gè)棱法向量的起點(diǎn)要選擇棱上的垂足點(diǎn).

反思：思路決定出路，高中教師研究高考試題是必須做的功課之一，作為一名高中數(shù)學(xué)教師，應(yīng)該潛心研究一些典型的高考試題，不僅能夠幫助教師從整體上把握好教材，還能夠讓數(shù)學(xué)課堂更加貼近高考.